经历探究过程，促进数学理解

黄阳斌

“长方形的面积”是学生学习平面图形面积计算的起始课，是后续学习平行四边形、三角形、圆等平面图形面积计算的基础。课前调查学情，发现部分学生虽然知道长乘宽等于长方形的面积，但是说不清为什么，说明学生只是知其然但不知其所以然。《义务教育数学课程标准（2011）》提出：教学中要结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。因此，基于《课程标准》以及学情，笔者将简洁的数格子环节引入课堂，让学生在数格子的过程中经历长方形面积计算公式的形成过程，让长乘宽有现实意义的具体表象加以支撑，使学生对“长方形的面积等于长乘宽”这一结论不仅知其然，更能知其所以然。下面，笔者撷取三个教学片段，尝试分析如何促进学生真正理解“长乘宽等于长方形的面积”。

一、积累认知经验，促进初步理解

教育家弗赖登塔尔认为：数学学习不是一个被动的吸引过程，而是一个以学生原有的知识和经验为基础的主动建构过程。建构主义也认为：学习是学生经验体系在一定环境中自内而外的生长，是以学生原有的知识经验为基础实现知识的建构。因此，尊重、唤醒学生原有的认知和经验，一定程度上决定了学生能否初步理解数学新知。

在“长方形的面积”一课的导入环节，教师先是设计测量铅笔的活动（图1），让学生说一说“如何知道铅笔的长度，应选择什么单位的尺子”，以此唤醒学生知识结构中关于长度测量的部分，以及“含有几个长度单位即它的长度”。紧接着课件出示一幅组合图形（图2），同样让学生选择面积单位进行测量，并在摆、数的操作中类比发现“6个1平方厘米的小方格，它的面积就是6平方厘米”。初步体会到面积测量以及长度测量中单位累加这一相通点，这也是测量的本质。在知识、思想、方法等角度为学生理解新知做好铺垫之后，教师提出：“今天就是要用摆一摆、数一数的方法研究长方形的面积。”自然地开启新课之旅。

在教学中，教师要挖掘并唤醒学生在知识、技能及思想方法方面的生长点，找到新旧知识间的内在联系，这是新知教学的根。引导学生在学习过程中将新旧知识串联起来，努力实现新旧知识的同化，有利于学生感受数学的整体性并改善知识体系，自然也就更易达到对数学知识的理解。

二、材料引发思维，促进深刻理解

教学中，一致的学习材料易使学生学习过程同类化，思维过程单一化，不利于学生认知、理解数学新知。而多样、有限的学习材料能增加学生思维的挑战性，给予足够的思维空间，更易倒逼出思维的多样性，激发出更强的学习动力。

在“长方形的面积”一课的探究环节，课前教师准备了不同数量的方格，有的是12个，有的是7个，有的只有3个，随机分发给学生。出示1号长方形（长4厘米、宽3厘米），由学生利用分发的方格动手摆一摆，探究长方形的面积。在材料的限制下，活动展开后有学生说格子不够摆不了。教师引导学生：“你能想办法用手中的方格数出长方形的面积吗？”在“迫于无奈”的情境下，激发学生的潜能，让他们想方设法通过摆一摆得到长方形的面积。

教师通过巡视搜集三幅典型作品（图3～5），同时有序呈现，展开全班展示交流环节。在交流中，学生都能用乘法算式4×3=12来具体解释长方形的面积。学生要达到对“长方形面积=长×宽”的真正理解，必须能够建立起“长”与“一行摆几个”，以及“宽”与“摆几行”的对应关系。于是在交流中教师及时追问：“怎样想到这个算式，具体说说这个算式表示什么？”并根据学生的交流在板书上将“4×3=12”与“一行摆几个×摆几行=长方形的面积”对应起来，使得学生对这一对应关系的理解越来越清晰。但是探究环节并没有就此结束，教师创设了“想象铺”的环节，让学生从“有材料”走向“无材料”的思维活动，以思维活动代替动手操作，进一步增加了思维的挑战性。学生面对的是一个没有格子图可摆也没有标注数据的长方形，他们因想象不出铺格子图情境从而产生认知困难，进而产生“需要长和宽的数据”的学习需求，以及“有了长和宽就能知道一行摆几个，能摆几行”的思维活动。使得学生认识到有了长就能知道一行摆几个，有了宽就知道能摆几行，再次强化两者间的对应关系，更是逐步逼近对“长×宽=面积”这一结论的理解，进一步深化学习理解。

课堂中，教师通过操作探究、交流反馈、沟通提升等教学环节，学生经历“动手铺”“想象铺”“想算法”的活动，他们的思维层次从动手操作到形成表象，最后到深层思维，逐步逼近理解“长×宽=面积”的本质，让不同思维水平的学生都能够慢慢理解“长×宽”的道理所在。

三、巧用错误生成，促进准确理解

学生在学习过程中，生成的各种错误往往能暴露出他们在新知的理解过程中存在的困惑及疑难之处。在教学中，教师要充分利用这一宝贵资源，敢于亮出学生典型的错误，通过对错误案例的交流与辨析，突破探究学习中的瓶颈，促进学生准确理解数学知识。

在“长方形的面积”一课中，在学习了长方形的面积计算规则后，笔者设计了一道求面积的练习题（分别有长方形和正方形）。目的在于将探究正方形面积环节置于练习应用中，让学生充分调动知识结构中已有的知识（正方形的特征，长方形与正方形的关系），尝试计算正方形的面积并形成正方形面积计算公式。但在实际教学中与笔者的设想出入较大，在解释应用中有近半学生将正方形面积错算成周长。

分析原因，学生受到其自身知识结构中有关长方形周长的旧知干扰，使得周长计算与面积计算辨析度模糊。依据这一原因，笔者在教学中同时呈现15×4=60和15×15=225两种算法，组织学生在小组内针对两种算法发表自己的观点及理由，进而在全班交流对话、辨析。有的学生指出15×4计算的是4条边长的和即周长；有的学生用摆格子（一行摆15个，摆15行）的方式来解释；有的学生说到正方形是特殊的长方形，就用长方形面积计算公式进行计算。对正方形面积计算中错误生成的充分利用，既复习了正方形是特殊的长方形及周长、面积的异同，又提炼出正方形的面积计算方法，深化对“每行摆几个、摆几行”的认识，进一步强化学生对长方形面积计算的理解。

以改建、完善知识体系为着眼点，以发现探究、经历知识形成过程为学习方式，及时排除学习过程中的认知困难，依此习得的长方形面积公式是具有强大生命力的，是结构化、系统化的。学生经历此过程真正地知其然且知其所以然。

（作者单位：福建省晋江市深沪中心小学 本专辑责任编辑：王彬）