数学问题中的构造法浅谈

陈芙蓉

摘 要：本文主要讨论了解数学问题时几种典型的构造方法，并总结了在使用构造法解题时的某些注意事项，以及构造法在解题时最常见的几种应用。

关键词：构造；转化；变换

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-018-01

解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些问题按照这样的思维方式来寻求解决问题的途径却比较困难，甚至无从着手。这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。

构造法的含义很广：一般认为，在解题过程中，为了实现条件向结论的转化，利用问题的特殊性设计一个新的关系结构系统去实现原问题的解决，这种思维活动的特点在于“构造”，所以称为构造思想。应用构造思想去发现数学理论和解决数学问题的具体方法称为构造法。构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步一步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。用构造法解决问题，无一定之规，表现出思维的试探性，不规则性和创造性。构造解决问题的活动是一种构造性的思维活动。其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，构造出满足问题条件的数学对象，使问题巧妙地获得解决。

一、构造函数法：

这种方法就是构造出与原命题相符合且关系密切的函数，从函数的角度观察、分析、解释命题，沟通命题中条件与结论的内在联系，从而使命题（或问题）得以解决。

例1、已知 ，求证： 。

思路：因为 与 的和为 ，其积为1。根据这两数的结构形式，可构造函数： ， 与 是 =0的二根。

欲证原结论，只须证 即可。

二、构造恒等式：

在解某些数学问题时，需要构造一个恒等式作铺垫，架起通向解题终点的“桥梁”。使问题迅速得以解决。

例2、已知 ，求分式 的值。

思路：待求值式实际上已暗示我们，应设法构造一个恒等式，使之能利用已有的结论：

三、构造数列：

在处理与自然数n有关的命题时，可根据题目提供的特征，通过替换，设想并构造出一个与欲解（证）问题有关的数列，并对该数列的特征进行分析，常常可以由此探寻出解决问题的途径。

例3、求证：

思路：这种类型的问题通常用数学归纳法来证，下面试用构造数列的方法来解。

由以上讨论的几种方法及例题可以看出，应用构造法时应注意以下几点：

1、构造法是一种通过构造新的数学对象使原问题得以转化，从而解决问题的一种方法，所以，构造物的结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，通过构造物这一媒介，应尽可能地使复杂问题简单化。

2、构造方法解决问题的过程比较直观，构造物必须是熟悉的，通过熟悉的构造物将难以入手的问题转化为熟悉的问题。

3、构造法解决问题具有很大的灵活性，针对某一问题如何进行构造，必须有很扎实的数学基础知识和数学经验。

参考文献：

[1] 陈 晨.构造法证不等式的思考途径 [J].数学教学与研究2001.3

[2] 石 珂.构造图形解竞赛题[J]数学通讯.2001.9

[3] 戴冉平.数学方法与解题研究[M]高等教育出版社.1996

[4] 鲍 曼.中学数学方法论[M]哈尔滨工业大学出版社.2002