广义半整数不完全伽玛函数及其应用

刘国兴， 吕成军， 秦惠增

(1. 山东理工大学 理学院, 山东 淄博 255049； 2. 齐鲁医药学院 公共教学部, 山东 淄博 255213)



广义半整数不完全伽玛函数及其应用

刘国兴1，2， 吕成军1， 秦惠增1

(1. 山东理工大学 理学院, 山东 淄博 255049； 2. 齐鲁医药学院 公共教学部, 山东 淄博 255213)

摘要：对广义不完全伽玛函数Γ(α,z;b)的性质进行了研究并得到一系列结果.特别是Γ(α,z;b)的闭形式仅由误差函数表示.通过递推公式,给出了Γ(α±n,z;b),n=1,2,…的显式表示.

关键词：伽玛函数； 广义不完全伽玛函数； 贝塞尔函数； 修正贝塞尔函数

广义不完全伽玛函数定义为

(1)

其中α∈R,x≥0,b≥0或者 α≤0,x,b≥0,xb≠0,b. 对于这类特殊函数,已有许多结论[1-8]. 特别当α=n-1/2(n=0,1,2,…)时,文献[1]给出了半整数贝塞尔函数有限闭形式的表示

(2)

其中Iα和Kα是第一类和第二类修正贝塞尔函数.本文中,考虑广义不完全伽玛函数的几种其他表示形式.

1关于Γ(α±n,x;b)的递推性质

对于Γ(α±n,x;b)的递推性质,需要引入下面的性质.

引理1[1]1) 递推关系

Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x

(3)

2) 函数关系

(4)

给出如下形式

Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

(5)

进而得到An(α,b),Bn(α,b),Pn(α,b,x)的表达式.

由(3)式得到

Γ(α+n,x;b)=(α+n-1)Γ(α+n-1,x;b)+bΓ(α+n-2,x;b)+xα+n-1e-x-b/x

(6)

结合(5)式和(6)式,可以看出An(α,b),Bn(α,b)和Pn(α,b,x)满足以下递推关系：

An(α,b)=(α+n-1)An-1(α,b)+bAn-2(α,b),A0(α,b)=1,A1(α,b)=α

(7)

Bn(α,b)=(α+n-1)Bn-1(α,b)+bBn-2(α,b),B0(α,b)=0,B1(α,b)=b

(8)

Pn(α,b,x)=(α+n-1)Pn-1(α,b,x)+bPn-2(α,b,x)+xn-1,P0(α,b,x)=0,P1(α,b,x)=1

(9)

由(7)式～(9)式,给出下面的引理.

引理2当n=0,1,2,…时，An(α,b)可以表示为如下形式

(10)

其中[u]表示向下取整函数,(α)n是Pochhammer符号,即

(α)0=1,(α)n=α(α+1)…(α+n-1)

(11)

证明(I) 由(7)式,有

A0(α,b)=1,A1(α,b)=α,

(12)

这表明对于n=0,1,(10)式成立.

(II) 假设当n≤k(k=1,2,…)时(10)式成立, 对于n=k+1,将n=k+1代入(10)式,有

Ak+1(α,b)=(α+k)Ak(α,b)+bAk-1(α,b)

(13)

将(13)式中的m替换为j-1,得到

(14)

其中

(15)

将(15)式代入(14)式,得到

(16)

所以当n=k+1时(10)也成立.这样证明了(10)式成立.

引理3 当n=1,2,…时，Bn(α,b)可以表示为如下形式

(17)

证明(I) 由(8)式,有

B1(α,b)=b=bA0(1+α,b),B2(α,b)=(α+1)b=bA1(1+α,b)

(18)

这表明对于n=1,2,(17)式成立.

(II) 假设当n≤k(k=2,3,…)时(17)式成立,对于n=k+1,将n=k+1代入(8)式,有

Bk+1(α,b)=(α+k)Bk(α,b)+bBk-1(α,b)=b(α+k)Ak-1(1+α,b)+b2Ak-2(1+α,b)

(19)

利用(7)式、(19)式变为

Bk+1(α,b)=bAk(1+α,b),

(20)

这表明当n=k+1时(17)式成立.这样证明了(17)式成立.

引理4当n=1,2,…时,Pn(α,b,x)可以表示为如下形式

(21)

证明(I)当n=1,2时,(9)式变为

P1(α,b,x)=1,P2(α,b,x)=(α+1)+x,

(22)

所以,对于n=1,2,(21)式成立.

(II)假设当n≤k时(21)式成立 ,对于n=k+1,将n=k+1代入(9)式,有

(23)

通过变量替换m=j-1和z=j-2得

bAj-2(α+k+1-j,b))

(24)

利用(7)式,有

(25)

这表明当n=k+1时(21)式成立.这样证明了(21)式成立.

由引理2～4, 有下面的定理.

定理1当n=0,1,2,…,0≤α<1并且b>0时,下面的关系成立

Γ(α+n,x;b)=An(α,b)Γ(α,x;b)+Bn(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pn(α,b,x)xαe-x-b/x

(26)

其中B0(α,b)=0,P0(α,b,x)=0,Bn(α,b),Pn(α,b,x)(n≥1)和An(α,b)(n≥0)分别由(17)式,(21)式和(10)式给出.

证明(I)利用(3)式,有

Γ(α+1,x;b)=αΓ(α,x;b)+bΓ(α-1,x;b)+xαe-x-b/x=

A1(α,b)Γ(α,x;b)+B1(α,b)Γ(α-1,x;b)+P1(α,b,x)xαe-x-b/x

(27)

这表明对于n=0,1,(26)式成立.

(II) 假设当n≤k(k=1,2,…)时(26)式成立,对于n=k+1,利用(6)式,(7)式,(8)式和(9)式,得到

Γ(α+k+1,x;b)=xα+ke-x-b/x+(α+k)Γ(α+k,x;b)+bΓ(α+k-1,x;b) =

Ak+1(α,b)Γ(α,x;b)+Bk+1(α,b)Γ(α-1,x;b)+Pk+1(α,b,x)xαe-x-b/x

(28)

这表明当n=k+1时(26)也成立.证明(26)成立.

引理5[1]

(29)

(30)

推论1对于n=0,1,2,…,下面的关系成立

(31)

按照上面的讨论,给出下面的定理,因证明过程基本相同,这里省略.

定理2当n=0,1,2,…,-1<α≤0,b>0时,下面的关系成立

Γ(α-n,x;b)=Qn(α,b)Γ(α,x;b)+Rn(α,b)Γ(α+1,x;b)-Sn(α,b,x)xαe-x-b/x

(32)

其中R0(α,b)=0,S0(α,b,x)=0,

(33)

(34)

(35)

推论2当n=0,1,2,…时,下面的关系成立

(36)

2应用

推论3当n=0,1,2,…,z>0时,下面的关系成立

(37)

(38)

(39)

由式(38),式(39)以及式(4),得到

(40)

参考文献:

[1]Chaudhry M A, Zubair S M. Generalized incomplete gamma functions with applications[J]. Comput Appl Math, 1994, 55(1): 99-123.

[2]Chaudhry M A, Zubair S M. On the decomposition of generalized incomplete gamma functions with applications to fourier transforms[J]. Comput Appl Math, 1995, 59(3):253-284.

[3]Chaudhry M A, Temme N M, Veling E J M. Asymptotics and closed form of a generalized incomplete gamma function[J]. Comput Appl Math, 1996, 67(2): 371-379.

[4]Miller A R, Moskowitz I S. On certain generalized incomplete gamma functions[J]. Comput Appl Math, 1998, 91(2): 179-190.

[5]Boudjelkha M T, Chaudhry M A. On the approximation of a generalizedincomplete gamma function arising in heat conduction problems[J]. Math Anal Appl, 2000, 248(2): 509-519.

[6]Chaudhry M A, Zubair S M. Extended incomplete gamma functions with applications[J]. Math Anal Appl, 2002, 274(2):725-745.

[7]Veling E J M. The generalized incomplete gamma function as sum over modified bessel functions of the first kind[J]. Comput Appl Math, 2011, 235(14): 4 107-4 116.

[8]Ebaid A, Alhawiti H S. New application for the generalized incomplete gamma function in the heat transfer of nanofluids via two transformations[J]. Comput Eng, 2015(2015), Article ID 293105: 1-6.

(编辑：刘宝江)

The generalized incomplete Gamma function for half-integers and its application

LIU Guo-xing1,2, LYU Cheng-jun1, QIN Hui-zeng1

(1. School of Science, Shangdong University of Technology, Zibo 255049, China;2. Public Teaching Department, Qilu Medical University, Zibo 255213, China)

Abstract:In this paper, a study is conducted on the series expansion of the generalized incompl-ete Gamma function Γ(α,z;b), the findings of which shows that the new closed form of Γ(α,z;b),n=0,±1,±2,…is only represented by the error function. Finally, through the recurrence formula,the explicit representation of Γ(α±n,z;b),n=1,2,… is brought forth.

Key words:Gamma function; generalized incomplete Gamma function; Bessel function; modified Bessel function

中图分类号：O174.6

文献标志码：A

文章编号：1672-6197(2016)04-0028-05

作者简介：刘国兴，男，lgx_001180@163.com; 通信作者：秦惠增，男，qinhz@sdut.edu.cn

基金项目：国家自然科学基金项目(61379009)

收稿日期：2015-12-16