不确定分数阶多驱动一响应混沌系统同步

张友安,余名哲,吴华丽

(海军航空工程学院控制工程系,山东烟台 264001)



不确定分数阶多驱动一响应混沌系统同步

张友安,余名哲,吴华丽

(海军航空工程学院控制工程系,山东烟台 264001)

摘要：针对一类新的多驱动一响应混沌系统同步方式,基于分数阶系统稳定性理论和Lyapunov稳定性理论,运用追踪控制和滑模自适应控制方法设计了同步控制律和参数自适应律.对象模型考虑了不确定因素的影响,首先选取一类稳定的分数阶滑模曲面,然后提出了一种鲁棒同步方案.最后数值仿真验证了方案的正确性和有效性.

关键词:分数阶混沌系统;多驱动一响应同步;跟踪控制;滑模自适应控制

1引言

混沌同步自1990年由美国海军实验室的学者Pecora和Carroll实现以来就引起了众多学者的强烈兴趣[1],从最初的完全同步[2],到后来的相同步[3]、广义同步[4],滞后同步[5]、投影同步[6],同步方式越来越丰富,同时也越来越复杂.目前学者们还提出了许多新的同步方式,如修正投影同步[7],函数投影同步[8],修正函数投影同步[9]等等,这些新的同步方式一方面拓宽了混沌同步控制的研究范围,另一方面也大大扩展了混沌同步的应用范围.

2012年,周平等人研究了一类新的更为复杂的同步方式:多驱动一响应(Multi Drive-One Response Synchronization,MDORS)混沌同步.顾名思义,这种同步方式,就是采用多个混沌系统作为驱动系统,驱动一个作为响应系统的混沌系统从而实现混沌同步[10].这种同步方式应用于保密通信当中可以大幅提高通信的安全程度,这是因为可以将待发送的原文信号划分为多个部分,每个部分分别加载到不同的驱动系统中;或者以时间划段,将不同时间段的原文信号加载到不同的驱动系统中.很显然,这种同步方式应用于保密通信较以往的同步方式能显著增强通信的安全性.

提高保密通信保密性能的途径一般有两条,除前面所述采用更为复杂的同步方式外,采用混沌吸引子更为复杂的混沌系统也是提高其安全程度的途径之一.低维的整数阶混沌保密通信信号通常容易被截获和破译,而分数阶混沌系统由于其既能维持整数阶混沌系统的混沌特性同时也具有分数阶系统独有的一些特性,比如,分数阶系统描述记忆特性和全局相关性[11]等,并且其混沌吸引子较整数阶次时更加复杂和难以预测[12,13],因此分数阶混沌系统相比整数阶混沌系统在工程中的应用具有更多的优势和更好的性能.同时,对分数阶混沌系统的同步控制进行研究,可以为保密通信的应用和其他复杂系统的建模及控制方面提供有力的理论依据.对分数阶混沌系统的研究已成为近年混沌学界的热点之一[14].

综上所述,本文以提高混沌保密通信的保密性能为目的,在文献[10]的基础上,解决当系统存在不确定因素时如何实现多驱动一响应分数阶混沌系统同步,为这种可以极大提高保密性能的混沌同步方式实现在保密通信中的工程应用铺平道路.

2问题描述

考虑到存在未知参数的情况,本文对文献[10]的对象模型稍作修改并表示为如下形式:

Dqdixi(t)=fi(xi,t)

(1)

Dqry(t)=G(y,t)θ+g(y,t)+u(t)

(2)

以上两式中,将系统式(1)作为驱动系统,系统式(2)为带控制输入的响应系统.qdi,(i=1,2,…,m)和qr分别为驱动系统与响应系统的分数阶次,且满足qdi∈(0,1),qr∈(0,1),m为驱动系统的个数;xi=(xi1,xi2,…,xini)T为第i个驱动系统的状态向量,ni为其维数;G(y,t)∈Rn×p为函数矩阵;θ∈Rp为未知的参数向量;y(t)∈Rn为响应系统状态向量;u(t)∈Rn为控制输入;fi:Rn→Rn和g:Rn→Rn均为连续可微的非线性函数向量.

对于绝大多数的分数阶混沌系统而言,均可用系统式(1)和式(2)的形式来表示.

引理1[15]考虑分数阶系统

Dαx(t)=Cx(t)

其中0<α<1,x(t)为系统的状态向量,C为系统参数矩阵,当C的所有特征值λi满足:

分数阶线性系统的稳定区域如图1所示

显然,当0<α<1时,只要系统的参数矩阵C的所有特征值的实部都不大于零,则分数阶系统是渐近稳定的.

假设1对于系统式(2)存在函数矩阵H(x,y)∈Rn×n,有g(y)-g(x)=H(x,y)(y-x)成立.

定义1多驱动系统式(1)和响应系统式(2),有如下多驱动一响应同步(MDORS)误差方程:

(3)

式中Ci∈Rn×ni为缩放矩阵,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T;y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T;xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xini(t))T.

本文研究的目的就是设计同步控制器u(t),使得当t→∞时,有

(4)

根据误差式(3)和系统方程式(1)、式(2)可得到分数阶误差系统方程为:

=G(y,t)θ+g(y,t)+u(t)

(5)

注释1[10]对于误差表达式(3),当Ci=0(i=1,2,…,m-1)时,为混合投影同步;当Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=diag(α1,α2,…,αn),(αi(i=1,2,…,n)为非零常数),为修正投影同步;当Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=αI(α为非零常数,I为单位矩阵),为投影同步;当Ci=0(i=1,2,…,m-1),Cm=I,为完全同步;当Ci=0,(i=1,2,…,m),变为分数阶混沌系统的控制问题.

注释3对于假设1,很多分数阶混沌系统都是满足的,例如分数阶Lorenz系统,分数阶Chen系统,分数阶Røssler系统等等.

3同步控制器设计

首先选取如下分数阶积分滑模曲面:

(6)

式中s(t)∈Rn,e(t)∈Rn.

对式(6)两边关于时间求导

(7)

当系统发生滑模运动,须满足

(8)

由此可以推得

(9)

对于分数阶误差系统式(9),根据引理1可知其是渐近稳定的,也即当‖s(t)‖→0时,有‖e(t)‖→0.

(10)

从而,响应系统中的控制输入可设计为如下形式:

u(t)=u1(t)+u2(t)

(11)

式中u2(t)为滑模控制器,其具体形式将在后面进行设计.

将式(10)和式(11)代入式(5),可得到整理后的分数阶误差系统方程为:

(12)

由假设1,可整理得

Dqre(t)=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)+u2(t)

(13)

考虑式(7)和式(8),并将式(9)和式(13)代入,可得到待设计的滑模控制器的等效控制u2eq

u2eq(t)=-G(y,t)θ-(H(x,y)+I)e(t)

(14)

根据变结构控制的一般形式,取滑模控制u2为:

u2(t)=u2eq(t)+u2d(t)

(15)

式中u2d为非线性不连续控制.

接下来设计u2d,将式(13)、式(14)和式(15)代入式(9),有

=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)+u2(t)+e(t)

=G(y,t)θ+H(x,y)e(t)-G(y,t)θ-

(H(x,y)+I)e(t)+e(t)+u2d

=u2d

(16)

选取如下趋近律:

(17)

式中K1和K2为设计的正定增益矩阵.

(18)

由式(15)～(18),可以设计滑模控制律:

(19)

选取参数自适应律:

(20)

式中μ为设计权重.

对于上述同步控制律有定理1:

定理1当选择控制器式(11)和参数自适应律式(20),驱动系统式(1)和响应系统式(2)将实现多驱动一响应混沌同步.

证明将式(19)和式(13)代入式(7)可得

选择如下Lyapunov函数

(22)

对式(22)两边关于时间求导,并将式(20)和式(21)代入

=-sTK1s-sTK2sgn(s)

≤-k1sTs-k2‖s‖1≤0

上式中k1和k2分别为增益矩阵K1和K2的最小特征值.

注释4[10]驱动系统式(1)状态向量xi∈Rl,(i=1,2,…,m),响应系统状态向量y∈Rn,若l≠n,即对于不同维分数阶混沌系统的多驱动一响应同步,只需要选择Ci∈Rn×l,(i=1,2,…,m)即可.

4数值仿真

为验证所设计的多驱动一响应同步控制器的有效性,本节采用文献[10]的分数阶混沌系统模型进行仿真分析,下列系统的混沌相图可参见文献[10],分数阶的数值运算采用预估-校正算法.

分数阶Arneodo系统如下所示

(23)

当qd1=0.998时,分数阶Arneodo系统存在混沌吸引子.

分数阶Chen系统如下所示

(24)

当qd2=0.85时,分数阶Chen系统存在混沌吸引子.

分数阶Lorenz系统如下所示

(25)

根据模型式(2),可将Lorenz系统改写为如下形式:

根据g(y,t)的表达式,计算H(x,y)矩阵

对于本例,结合式(3),有

即

上式中(C1)ij和(C2)ij分别为矩阵C1和C2中第i行j列的元素;x1j和x2j分别为驱动系统式(23)状态向量x1和驱动系统式(24)状态向量x2中第j个元素.

从而有

即

式(26)中第三个等式用到了e的定义式(3),其变换过程以第3个分量为例说明如下:

-x1x2+y1y2=(x1y2-x1x2)+(-x1y2+y1y2)

=x1e2+y2e1

由式(19)和式(20)可得反馈控制律u2(t)和参数自适应律为

仿真时引入加性高斯白噪声[17]用来模拟实际通信环境,3维混沌系统的多驱动一响应仿真结果如图2～图7所示.从图中可以看到在控制器式(11)的作用下,误差系统状态渐近收敛到零点,并且响应系统的未知参数在自适应律式(20)的作用下在有限的时间内逼近真值,可见控制器对噪声具有较好的抑制能力.

为简单起见,参考文献[17]的方法,将给定的原文信号:m(t)=2+1.5cos(3t)+1.2sin(5t),采用加法运算分别与分数阶Chen系统和多驱动混沌系统的第一维状态量进行加密混合.在用多驱动系统进行加密时,将原文信号分为两部分

并将这两部分分别与分数阶Arneodo系统和分数阶Chen系统混合,仿真结果如图8、图9所示:

安全性分析

多驱动一响应混沌同步应用到基于混沌掩盖技术的保密通信中可以极大的提高通信的安全性能.在该方法中,传输信号的安全性得到了增强.

(1)窃听者极难对发射器的输出信号进行解析.由于原文信号可以被划分为多个部分分别加载到不同的驱动系统中,与传统的一驱动一响应混沌保密通信方式在加密方式上完全不同,所获得的混合信号更为复杂,其由多个不同的混沌信号和原文信号的片段所组成.

(2)所截获的混合信号极难分析出驱动系统的混沌类型.对于一驱动一响应加密方式,由于驱动系统只由一个混沌系统所构成,解析起来相对要容易一些,而多驱动加密方式中,驱动系统的个数及类型极难预估.并且,多个混沌系统信号经过迭加计算后,其动态性能已发生了巨大的变化,从图9中可以看到,混合信号的动态性能已无法看出与单独的分数阶Arneodo系统及分数阶Chen系统的动态性能有任何关联,想要解码原文就更加困难.

由以上的分析可知,多驱动一响应混沌同步方式能够增强传输信号的安全性能,同时,由于其具有多个驱动系统,因此也将具更高容量的动态存储能力.

5总结

本文对具有多个驱动系统一个响应系统的多驱动一响应同步方式进行了研究,由于这种同步方式能极大的提高保密通信的保密性能,在混沌保密通信应用中具有巨大的应用前景.目前对这种同步方式的研究还很少,周平等人[10]在理想对象模型的基础上,严格遵循分数阶线性系统稳定性理论,通过对控制器的反馈控制单元的设计试凑出能够使得误差系统分数阶稳定的系数矩阵,该方法虽然比较灵活，但是当系统存在不确定性的时候就显得无能为力了.本文选取一类分数阶滑模曲面,将Lyapunov直接法引入同步控制中,运用滑模自适应技术设计了同步控制器,该方法解决了文献[10]对系统不确定性无法处理的缺陷,将该同步方式向实际工程应用推进了一大步.

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张友安男,1963年5月出生,湖北天门人,教授,海军航空工程学院控制工程系教授.研究方向为非线性理论,导航、制导与智能控制等.

E-mail:zhangya63@sina.com

余名哲男,1982年3月出生,湖北荆州人,海军航空工程学院控制工程系博士研究生.研究方向为非线性控制与混沌同步.

E-mail:18953589889@189.cn

Multi-Drive-One Response Synchronization of Fractional-Order Chaotic Systems with Uncertainties

ZHANG You-an,YU Ming-zhe,WU Hua-li

(DepartmentofControlEngineering,NavalAeronauticalandAstronauticalUniversity,Yantai,Shandong264001,China)

Abstract:Based on fractional-order system stability theory and Lyapunov stability theory,a new synchronization type named multi-drive-one response synchronization (MDORS) of fractional-order chaotic systems is studied.Synchronization control laws and parameter adaptive laws are designed by using tracking control method and sliding mode adaptive control method.The uncertain factors are considered in object model.Firstly,a stable fractional-order sliding mode is selected,and then a robust synchronization scheme is proposed.At last,simulations are given to verify the correctness and effectiveness of the scheme.

Key words:fractional-order chaotic system;multi drive-one response synchronization;tracking control;sliding mode adaptive control

作者简介

DOI:电子学报URL:http://www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.03.017

中图分类号:TN918

文献标识码：A

文章编号：0372-2112 (2016)03-0607-06

收稿日期:2014-06-26;修回日期:2014-09-19;责任编辑：梅志强