打通“标准”到“执行”的教学通道

陈克胜　徐文彬

【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》颁布已有5年，作为一个纲领性的标准，它具有统辖性，往往对具体的知识内容难以作细致的分析，但由课程的“标准”到课堂教学的“落实”却少不了这样的深入分析。基于此，本文从数学文化、学习心理和数学知识的内在规定性等三个方面对“众数、中位数和平均数”这一内容做出分析，以期对数学课程标准的完善及现实的数学教学实践有启发意义。

【关键词】数学课程；数学文化；平均数；众数；中位数

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）38-0027-03

【作者简介】1.陈克胜，安徽师范大学（安徽芜湖，241003）数学计算机科学学院副教授，博士，硕士生导师；2.徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所教授，博士生导师。

一、问题的提出

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）是在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基础上修改而来。自其颁布之日起，对《课标》内容的讨论一直不绝于耳。如《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》（以下简称《课标解读》）中所述，《课标》是从社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等五个方面考虑研制的[1]，但其中缺乏具体到某个数学知识点的研究报告。这一缺失，既不利于更广泛地调动数学教育工作者参与课改的热情，也不利于教材编写者对课标的理解。基于此，笔者尝试以“众数、中位数和平均数”这一内容为例来做一番分析。（注：下文中，除特别说明外，“平均数”均指“算术平均数”。）

关于统计量“众数、中位数和平均数”的定位问题已有的研究如下：一是中外数学教材的比较研究；二是2011年以前的国内部分研究者的主张，认为将“众数、中位数和平均数”前置在小学阶段是可行的，采用螺旋式上升的教学方式，循序渐进地让学生学习这些统计量的意义[2]，这也是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的内容；三是小学数学教学实践显示，中国的小学生学习接受众数、中位数和平均数不存在认知阻碍[3]。现行的《课标》将“众数、中位数和平均数”这一内容分拆在两个学段学习：第二学段要求“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”；第三学段要求“理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述”。在这里，我们不禁发问：“平均数的意义”具体有哪些？第二学段应学习平均数的哪些意义？第三学段应学习哪些？其依据是什么？这样的学习顺序是最好的选择吗？

二、问题的分析

1.基于数学文化的分析。

数学文化是在一定历史发展阶段，由数学共同体在从事数学实践活动过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。[4]国内外数学家和数学教育家已十分肯定数学文化（数学史）对数学教育的意义，归结起来至少有以下三点：有助于理解数学；激发学生的学习兴趣；指导数学课堂教学。基于此，有很多专家学者提出：数学教育本质上是数学文化教育。由此，有必要将“（算术）平均数、众数和中位数”置于数学文化的视角来分析。

义务教育阶段，反映数据集中趋势的统计量一般有众数、中位数和算术平均数。从历史上来看，这三个统计量的来源却不一样。人们最早应用反映数据集中趋势的统计量可能是众数。公元前428年，雅典受困需要突破敌人的围城，很多人通过数城墙砖的层数的方法来估计城墙的高度，利用众数来反映该组数据的一般水平。在历史上，人们还使用中位数替代（算术）平均数来反映某个总体的集中趋势。1599年，爱德华·怀特（Edward Wright）将中位数应用于航海，用以确定指南针所指定的位置。1874年，费 歇 尔（R. A. Fisher）将中位数用来描述社会和心理现象。1882年，高尔顿（Galton）第一次使用“中位数”一词。使用（算术）平均数有以下几个来源：第一，用平均数来估计较大的数。公元4世纪，印度鲁帕那（Rtuparna）为了估计果树上树叶和果实的数目，使用了平均数。第二，重复测量取平均数以减少误差。公元16世纪末，第谷（Tycho Brahe）为了减少观测的误差，率先取重复测量值的平均数作为天文学观测的数据。后来，这种方法在欧洲得到广泛的运用，有效地减少了系统误差。第三，平均数的补偿性。古希腊时期，数的大小用线段表示，其平均数的定义为“a和c中间的数b称为算术平均数，当且仅当b-a=c-b”，古代中国也有类似的思想。第四，利用平均数来公平分配。大约公元前1000年，地中海地区航海贸易比较发达，但存在风险，人们想到利用平均数的方法解决公平分担风险问题。第五，平均数是总体的代表值，在现实情境下不一定具有实际意义。1831年，魁特奈特（A. Quetelet）提出“平均人”概念：有这样一个人，他在一切重要的指标上都具有某一群体中一切个体相应指标的平均值。[5]

基于数学文化的分析，可以建立有关反映数据集中趋势的数学知识结构，从而帮助学生形成结构完善的概念图。在数据分析时，人们倾向于先使用众数和中位数刻画数据的集中趋势。因此，有必要将平均数、众数和中位数安排在同一个单元。

2.基于学习心理学的分析。

统计与概率虽然进入基础教育比较晚，但是有关统计与概率的学习心理研究随着课程改革在不断地深入。关于反映数据的集中趋势的统计量的一些研究有了以下一些结果。

Strauss和 Bichler研究发现：50%的8岁学生和几乎所有的10岁学生能够理解平均值位于最大值和最小值之间。几乎所有的学生能够理解平均数受每个数据的影响，平均数不一定是真正的数据。[6]Mokros和 Russell发现：有些低年级的学生将“平均数”理解为出现次数最多的一个数据（众数）。有些低年级的学生将平均数理解为中位数。有些低年级的学生虽然意识到算术平均数，但是具体数据问题中不会应用。[7]Russell和Friel设计了一道测试题：九个不同品牌的薯条，袋子大小规格相同，所有品牌的平均价格是 1.38 美元，问九种不同牌子各自价格是多少？测试的结果是：大部分学生认为平均数是数据中出现最多的数。小部分学生认为平均数是中间的数，并构造一些以平均数为中心的对称数据。[8]Moritz、Watson和 Pereira-Mendoza研究了1014位澳大利亚学生，发现：40%的三年级的学生、7%的六年级学生和 2%的九年级的学生不理解平均数。[9]上述研究表明，关于这三个统计量的学习难度存在不同，学生学习众数和中位数的难度较低，而平均数则比较难。由此，不妨先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数。

3.基于数学知识内容的分析。

平均数、众数和中位数作为反映某组数据的集中趋势，并在比较中判定在某种条件下所适用的统计量，这是数学知识的内在规定。根据数学知识内在规定的特点来组织教学，才能更深刻、全面地理解平均数概念及其统计意义。

平均数、众数和中位数都是作为反映某组数据的集中趋势的统计量，但一般来说，这三个统计量的使用存在着前提条件。如果某组数据呈现正态分布，那么平均数、众数和中位数都能客观地反映该组数据的集中趋势，三个统计量没有区别。如果某组数据呈现偏态分布，那么必须考虑这三个统计量的适用条件，才能客观地、较为真实地反映该组数据的集中趋势。一般地，在明显存在极端值的情况下，用中位数更能代表总体的一般水平。在某些数据出现的频次相对比较多的情况下，用众数能较真实地代表总体的一般水平。在某些数据呈现均匀分布的情况下，往往使用平均数来反映该组数据的集中趋势。这三个统计量所蕴涵着的统计意义，归结起来大体有四点：作为判断事物的数量标准或参考；作为代表来衡量不同总体之间的水平；作为用样本的平均数来推断总体的水平；作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化，探索研究对象的发展规律。

三、思考与建议

行文至此，有必要梳理一下相关结论并给出相关建议了。首先，从课标研制的角度而言，理论与实践的结合是数学课程标准制定的永恒法宝。数学课程标准的研制需要考虑社会发展与数学课程之间的关系及相互影响、数学学习心理规律与数学课程设计、现代数学进展与数学课程之间关系、义务教育阶段学生数学学习现状和国际数学课程改革的特点等这五项基础性研究，但是更细致地、深入到每一个数学知识点的研究，则需要从数学知识内在规定性、学习心理学的相关研究以及数学历史文化三个方面对具体知识点进行综合分析，并且开展相关的教学实验对理论分析进行验证。

其次，应尽可能多地调动数学教育工作者参与课改。数学教育工作者往往只了解到课标研制的宏观过程，至于具体到某个数学知识点则没有相应的研究报告。因此，在研制课标的过程中，有必要将相关的研究成果让一线数学教师了解，便于让更多人参与进来，同时也进行相关的教学实验，使课标得到更广泛的实践检验。

最后，由于“众数、中位数和平均数”这一内容本身具有一定的抽象性，需要学生具备一定的计算能力，因而笔者赞同将其放在第二、三学段进行教学，但对具体的教学顺序与要求有自己的看法。具体而言，（1）将平均数、众数和中位数安排在一个单元，有利于相似知识的连贯性教学；（2）先学习众数和中位数，让学生建立反映数据的集中趋势的思想方法，然后再进一步学习平均数；（3）考虑到平均数的统计意义有4点，不妨考虑以平均数的统计意义为学段划分的依据，分两个学段进行学习，《课标》中第二学段有关的内容标准不妨这样修订：“体会众数、中位数和平均数的统计意义——作为判断事物的数量标准或参考和作为代表来衡量不同总体之间的水平，能确定中位数、众数，能计算平均数，了解中位数、众数和平均数的关系”，第三学段的内容标准可修改为“理解众数、中位数和平均数的统计意义——作为用样本的平均数来推断总体的水平、作为总体的平均数通过在某段时间内的发展变化、探索研究对象的发展规律，能计算加权平均数，理解众数、中位数和加权平均数的关系”；（4）由于教师在进行教学设计时，往往会先从数学教材出发揣摩《课标》中的要求，因而，不同教材对同一知识点的编写应在内涵上保持一致。

总之，修订和完善数学课程标准的指导思想是最大限度地符合数学教育规律，而检验的方法和策略是先从系统观念出发，联系数学知识内在规定、数学学习心理和数学文化三个方面统筹分析，然后在此基础上进行有针对性的教学实验。同时，公布更具体的研制成果，充分调动广大一线的数学教育工作者参与其中，在教学实践中进行更广泛的检验，这样才能够更有利于数学课程标准的完善。

【参考文献】

[1]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张辅，唐华军.上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”比较研究[J]. 泰山学院学报，2006（06）.

[3]闫炳霞.从美国小学的一节统计课谈我国小学“统计与概率”的教学[J].中小学教学研究，2006（02）.

[4]陈克胜.基于数学文化的数学课程再思考[J].数学教育学报，2009，18（01）.

[5]吴骏，黄青云.基于数学史的平均数、中位数和众数的理解[J].数学通报，2013，52（11）.

[6]Strauss S， Bichler E. The Development of Childrens Concepts of the Arithmetic Average[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 1988（19）.

[7]Mokros J， Russell S J. Childrens Concepts of Average and Representativeness[J]. Journal for Research in Mathematics Education. 1995（26）.

[8]Russell， Susan Jo， Friel， Susan N. Collecting and analyzing real data in the elementary school classroom[J]. In P. R. Trafton & A. P. Shulte （Eds.）， New Directions for Elementary School mathematics，1989：134-148.

[9]Moritz J， Watson J， Pereiramendoza L. The Language of Statistical Understanding： An Investigation in Two Countries[J]. Education，1996（01）.

注：本文系安徽省教育科学规划项目“高中数学课程中数学文化及其典型案例研究”（编号：JG12016）研究成果之一。