扣件胶垫刚度频变的钢轨垂向自振特征分析

韦 凯，张 攀，梁迎春，王 平

(1.西南交通大学 高速铁路线路工程教育部重点实验室，四川 成都 610031；2.西南交通大学 土木工程学院，四川 成都 610031)

自1971年我国建成第一条地铁以来，各大城市已陆续修建了地铁。目前，我国上海已拥有全世界最长的城市地铁线路。到2020年，中国还有另外45座城市建成地铁。

地铁的运输能力强。据不完全统计，地铁单向高峰每小时的运输能力达到3～6万人次，甚至可达到8万人次，远超其他公共交通方式。大规模地铁线路给人们的出行带来便捷，但是，地铁的振动噪声问题也随之产生，并有日渐恶化的趋势。为了抑制地铁的振动与噪声，通常会在轨道上采取措施，如科隆蛋扣件等扣件减振、弹性长或短轨枕等轨枕减振以及钢弹簧或橡胶浮置板等道床减振。可以看出，这些措施的减振材料主要以高分子材料为主，包括天然橡胶(NR)、丁苯橡胶(SBR)、三元乙丙橡胶(EPDM)、氯丁橡胶(CR)与热塑性聚氨酯弹性体(TPEE)等。

从目前地铁振动噪声的统计情况来看，即便已采用了这些高分子材料，减振效果也达不到预期。更为严重的是，随着运营时间的延长，轨道结构会出现涉及车辆与轨道安全的问题，其中最突出的就是钢轨波磨。例如：科隆蛋扣件直线与曲线地段的钢轨异常波磨[1-4]、弹性短轨枕曲线地段的钢轨波磨[5]以及其他减振轨道曲线段的钢轨波磨[6]等。钢轨波磨易引起扣件弹条松脱或折断，甚至可能诱发车辆轮轴断裂等严重安全事故。针对这些问题，大量现场试验与理论研究的共同结论是：地铁减振轨道的钢轨波磨与轨道动力支承性能(包括竖向[3]与横向[7]支承刚度的合理取值)、布置方式及其组合的自振特征有关。因此，科学预测减振轨道在不同激扰频率下的真实振动特征是治理钢轨波磨的基础性研究工作之一。

目前已开展的大量减振轨道自振特征研究工作中很少考虑高分子减振材料的频变特性。已有试验数据表明高分子材料的动参数具有明显的频率依赖性[8-11]，不考虑该特性会造成一定的分析误差。为了弄清这类误差对轨道自振特征分析结果的影响，拟以地铁DT VI2型扣件的热塑性聚氨酯弹性体(TPEE)胶垫为研究对象，利用自主设计的原比例扣件胶垫动参数频变试验台，测取该类胶垫复刚度与损耗因子随激振频率的变化情况；结合国外相关试验成果，提出反映扣件胶垫刚度频变性的经验公式；应用多自由度系统的实模态算法，计算分析扣件胶垫频变刚度与常量刚度工况下的钢轨垂向自振特征，探讨在高分子材料的减振轨道自振特征分析中考虑高分子材料刚度频变特征的必要性。

1 扣件胶垫动参数频变的试验研究

扣件胶垫等高分子材料动参数频变的试验方法主要有自由振动衰减法、振动梁法、振动杆法与正弦力激励法等。其中，最常用的是基于正弦激励法的动态机械分析法(Dynamic Mechanical Analysis，简称DMA)。但是，该方法的现有仪器设备均较昂贵，且这些设备目前仅能对高分子材料进行小比例尺试验。扣件胶垫等高分子材料的动力性能除了与材料本身属性有关外，还与其结构形式有关，如扣件胶垫表面的圆柱凸台或沟槽等。因此，欲开展原比例扣件胶垫动参数的频变试验，需按照相关测试原理，单独设计。

1.1 扣件胶垫动参数频变试验台

根据正弦激励法的基本原理，设计一台原比例尺的扣件胶垫动参数频变试验设备。该试验台由基座、胶垫限位装置、动力加载装置与安全防护装置四部分组成，如图1(a)所示。

基座由钢板Ⅰ、钢板Ⅱ、方管、托台及工字钢焊接而成；胶垫限位装置包括胶垫箍板、胶垫扣板与小钢弹簧；动力加载装置由两个平行且对称布置的偏心块式激振器、大钢弹簧及传力构件(钢板Ⅲ、钢板Ⅳ、中隔柱)组成；为防止动力加载装置倾覆，还设计了防护装置，即在基座的工字钢顶端设置4根螺杆抵抗未被平衡的横向力，实现对动力加载装置的水平限位，保证试验过程的安全。根据设计图制造出的试验台如图1(b)所示。

(a)设计图

(b)实物图图1 原比例尺的扣件胶垫动参数频变试验台

1.2 扣件胶垫动参数频变的测试过程

首先根据选取的扣件胶垫尺寸，将相应规格的箍板固定于基座钢板Ⅰ的上表面。然后，将待测胶垫试样镶嵌在箍板之内，用胶垫扣板扣压在胶垫上，将4个小钢弹簧布置在胶垫扣板上表面的孔位处。通过拧紧钢弹簧顶部的螺母来压缩钢弹簧，即可有效模拟扣件弹条对胶垫的初始扣压作用(一组扣件弹条的扣压力约为20 kN)。

把扣件胶垫试样安置完成后，在胶垫扣板上表面的中心处放置测力元件，用以实时采集动力加载过程中的激振荷载。吊装传力构件，并在传力构件钢板Ⅲ的上表面设置4个大钢弹簧，同时将其嵌套在工字钢顶面的螺杆上。通过拧紧大钢弹簧顶部的螺母即可实现配重预压，近似模拟列车静载的预压作用(一组扣件系统承受的列车静载预压力约为静轮重的0.4～0.6倍)。随后，将振动电机对称固定于传力构件钢板Ⅲ的预留孔位上，并分别在传力构件钢板Ⅳ上表面及基座的托台上布置2个位移传感器，用以实时采集动力加载过程中扣件胶垫的压缩变形。最后，给偏心块式激振器通电实现动力加载。

1.3 扣件胶垫动参数频变的试验结果

在周期性外力作用下，扣件胶垫等高分子材料的荷载-位移迟滞回线能够反映其动态力学行为。因此，下面将根据实时采集的TPEE胶垫的激振荷载与压缩变形，绘制出该胶垫的荷载-位移迟滞回线。但是，由于偏心块式激振器的工作频率范围是50～80 Hz，因此这里只能给出该激振频率段内TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线。

为说明TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线随激振频率变化的差异，图2给出了50.8 Hz和78.0 Hz激振频率下TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线。从图2可以看出，TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线近似为一个椭圆，因此该胶垫与线性黏弹性材料的动力行为一致。在线性黏弹性材料的椭圆形迟滞回线中，椭圆长轴的斜率等于复刚度，椭圆面积表示能量的损耗，它与最大应变能的比值即为损耗因子。显然，椭圆的面积越大，能量的耗损越多，损耗因子越大。

图2 50.8 Hz和78.0 Hz激振下TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线

根据迟滞回线的上述特点可知，78.0 Hz激振频率下TPEE胶垫的复刚度与损耗因子均大于50.8 Hz，如图2所示。为进一步揭示TPEE胶垫的复刚度与损耗因子在50～80 Hz范围内的变化情况，图3为全部实测频率点的复刚度与损耗因子。

(a)复刚度

(b)损耗因子图3 50～80 Hz激振频率下TPEE胶垫的复刚度与损耗因子

从图3可以看出，TPEE胶垫的复刚度与损耗因子总体上随着激振频率的增加而增大。其中，TPEE胶垫的复刚度在50～80 Hz范围内从70.5 kN/mm增至98.4 kN/mm；同时，该胶垫的损耗因子由0.62升至1.07。

2 扣件胶垫的力学模型及其参数

为了应用以上试验结果进行钢轨-扣件系统的自振特征分析，需进一步选定扣件胶垫的力学模型及其动参数频变的表征方法。

本试验结果与以往研究成果均表明：可采用线性黏弹性材料的力学模型对铁路扣件胶垫进行理论研究。目前，根据线性黏弹性材料的物理机制及具体的阻尼现象，学者们相继建立了描述线性黏弹性材料的多种力学模型。常用模型主要有两种，分别为复刚度或复阻尼模型(以下统称复阻尼模型)与Kelvin-Voigt模型(简称KV模型)。虽然这两类模型各具特色，但它们的动参数之间具有一定的相关性。

2.1 复阻尼模型与KV模型

若按照复阻尼模型，单自由度有阻尼系统的动力学运动方程可以表示为

( 1 )

若按照KV模型，单自由度有阻尼系统的动力学运动方程可以表示为

( 2 )

式中：k为单自由度质量块的弹性刚度，即对应复阻尼模型中的储能刚度，N/m；c为迟滞阻尼系数，N·S/m；其他参量与方程( 1 )一致。由于KV模型便于数学运算，以往的轨道动力学与车辆-轨道耦合动力学中普遍采用该模型进行理论计算。

2.2 两类力学模型参数之间的关系

当外部激励为P(t)=P0sinωt时(ω是外部激振荷载的圆频率)，式( 1 )和式( 2 )具有一致稳态振动的前提是，损耗因子η等于阻尼比ξ的2倍，即

η=2ξ

( 3 )

因此，式( 1 )、式( 2 )中的损耗因子与阻尼系数有以下关系。

( 4 )

如果线性黏弹性材料的动参数与激振频率有关，则式( 4 )变为

( 5 )

由复刚度、储能刚度(即KV模型的弹性刚度)、耗能刚度、损耗因子与阻尼系数的关系可知：在扣件胶垫等高分子材料的减振轨道设计中，建议首先根据胶垫动参数频变的荷载-位移迟滞回线，直接获得胶垫复刚度与损耗因子随激振频率的变化情况(图3)，然后应用两模型参数之间的关系，确定便于数学运算的频变弹性刚度(即频变储能刚度)。按照这种做法，可方便得到本试验中TPEE胶垫的储能刚度随激振频率的变化情况(图4)。从图4可以看出，TPEE胶垫的储能刚度总体上随激振频率的增加而增大。

图4 50～80 Hz激振频率下TPEE胶垫的储能刚度

2.3 扣件胶垫储能刚度频变的经验公式

目前，扣件胶垫等高分子材料储能刚度频变的表征方法主要有三种，分别是试验曲线直接拟合法、半经验参数化方法和本构关系描述法。其中，试验曲线拟合法直接依据试验结果，以期望精度逼近试验曲线，具有较好的精确性与实用性。本文将采用该方法来表征TPEE胶垫的频变储能刚度。

由于本试验设备仅能测取50～80 Hz激振频率下的扣件胶垫动参数，不能反映这些动参数在更宽频域范围内的变化趋势，因此难以对其进行合理的数据拟合。为此，需借鉴其他学者的相关试验成果，进行综合研究。

通过调研发现：国内关于扣件胶垫动参数频变的试验较少，而且这些试验的激振频率均低于10 Hz[12-14]。国外扣件胶垫动参数频变的试验不多，激振频率均较高，可达2 500 Hz。但这些高频激振设备仅能进行小比例尺的胶垫动参数试验[8-11]。其中，最具有代表性的是Maes等人的试验工作。他们以1∶40的聚苯乙烯橡胶与树脂橡胶的扣件胶垫为研究对象，测试这些胶垫在20～2 500 Hz的动参数。试验结果表明：尽管各类胶垫在低频点的储能刚度不同，但是其储能刚度随激振频率的变化趋势较相似。通过拟合这些试验数据发现，在对数坐标下扣件胶垫储能刚度与激振频率近似线性相关。根据这一特征，再结合本文试验结果(图4)，可近似推导更宽频域范围内TPEE胶垫储能刚度与激振频率的对应关系，如图5所示。

图5 对数坐标系下TPEE胶垫储能刚度与激振频率的关系

TPEE胶垫储能刚度与频率的拟合经验公式为

lgki=a×lgfi+b

( 6 )

式中：ki为TPEE胶垫的频变储能刚度(即KV模型的弹性刚度，kN/mm)；fi为外部激振频率，Hz；a和b为试验系数，在本试验中，a、b分别为0.26、1.334。

3 扣件胶垫刚度频变的钢轨垂向自振特征分析

由扣件胶垫储能刚度的频变试验可知，如果扣件胶垫等高分子材料的刚度具有明显的频变特征，则扣件胶垫的储能刚度在实际工作中不是常量，而是随外部激振频率变化。因此，不同激振频率下扣件胶垫弹性刚度一定不同，那么钢轨-扣件系统的固有振动特征也会随之改变。扣件胶垫常量弹性刚度(以下简称常量刚度)的轨道自振特征必不同于扣件胶垫频变弹性刚度(以下简称频变刚度)的轨道自振特征。

为探究扣件胶垫频变刚度对钢轨-扣件系统固有频率及其振型的影响，下面以TPEE胶垫的DT VI2型扣件与轨枕埋入式无砟轨道为例，应用ABAQUS有限元软件中的实模态算法，计算分析扣件胶垫常量刚度与频变刚度的钢轨垂向自振特征。

3.1 钢轨-扣件系统的有限元模型

在钢轨-扣件系统的ABAQUS有限元模型中，钢轨的计算长度取50 m，扣件间距取0.6 m。钢轨与扣件系统分别采用ABAQUS软件的BEAM21单元和线性弹簧进行模拟，计算参数见表1。其中，钢轨的最小单元长度为0.1 m，钢轨所有节点仅考虑垂向运动。需要特殊说明的是，扣件系统的竖向刚度由扣压件刚度与扣件胶垫刚度组成，其中扣压件刚度仅为0.5～1.2 kN/mm，因此扣件胶垫刚度可近似看作整个扣件系统的刚度。

表1 轨道模型的计算参数

3.2 钢轨-扣件系统的模态分析

下面将比较扣件胶垫常量刚度与频变刚度工况下的钢轨垂向自由振动特征。

(1)扣件胶垫常量刚度工况

在以往的轨道动力分析中，扣件胶垫刚度取自3～5 Hz激振频率下的刚度，这里按照式( 6 )近似取4 Hz激振频率下的弹性刚度作为TPEE胶垫的常量刚度(即31 kN/mm)。应用ABAQUS软件中实模态分析的兰索斯(Lanczos)求解法，即可计算出钢轨垂向自振的各阶固有频率，如图6所示。

图6 扣件胶垫常量刚度下钢轨垂向自振的固有频率

从图6可以看出，当TPEE胶垫取4 Hz激振频率下的弹性刚度31 kN/mm时，钢轨垂向自振的固有频率较多，前20阶固有频率增加比较缓慢，20阶之后各阶固有频率的增速明显加快。

在传统认识中，当轮轨激振频率与钢轨某阶固有频率一致时，就容易引发轮轨共振，因此该组钢轨垂向自振的固有频率亦可称为钢轨垂向的敏感共振频率。这种理解在扣件胶垫频变刚度的情况下将不再适用。

(2)扣件胶垫频变刚度工况

当扣件胶垫弹性刚度频变时，钢轨-扣件系统的固有频率与外部激振频率有关，此时钢轨-扣件系统的敏感共振频率并非各阶固有频率。例如：当外部激振频率为fi时，扣件胶垫的弹性刚度为ki，据此可计算出钢轨-扣件系统的一组n阶固有频率；此时，只有当其中的某阶固有频率与外部激振频率一致时，该阶固有频率才是敏感共振频率，该阶固有频率对应的振型是敏感共振振型。

为了计算扣件胶垫频变刚度工况下钢轨-扣件系统的敏感共振频率，需要循环多次进行求解。为此，通过组合应用ABAQUS与Matlab软件，来自动循环求解钢轨-扣件系统的敏感共振频率，具体计算流程如图7所示。

图7 扣件胶垫刚度频变时钢轨垂向敏感共振频率的计算流程

按照图7的计算流程，可以得到扣件胶垫频变刚度工况下钢轨垂向敏感共振频率，如图8所示。从图8可以看出，在扣件胶垫频变刚度工况下，并非每阶都有钢轨垂向敏感共振频率，且这些敏感共振频率在前50阶内明显高于扣件胶垫常量刚度工况。此外，随着自由振动阶数的增加，相同阶数下两工况敏感共振频率的差距逐渐缩小。在本算例中，两工况的第1、第30和第46阶敏感共振频率的差距分别为99.7 Hz、83.3 Hz 和58.4 Hz。

为了进一步比较扣件胶垫常量刚度与频变刚度工况下相同或相近钢轨垂向敏感共振频率所对应振型的差异，选取两工况中钢轨垂向敏感共振频率最接近(图8中的虚线)的振型，如图9所示。

(a)胶垫常量刚度下钢轨垂向敏感共振频率292.7 Hz的振型

(b)胶垫频变刚度下钢轨垂向敏感共振频率293 Hz的振型图9 扣件胶垫常量刚度与频变刚度下钢轨垂向敏感共振频率相近的振型(图中实心方形节点为扣件的位置)

从图9可以看出，在钢轨垂向敏感共振频率293 Hz附近，两工况下钢轨垂向自由振动的振型均为周期振动形式，周期振动的波长不同。在扣件胶垫常量刚度工况下，钢轨垂向敏感共振频率292.7 Hz的周期振动波长为2.63 m；在扣件胶垫频变刚度工况下，钢轨垂向敏感共振频率293 Hz的周期振动波长为3.33 m。由此可见，与扣件胶垫常量刚度工况相比，考虑扣件胶垫刚度频变后，两工况中相同或相近的钢轨垂向敏感共振频率对应的振型明显不同。因此，如果不考虑扣件胶垫的频变特征，必将直接影响钢轨垂向敏感共振波长的预测精度。

4 结论与建议

本文以地铁DT VI2型扣件的热塑性聚氨酯弹性体(TPEE)胶垫为例，开展扣件胶垫动参数的频变试验，结合国外相关试验成果，提出反映扣件胶垫刚度频变特征的经验公式。通过组合应用ABAQUS与Matlab软件，计算分析扣件胶垫频变刚度与常量刚度工况下的钢轨垂向自振特征，主要结论有：

(1)利用自主设计的原比例扣件胶垫动参数的频变试验台，测取TPEE胶垫的荷载-位移迟滞回线。根据迟滞回线的特点可知，TPEE胶垫的复刚度与损耗因子总体上随激振频率的增加而增大。在本试验中，TPEE胶垫的复刚度从50 Hz下的70.5 kN/mm增至80 Hz下的98.4 kN/mm；与此同时，它的损耗因子由50 Hz下的0.62升至80 Hz下的1.07。

(2)在扣件胶垫等高分子材料的减振轨道设计中，建议首先通过试验直接获得扣件胶垫等高分子材料复刚度与损耗因子的频变规律，然后应用线性黏弹性材料的复阻尼模型与Kelvin-Voigt模型参数的对应关系，确定出便于理论分析的Kelvin-Voigt模型参数，即弹性刚度与阻尼系数。

(3)扣件胶垫刚度的频变试验结果表明，如果扣件胶垫等高分子材料刚度具有明显的频变特性，那么扣件胶垫刚度在实际中并非常量。在这种情况下，轨道结构的各阶固有频率并非都是敏感共振频率，只有当外部激振频率fi与该激振频率下扣件胶垫刚度ki的钢轨-扣件系统某阶固有频率相同时，该阶固有频率才是轨道结构的敏感共振频率。

(4)通过计算与分析钢轨-扣件系统的自由振动特征可以发现，在前50阶的钢轨垂向自由振动中，扣件胶垫刚度频变的钢轨垂向敏感共振频率明显高于扣件胶垫常量刚度工况。随着阶数的增加，两工况中相同阶数下钢轨垂向敏感共振频率的差距逐渐缩小。

(5)比较扣件胶垫常量刚度与频变刚度工况下钢轨垂向自由振动的振型可以发现，在钢轨垂向敏感共振频率相同或相近的情况下，扣件胶垫刚度频变的钢轨垂向敏感共振波长明显大于扣件胶垫常量刚度工况。因此，如果不考虑扣件胶垫的频变特征，必然会降低钢轨垂向敏感共振频率及其振型的预测精度。

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若u,v是一个图G中的两个不同的点,且u,v存在图G中的k条内不交的路,则称这k条路为u,v间的k条容器,并记为k-(u,v)容器.若k-(u,v)容器的所有路中包含图G中所有的顶点,则称k-(u,v)容器为k*-(u,v)容器.∀u,v∈V(G),u与v间都存在k*-(u,v)容器,则称图G为k*-连通的.一个图G是k*-连通的,且1 ≤ k ≤ κ(G),则称图G为超支撑连通图,其中κ(G)为图G的点连通度.根据上面定义,若一个图中的任何两点间都存在哈密顿路,则这个图为哈密顿连通图,即等同于1*-连通图;若一个图含有一个哈密顿圈,则这个图是哈密顿图,即2*-连通图.

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