一道几何压轴题的解法探究及亮点赏析——2016年北京市海淀区初三第一学期期末试题第28题

2016-05-03北京市中关村中学杨爱青

中学数学杂志 2016年6期

关键词：作图度数周长

☉北京市中关村中学　杨爱青

☉北京市中关村中学杨爱青

一、原题呈现

题目（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为_______；

（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长.

①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；

图1

图2

图3

二、解法探究

几何题，我们首先看到的就是它的图，题中的图2、图3给出了正方形，图3还给出了正方形的中心，感觉很熟悉，很亲切，正方形的性质无外乎两点，第一点是旋转，也就是绕着它的中心旋转90°、180°、270°与自身重合，第二点就是轴对称，它有四条对称轴.图1说的是什么？它跟正方形有什么联系？带着这个问题我们一起走进这道题.

先解决第（1）问、第（2）问的①.

根据垂直平分线的性质可以得到AD=BD，这样就有BD+CD=AD+CD=AC，因此△BCD的周长等于AC+BC，等于3.

了解了图1，但是它跟图2、图3中的正方形有什么联系还不知道，继续往下看第（2）问的①.

看我们要作的△EDF，它是直角三角形，其周长一定，为正方形的边长，一条直角边DE图中已给定，它的斜边EF与另一条直角边DF的和应该等于CE的长；再看图1中的△BCD，也是直角三角形，它的周长为3，一条直角边BC的长为1，另一条直角边CD与斜边BD的和为2.

我们完全可以仿照图1解决△EDF的作图问题.能够想到△EDF的作图与图1有联系，并且能够正确建立这个联系，是解决这一问的关键.题目中明确了：“F为AD边上一点”，仿照图1，把斜边EF与直角边DF的和CE，搬到DG处（作AF=CE或AG=DE），连接EG，作EG的中垂线，EG的中垂线与DG的交点即为点F，如图4所示.

图4

然后解决第（2）问的②.

方法1：由学生熟知的“基本图形”迁移得到.

有了前面作图的铺垫，尝试度量∠EOF的度数，发现是45°，联想到图5（学生对这个图非常熟悉），把“△EDF的周长等于AD的长”这个条件转化为“△EDF的周长=DH+DG”，进而转化为“EF=FH+EG”，如图6所示，然后按照“成题”的思路解决问题就可以了.

方法2：由△EDF的作图方法迁移得到.

如图7，在AD上截取AG，使得AG=DE，连接OA、OD、OG.由△ODE≌△OAG，可以证明∠EOG=90°，OE=OG，由“△EDF的周长等于AD的长”，AG=DE，容易得到EF= FG，再通过△OEF≌△OGF得到∠EOF=45°，也可以通过OF为EG的中垂线和等腰三角形的性质得到∠EOF=45°.

图7

方法3：由图1和图2的联系“勾股弦图”联想得到.

图8可以看做是将图1放入正方形ABCD中得到的，将图8中的△GED绕点O逆时针旋转90°、180°、270°，就得到了我们熟悉的“弦图”，如图9所示，借助这个“弦图”可以求得∠EOF=45°.借助“弦图”求∠EOF的度数，应特别注意书写规范，首先可以借助全等证明四边形EGHM为正方形，然后借助平行四边形BEDH的对角线互相平分，证明O也是正方形EGHM的中心，得到∠EOG=90°，进而得到∠EOF=45°.

再解决第（2）问的③.

第一类方法：利用相似.

如图10，由AF、CE、OF、OE，我们顺藤摸瓜找到了△COE和△AFO，易知∠1=∠2=∠EOF=45°，图11是图10中的一部分，这个图我们熟悉吗？

图10

图11

图12

如图12，∠1+∠2=180°-α，∠3+∠2=180°-α，所以∠1=∠3.

方法3：如图10，不难证明，∠CEO=∠FEO，∠EFO= ∠AFO，因此，△COE∽△OFE∽△AFO，所以OE2=EF· CE，OF2=EF·AF，也可得到

第二类方法：利用勾股定理计算得到.

方法4：利用勾股定理构造方程求解.

如图6，设OE=x，则正方形边长为9k+x，由AF=8k可知DF=k+x，EF=8k-x，由勾股定理可得x2+（k+x）2=（8k-x）2，求得DE=3k，DF=4k，EF=5k，所以AD=12k，进而得到OG= OH=6k，GE=3k，FH=2k，再用勾股定理算出OF=2OE=3，得到

方法5：利用“勾股弦图”求解.

如图13，设DF=CJ=BL=AK=b，DE=a，EF=c，则AF=a+c，a2+b2=c2.由FK2=2OF2=AF2+AK2=b2+（a+c）2，可得OF2=c·AF.

同理，如图9，DE=CM=BH=AG=a，则DG=CE=b+c，a2+b2=c2.由EG2=2OE2=DE2+DG2=a2+（b+c）2可得OE2=c·CE.

图13

最后是解题后对题目的反思.

思考1：图中周长等于正方形边长的直角△EDF唯一吗？如果不唯一，有多少个？点E的运动范围（DE的取值范围）是什么？

思考2：在点E的运动过程中，有∠EOF=45°，EO、FO分别为∠CEF、∠AFE的平分线，，这些不变量或不变的关系，还有其他的吗？

由△COE∽△AFO，还可以得到AF·CE=AO2=AB2，这个结论又说明了什么？它是不是说明在“△EDF的周长等于正方形的一边长”的条件下，如图14，矩形BGMH的面积是个定值，始终为正方形ABCD面积的一半？这个结论的证明，还有其他方法吗？

图14

我们老师个人的能力是有限的，只要您把分析图形的方法教给学生，然后把具体地分析这个图的任务放手交给学生，相信学生一定会给您一个大大的惊喜.

三、亮点赏析

1.问题引导探究，突出研究问题的基本方法和基本活动经验的考查

本题第（2）问的解答过程就是一个典型的数学问题的探究过程，它很好地体现了研究几何问题的基本套路和方法.第①小问，在图2中作出△DEF，第②小问，在图3中补全图形并求∠EOF的度数，第③小问，应用第②小问的结论解决问题，这样的设置，使学生在解题的过程中，经历了一个动手操作（作图）——猜想结论（合情推理）——证明结论（演绎推理）——应用结论的过程，并通过这样的过程，积累如何去研究问题的经验.本题中，对“∠EOF的度数”这一不变量的认知，是建立在学生自己动手作图、度量猜想的基础上的，它具有不可替代的直观性，对学生认识图形结构，理解问题、解决问题有着积极的意义.

2.设问层层递进，注重数学思想方法的考查

设问层层递进，这里有两层含义，一是指试题的几个问题逐层深入，前一个问题是后一个问题的铺垫.第（1）问是为第（2）问的第①小问做铺垫，△EDF的作图可以仿照图1来完成；而第（2）问的第②小问求∠EOF的度数，无论是得出结论还是证明结论的方法，都离不开△EDF的作图；第（2）问的第③小问的解答，是建立在前面结论的基础上的.二是难度的递进.第（1）问，考查线段的中垂线的性质，对学生来说比较容易；第（2）的第①小问的作图，依赖于在阅读理解的基础上，建立△EDF的作图与图1的联系，考查的是对图形的迁移能力，相比第（1）问要有些难度；第（2）的第②、③小问，更是综合了三角形的全等和相似、正方形的性质、勾股定理、旋转等知识，考查学生分析解决综合问题的能力，完全答对实属不易.本题难度层次非常清楚，体现了较好的区分度.

本题着重数学思想方法的考查.建立图1与△EDF作图之间的联系，然后运用类比的思想方法解决△EDF的作图问题；第（2）问的第③小问，利用勾股定理构造方程求解，考查了方程与建模的思想；第（2）问的第②小问，由于图2中的点E为一给定的特殊位置，由这一特殊位置度量出∠EOF的度数去猜想一般性的结论，并从第①小问的作图中受到启发，得到求∠EOF度数的方法（方法2），这里渗透了特殊化这一探究问题的方法；题目解决的过程中，始终都没离开化归、变换的思想方法.

3.打破思维定式，突出对核心内容、数学本质的考查

由前面的解法探究可知，本题主要涉及三个“基本图形”，如图15所示，它们有的来自我们的教材，有的是教材中例习题的变式，三个基本图形链接精巧，环环相扣，浑然一体.对这些基本图形和相应的结论，学生都非常熟悉，可仍感觉这道题并不容易，这是由于题目的考查角度比较新颖，不是记住一些图形，记住图形中的一些结论，生搬硬套就可以解决问题的，只有对这些图形的结构、图形之间的联系有比较透彻的理解，才能正确解答，25.5%的得分率也说明了这一点.考查的核心内容不变，考查的角度新颖独特，打破思维定式，多思少算是本题的特色之一，也是北京中考改革的一个方向.