探讨与圆的轨迹有关的问题

吴莺

摘 要：圆是一个奇妙的几何图形，实际是个概念性的图性，近年来江苏高考中频频出现有关圆的试题，其中用圆的轨迹处理的题目往往意想不到，难度也比较大，所以我们要重视这类新型难题。

关键词：高中数学 圆形 轨迹

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2016）09-0110-02

圆是最完美的曲线，是最基本的几何图形，近年江苏高考中2013年高考第17题（解析几何），2014年高考18题（应用题）相继考查了圆的轨迹圆的性质等知识，笔者在2014届高三二轮复习阶段中，发现各类模拟卷各类习题中出现了一系列的圆轨迹问题，下面，将其归纳整理总结成文。

1 利用圆的定义求出其轨迹

初中阶段我们对圆的定义为“它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径。”由此高中必修二上推导出了圆的标准方程“方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）叫做以点（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程”。

例1：已知点M（4，3）及圆C∶（x+1）2+（y-1）2=4，由动点P向圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，并且∠APB=60°，求PM的最小值。

2 利用圆的性质求出其轨迹

例2：（1）已知定点A，B，若动点P满足PA⊥PB，则P的轨迹是以AB为直径的圆。

（2）若平面四边形的两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆。

例2：若定点P（-1，0）在动直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是______

5 总结与反思

将这些内容整理和归纳后，在二轮复习快结束时，笔者给学生讲解了这一堂与圆的轨迹有关的问题，课堂中很多值得反思和总结的地方，对笔者今后讲解圆这一章节的知识有很多的想法。

（1）在课堂初始时，笔者提问学生圆的平面性质和定理，希望学生们各抒己见，说说大家认识的圆的，结果学生都楞住了，圆对他们来说又熟悉又陌生，有些学生觉得性质太多不知道从何说起，有些学生对圆只有一个大概模糊的印象。其实这些都是学生在初中时圆的性质定理掌握的不透彻，高中又强调得不明显。如果一下子问到某个知识点就楞住了。因此，在高中几何教学中也有必要穿插初中的几何知识，让学生对初中的知识温故而知新。

（2）同学对轨迹的概念比较陌生，大部分学生习惯直接，不转弯抹角地列出式子得出答案，而这节课的内容更抽象，需要从题目条件出发，构造或者猜想出圆的轨迹。学生对动点求其轨迹的概念薄弱，很多同学做完惊呼“这种方法我想不到”。因此，在教学中，我们应该加强求动点轨迹的数学思想。

（3）学生的计算能力应该加强，求圆的轨迹避免不了要计算，特别明显是例5，很多学生对题目中的4个式子都能罗列出来，但是要将4个式子整合起来就不会处理，或者处理不当导致计算繁琐。在教学中要训练学生的计算能力我们不是要一步步写给学生看，而是要让学生一步步写给我们看，让学生多算多练，慢慢提高自己的计算能力。