金属杨氏模量静态测量与动态测量对比研究

余小英，梁冬萍

（1．广西民族师范学院物理与电子工程系，广西崇左532200；2．广西北海市银海区第一小学，广西北海536000）

金属杨氏模量静态测量与动态测量对比研究

余小英1，梁冬萍2

（1．广西民族师范学院物理与电子工程系，广西崇左532200；2．广西北海市银海区第一小学，广西北海536000）

金属杨氏模量的测量可分为静态法和动态法两种。拉伸法和弯梁法是静态法中常用的两种方法，这两种方法主要是通过对待测材料受力形变进行测量，进而求出金属杨氏模量。振动法是通过波在金属中传播引起材料的共振，通过测量共振频率来间接测量金属杨氏模量，属于动态测量。静态法测量其杨氏模量，待测材料容易受损，不适用于软、脆性材料，而动态法不会产生形变损坏，也不受材质的限制，也可以测量不同温度下的材料的杨氏模量。实验对比表明，静态法中的拉伸法和弯梁法的实验精确度相差不大，而动态法精确度稍差。

杨氏模量；振动法；拉伸法；弯梁法

目前对于金属的杨氏模量的测量，一般采用拉伸法[1]82、弯梁法[1]85或振动法[2]95-102，[3]64，[4]29-32等。拉伸法和弯梁法主要是通过对待测材料受力形变进行测量，进而求出金属的杨氏模量，可以归结为静态法；振动法是通过波在金属中传播引起材料的共振，通过测量共振频率来间接测量金属的杨氏模量，属于动态测量。这两种方法有各自的优缺点，笔者从实验原理、不确定度来源、实验测量等方面对这两种方法进行对比。

一、测量原理对比

（一）静态法

拉伸法和弯梁法是静态法测量金属杨氏模量的两种典型方法，虽说都是利用金属受力发生形变来测出金属杨氏模量，但在测量原理上还是有所区别的。

1.拉伸法原理

静态拉伸法是金属杨氏模量测量中最为常见，也是最简单的一种方法。一根粗细均匀的金属丝，长度为L，截面积为S，当在金属丝两端施加大小相等、方向相反的外力F时，伸长了△L，则金属的杨氏模量为

式中比例系数Y表示杨氏模量，其数值与材料的性质有关。若金属丝的直径为d，则金属的杨氏模量计算式为

由于伸长量△L的值很小，一般采用如图1所示光杠杆放大法测量。

设光杠杆前后脚的距离为b，直尺到光杠距离为D（实验中取D>>b）。当金属丝受力伸长△L，光杠杆后脚也会随之下移△L，此时光杠杆上的平面镜转动引起反射激光线照在直尺上位置变化量为，则

将（3）式带入（2）式中有

2.弯梁法的测量原理

弯梁法测量金属杨氏模量的实验装置图如图2（a）所示，Y为杨氏模量，用以下式子表示。

式中，d为两刀口间的距离；M为所加砝码的质量；为梁的厚度；b为梁的宽度；△Z为梁中心由于外力作用下降的距离，如图2（b）所示。弯梁的弯曲量可用霍尔位移传感器测出。

（二）动态法

动态法测量金属杨氏的实验装置如图3所示。这种方法是利用金属棒做受迫振动，测出金属棒发生共振频率的方法来求出金属的杨氏模量。具体做法：信号发生器将弦波信号加在激振器上，引起金属棒受迫振动，金属棒连接拾振器，拾振器将机械振动转变成电信号并将其送到示波器中显示。当信号发生器的频率等于金属棒的固有频率时，发生共振现象，用示波器测出金属棒的共振频率即固有频率。根据振动方程可推导出动态法测量金属杨氏模量的计算式为

式中l为棒的长度，d为棒的直径，m为棒的质量。根据式（6），即可计算出金属的杨氏模量。

二、不确定度来源分析

根据以上论述的测量原理，不同的测量方法，不确定度的来源不一样。为方便比较，在此只考虑B类不确定度，仪器的示值误差限△仪一般取最小分度的，相应的不确定度为

（一）拉伸法不确定度计算

测量数据中L、△x和D用钢卷尺测出，其仪器的示值误差限△仪=0.065mm；b由50分度的游标卡尺测出，仪器的示值误差限△仪=0.02mm；d由螺旋测微计测出，仪器的示值误差限△仪=0.004mm；质量m由电子天平测出，仪器的示值误差限△仪=0.01g。将这些数据代入不确定度的计算式可求出相应的不确定度。根据不确定度的传递公式，可得到拉伸法测金属杨氏模量的不确定度表达式为

（二）弯梁法不确定度计算

测量数据中d用钢卷尺测出，其仪器的示值误差限△仪=0.065mm；b由50分度的游标卡尺测出，仪器的示值误差限△仪=0.02mm；a和z由螺旋测微计测出，仪器的示值误差限△仪=0.004mm；质量m由电子天平测出，仪器的示值误差限△仪=0.01g。各自不确定度的计算和拉伸法的不确定度计算方法相同。根据不确定度的传递公式，可得到弯梁法测金属杨氏模量的不确定度表达式为

（三）动态法不确定度计算

测量数据中用钢卷尺测出，其仪器的示值误差限△仪=0. 065mm；d由50分度的游标卡尺测出，仪器的示值误差限△仪=0.02mm；质量m由电子天平测出，仪器的示值误差限△仪=0. 01g。各自不确定度的计算和以上两种方法的不确定度计算方法相同。根据不确定度的传递公式，可得到动态法测金属杨氏模量的不确定度表达式为

三、实验测量对比

为了便于比较这几种测量方法，以不锈钢为材料，用这几种方法测得的实验数据如下。

表1 拉伸法杨氏模量测量数据表

表2 弯梁法中霍尔位移传感器U-Z数据表

表3 弯梁法测量金属杨氏模量实验数据表

表4 动态法测量金属杨氏模量实验外延法测共振频率数据

由表4数据可得图4（利用外延法）。由图可得共振频率479.5 Hz,为根据式（6）求得动态法测量金属的杨氏模量为Y= 2.18×1011N·m-2。

相对于不锈钢的杨氏模量标准值Y=1.97×1011N·m-2，静态拉伸法测得的金属丝的杨氏模量为Y=1.851×1011N·m-2，相对误差为6.1%；弯梁法测得的金属梁的杨氏模量为Y=2.015× 1011N·m-2，相对误差为5.1%；振动法测得的金属棒的杨氏模量为Y=2.18×1011N·m-2，相对误差为10.7%。

结语

从实验操作的难易程度来看，静态拉伸法所需要的实验仪器简单，只需增加对金属丝的拉力F，记录反射激光线在直尺上的位置刻度即可。弯梁法的实验操作难度适中，在此实验中还需要了解霍尔传感器的原理及利用；实验时需要先测出霍尔位移传感器的灵敏度，再利用相应的霍尔电势差求出△Z即可求出金属梁的杨氏模量。振动法需要专用仪器，实验操作量大，不易判断各点的共振频率，需要用外推法得出金属棒的基频频率。

通过测量的结果可以看出，静态法中的拉伸法和弯梁法的实验精确度差不多，而动态法精确度稍差。但是，利用材料受力发生形变的办法来测量其杨氏模量，容易造成受力超出弹性限度的情况，待测材料容易受损，不适用于软、脆性材料，而动态法不会产生形变损坏，也不受材质的限制，也可以测量不同温度下的材料的杨氏模量，特别是一些易碎的、脆性的贵重材料，采用动态法更合适。

[1]余小英，李凡生．大学物理实验[M]．长春：吉林大学出版社，2014．

[2]李书光．大学物理实验[M]．北京：科学出版社，2012．

[3]杨周琴．共振法测量金属材料的杨氏模量实验探讨[J]．高教前沿，2011（09）．

[4]吴明阳，朱祥．动态法测金属杨氏模量的理论研究[J]．大学物理，2009（03）．

责任编辑：谢雪莲

Static and Dynamic Measurement of Metal Young's Modulus

YU Xiao-ying,LIANG Dong-ping
(1.Guangxi Normal University for Nationality,Guangxi Chongzuo,532200;2.Guangxi Beihai No.1 Primary School in Yinhai District,Guangxi Beihai,536000)

Measurements of Metal Young's Modulus can be divided into two kinds of static and dynamic methods.Stretching and bending beam methods are static ones commonly used in two ways,both of which primarily measure Metal Young's Modulus by measuring the force of material deformation.Vibration is caused by the resonance from wave propagation in the metal material.The dynamic measurement is to indirectly measure the Young's Modulus by the resonant frequency of the metal.The static method can produce damage in test material easily,not applying to soft and brittle material,while dynamic method does not produce deformation or damage,and not be limited in materials,and the Yang s Modulus can also be measured at different temperatures.Test results show the experimental accuracy of stretching and bending beam method of static method is more accurate than dynamic method’s.

Young's Modulus,vibration method,stretching method,curved beam method

O42

A

1674-8891（2016）03-00011-03

2016-03-15

2014年广西民族师范学院学科带头人科研启动项目（编号：2014RCDT002）；2014年度国家民委科研立项项目（编号：14GSZ009）。

余小英(1972—)，女，壮族，广西隆安县人，广西民族师范学院物理与电子工程系副教授，研究方向：物理实验教学；梁冬萍（1993—），女，广西北海人，广西北海市银海区第一小学教师，研究方向：小学科学实验。