圆台大端纤维的拔出力分析

袁　权，任　柯

(1. 西华大学建筑与土木工程学院，四川 成都 610039；2. 西南民族大学国有资产处，四川 成都 610225)



圆台大端纤维的拔出力分析

袁权1，任柯2

(1. 西华大学建筑与土木工程学院，四川 成都 610039；2. 西南民族大学国有资产处，四川 成都 610225)

摘要：贝壳珍珠母中的文石片具有中间薄两端厚的特殊形貌，受此启发，把复合材料中的纤维设计成两端部为圆台状的大端异型体，可使复合材料的强韧性得以改善。本文考虑均匀分布和含量相同的圆台大端纤维和平直纤维增强复合材料，利用剪滞理论分别计算了2种纤维的与材料强韧性密切相关的拔出力。计算结果表明：圆台大端纤维的最大拔出力明显大于平直纤维的最大拔出力；基体和纤维的材料常数以及几何尺寸对最大拔出力有较大影响；在不改变基体和纤维物性时，只要合理选取形体优化设计的圆台大端纤维以及适当增加界面摩擦系数，也可使复合材料的强韧性增大。

关键词：复合材料；界面；圆台大端纤维；剪滞理论；拔出力；强韧性

纤维增强复合材料的界面既是纤维与基体的结合面，也是材料受载时的应力传递面，其性质直接影响纤维的拔出过程和材料所能吸收的能量，进而决定了材料整体的强韧性。为改善界面黏结能力和提高纤维拔出力，可以在基体中掺入各种填充剂以增强界面层或对纤维表面进行处理来增大摩擦作用。在不改变原复合材料中基体和纤维物性的条件下，最有效的方法是采用不同形体的异型纤维来提高材料的力学性能[1]，如弯钩型纤维、扭曲型纤维和螺旋型纤维等。异型纤维形体的改变，导致其与基体之间的界面形态也相应变化。与平直纤维的拉拔过程相比，在相同条件下，异型纤维的最大拔出力和拔出功都要大；但是，纤维过度异化也会对材料产生某些负面影响[2]，一种是造成基体在拔出过程中剥落损伤，另一种是使纤维拉断失效，这两种情况都会降低材料的强韧性，所以，只有纤维被设计为最优的形体，材料才能表现出优异的性能。

在合理选择异型纤维形体和增强界面性能方面，可借鉴天然生物复合材料的特性：利用最少的材料，把纤维设计成最优形体以满足功能的要求[3]，即把天然材料对纤维的异型最优化机制运用到人工材料设计中去。比如，仿生长骨的“哑铃状”短纤维，把纤维两端设计为球形[4]；仿竹节的“节部”纤维，把纤维表面设计成凹凸状[3]。笔者在研究河蚌贝壳的多级微结构时，在珍珠层中观察到两端厚中间薄的文石片[5]，因而，提出仿生一种两端为圆台的大端纤维，并对大端纤维增强的复合材料进行了与材料断裂韧性有关的最大拔出力的比较分析。结果表明：大端纤维的最大拔出力明显大于平直纤维的最大拔出力；合理地选择纤维的材料参数和端部圆台的几何尺寸能增大拔出力，提高材料的强韧性。

1模型分析

受珍珠层中大端文石片的启发，把纤维两端设计为圆台，中间位圆柱，置于基体中均匀排列，这样得到的复合材料如图1(a)所示。可考虑含有相同体积分数的平直纤维增强复合材料(如图1(b)所示)，以便比较2种材料强韧性的差异。

1.1圆台的拔出阻力

复合材料的断裂韧性与增强相纤维的最大拔出力密切相关。当材料中出现裂纹时，起桥联作用的纤维能阻止裂纹扩展。把大端纤维置于半径为R的基体中，进行单纤维的拔出力分析并与平直纤维的拔出力进行比较。圆台大端纤维和平直纤维的几何尺寸如图2所示，假设两者的体积分数相等且基体半径相等，则平直纤维的半径可表示为

(1)

其中b、a、h分别为圆台的上、下底半径和高，而a也为大端纤维圆柱段的半径。

(a)圆台大端纤维

(b)平直纤维

假设基体为理想弹塑性体，纤维的圆台大端在其中的拔出位移W可处理为弹性体中某点受集中力F作用的Kelvin问题[6]，基体z向的位移分布为

(2)

其中Em和υm为基体的弹性模量和泊松比。如图3所示，等式(2)对圆台侧面积分则得圆台的拔出位移：

(3)

等式(3)对面积的曲面积分可化为对坐标的曲面积分，上式左边结果为

(4)

其中

β=

等式(3)右边结果为

(5)

把等式(4)和(5)代入式(3)，可得圆台大端受到的拔出阻力(见图3)

(6)

图2　大端纤维和平直纤维的几何尺寸

图3　圆台大端的拔出阻力

1.2拔出力分析

圆台大端纤维的整个拔出过程包括界面黏结完好的弹性阶段、界面脱黏和圆台大端拔出的稳定阶段。对基体而言，圆台大端的拔出相当于基体中圆柱形空穴从半径为a涨大成半径为b[7]。对纤维而言，可将圆台大端的作用看成纤维在平直段受集中力F作用。当圆台大端被拔出时，对应的拔出力达到最大值。利用剪滞理论[8]，可得作用在纤维和基体微段dz上作用力与界面剪应力t的平衡微分方程

(7)

纤维被拔出时，基体由于泊松效应产生的内压力[9]为

(8)

其中：υf、α和γ分别表示纤维的泊松比、基体与纤维的弹性模量之比和体积分数之比；α=Em/Ef，γ=Vf/Vm=r2/(R2-r2)。界面剪应力与内压力的关系用经典库仑摩擦定律描述：

τs=-fq*。

(9)

式中f为摩擦系数。联合式(7)、(8)和(9)可得

(10)

Tf(0)=Pc，Tf(L)=F。

(11)

可得纤维上的作用力

(12)

把式(12)代入式(7)得界面剪应力为

(13)

假设基体为理想弹塑性，当圆台大端被拔出时，基体产生屈服，界面剪应力达到其极限值，τ(z=L)=τs，则最大值拔出力为

(14)

同时，纤维圆台大端的拔出位移W可用界面屈服强度[4]表示：

(15)

同样，可利用边界条件

Tf(0)=Ps，Tf(L)=0。

(16)

求得平直纤维的最大拔出力

(17)

式(17)中的参数z是把参数l中的a替换为r得到的。

2讨论

从式(14)和(17)可以看出，当纤维体积分数相同时，大端纤维由于其圆台大端受到基体的拔出阻力，其最大拔出力远大于平直纤维。如果圆台所占纤维的体积分数较小，即a≈b时，2种纤维的最大拔出力刚好相差F。合理设计大端纤维，应优化圆台的几何尺寸和选择匹配的材料参数，以使最大拔出力尽可能大。因此，定义h为大端纤维相对平直纤维的最大拔出力放大倍数，通过式(1)、(6)、(14)、(15)和(17)可得

(18)

假设纤维与基体的体积分数之比为50%，泊松比相等。从图4可以看出，大端纤维的最大拔出力明显大于平直纤维，提高的大小与圆台的几何形貌相关。当圆台的上、下底一定时，放大倍数随高度的增加而增大；高度一定时，随上、下底之比的增大而增大。注意到圆台对应的圆锥角为arccot[h/(b-a)]，放大倍数随圆锥角的减小而增大，这是因为圆台越尖锐，其拔出阻力越大。从图5可以看出，放大倍数也与纤维和基体的之间的摩擦因数密切相关。随着摩擦因数的增大，纤维的拔出阻力增大，最大拔出力也增大。注意到纤维和基体的弹性模量对提升率影响不大(随着a增大，h略微增大)，这就为复合材料设计提供了便利，在纤维的几何尺寸一定时，基体的选择范围很大，只要求相应的摩擦因数尽可能大即可。

图4　放大倍数与圆台几何尺寸的关系

图5　放大倍数与摩擦因数的关系

3结论

1)受珍珠母中文石片两端厚中间薄形态的启发，本文提出一种两端为圆台的大端纤维，由此可获得强韧化的复合材料。2)与平直纤维相比，圆台大端纤维的拔出机制完全不同，其对应一基体空腔胀大过程，因此大端纤维的最大拔出力明显大于平直纤维的最大拔出力。3)在异型纤维形体优化设计方面，当圆台大端所占纤维的比例系数较小时，圆锥角越小，大端纤维的最大拔出力越大。4)从对材料的增韧效果看，大端纤维对材料的放大倍数随摩擦因数的增大而增大，但受材料参数的影响较小；因此，为达到材料的优化设计，只要选择基体与纤维界面的摩擦因数尽可能大即可。

参考文献

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(编校：叶超)

The Pullout Force Analysis of Fiber with Shape of Frustum-Cone- Tapered

YUAN Quan1,REN Ke2

(1.SchoolofArchitectureandCivilEngineering,XihuaUniversity,Chengdu610039China;2.Stated-ownedAssetsManagementBureau,SouthwestUniversityforNationalities,Chengdu610225China)

Abstract:Inspired by aragonite platelet of thick ends in shell nacre, the ends of fibers were designed with the shape of frustum- cone tapered to improve fiber strength and toughness. Frustum of cone fiber and straight fiber were considered. They are reinforced composite with uniform arrangement. At the same time the maximum pullout forces of the two fibers were calculated through shear lag theory. The results show that the maximum pullout force of the presented fiber is greater than that of straight fiber and is related to geometrical and material parameters. The toughening can be enhanced when the composite constituted optimum shaped fiber and the frictional coefficient of interface are improved under the condition of unchanged physical properties of matrix and fiber.

Keywords:composite; interface; frustum of cone tapered fiber; shear lag theory; pullout force;strength and toughness.

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.02.019

中图分类号：TB33

文献标志码：A

文章编号：1673-159X(2016)02-0100-4

基金项目：教育部“春晖计划”合作科研项目(Z2014040)；西华大学重点科研项目(z1320608)。

收稿日期：2014-10-24

第一作者：袁权(1982—)，男，讲师，博士，主要研究方向为固体力学。

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