基于“课标要求”的“一元二次方程”课例及分析

☉浙江省象山县教育局教科研中心　邬云德



基于“课标要求”的“一元二次方程”课例及分析

☉浙江省象山县教育局教科研中心邬云德

一、背景介绍

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程内容的教学要求（以下简称“课标要求”）是课堂教学活动的指南，是教学评价的尺度和标准.但在以浙教版义务教育教科书数学八年级下册第二章第1节“一元二次方程”为载体的“多人同课异构”式的教研活动中发现，课堂教学普遍与“课标要求”存在较大偏差.网上查阅同类课例发现也有类似的现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，将形成的教学方案进行实践，课后得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历再认列方程的过程——明确研究的问题

师：我们知道，现实生活中有许多数量相等关系问题可以转化为一元一次方程、二元一次方程（组）问题.这些方程（组）够用了吗？请大家根据下列问题中的条件列出方程.

（1）象山新桥特产“白枇杷”进入了丰收期.据调查2012年收购价是4元/斤，2014年收购价是5元/斤.若设单价平均每年上升的百分率为x，则x应满足怎样的方程？

（2）长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m.若梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离都等于S，则S应满足怎样的方程？

（3）某种包装盒的表面展开图如图1（单位：cm）所示.若包装盒的容积为750cm3，则图中x应满足怎样的方程？

图1

（约4分钟后）

师：谁来回答（1）？

生1：4（1+x）2=5，即4x2+8x-1=0.

师：不错.谁来回答（2）？

生2：（3+S）2+（4-S）2=25，即S2-S=0.

师：不错.谁来回答（3）？

生3：15×（15-x）x=750，即x2-15x+50=0.

师：不错.列上述方程的思维过程是什么？

生4：审题→分析→列方程.

师：好的.列方程的关键是什么？

生5：列方程的关键是分析出问题中数量的相等关系.

师：好的.上述所列的方程是不是一元一次方程？是不是二元一次方程（组）？

生6：它们既不是一元一次方程，也不是二元一次方程（组）.

师：好的.这说明从生活问题中还可以抽象出新形式的方程.

师：正因为许多实际问题可以转化为这类方程，所以就有研究这类方程的必要.这类方程有何特征？怎样求解？有何用处？本章就来探讨这些问题.（揭示课题）

环节2：参与定义一元二次方程的活动——形成一元二次方程的概念

师：方程“4x2+8x-1=0”与一元一次方程“4x+8x-1= 0”有何差异？

生7：一元一次方程未知数的最高次数是1，而这个方程未知数的最高次数是2.

师：不错.方程“4x2+8x-1=0”与二元一次方程“4x+ 8y-1=0”有何差异？

生8：二元一次方程有两个未知数，而这个方程只有一个未知数.

师：不错.上述所列方程有何共同特征？

生9：它们都含有一个未知数.

师：对！你是从未知数的个数角度来归纳的.

生10：它们未知数的最高次数都是2.

师：对！你是从未知数的次数角度来归纳的.

生11：它们左右两边都是整式.

师：不错！你是从代数式的类型角度来归纳的.

生12：它们整理后可以写成ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，且a≠0）的形式.

师：你也运用了归纳思想，并有较强的符号表示意识.

师：大家从不同角度发现了这类方程的许多特征，但其本质特征是“一元”（一个未知数）、“二次”（未知数的最高次数是2）、“整式”.

师：一般地，等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.由于任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，所以我们把ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.

师：在ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）中，为什么要规定a≠0？为什么不规定b和c也必须不为0？

生13：若a=0，则它不是一元二次方程.当a≠0时，若b=0或c=0，它仍是一元二次方程.

师：好的.获得一元二次方程的概念经历了哪几个步骤？

生14：根据条件列出方程→观察所列方程的特征→归纳所列方程的共同特征→抽象一元二次方程的本质特征→用文字定义一元二次方程→用符号表示一元二次方程.

师：好的.这个获得概念的思维活动过程以后会经常用到.

环节3：参与巩固概念的活动——合作解答有代表性的问题

师：现在请大家合作解答下列问题.

（1）下列方程哪些是一元二次方程？

①10x2=9；②2（x-1）=3x；③2x2-3x-1=0；④-2=0；⑤2xy-7=0；⑥9x2=5-4x；⑦4x2=5x；⑧3y2+4=5y.

（2）表1中的空格处应填什么？

表1

（3）若关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=和x2=-3，则b和c的值分别是什么？

（约5分钟后）

师：谁来回答（1）？

生15：①、③、⑥、⑦、⑧是一元二次方程.

师（追问）：判断的依据是什么？

生15：一元二次方程的定义.

师：好的.谁来回答（2）？

生16：

表2

师（追问）：求二次项系数、一次项系数和常数项需要经历哪几个步骤？

生16：先把一元二次方程化成一般形式，再求二次项系数、一次项系数和常数项.

师：好的.由（2x-3）2=（x+1）2，得3x2-14x+8=0的依据是什么？

生17：依据是多项式乘法法则和等式的性质.

师：好的.谁来回答（3）？

师（追问）：解题的依据是什么？

生18：解题的依据是一元二次方程根的定义.

师：好的.解题之后思考解题的依据是学习数学的良好习惯.

（接下来，教师要求学生完成课本中的练习题.待学生完成任务后组织学生进行交互反馈与评价）

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

（2）获得一元二次方程的概念经历了哪几个步骤？

（3）求二次项系数、一次项系数和常数项有何经验？

（4）你对一元二次方程有何感触？你认为还应该研究什么？

其次，教师组织学生合作交流，同时教师边倾听、边评价.

第三，在此基础上教师让学生欣赏一元二次方程的自述.

Hi！我是一元二次方程.我可以看成是从实际问题中抽象而来的，也可以看成是从方程概念中演绎出来的.我的本质特征是“一元”“二次”“整式”，我的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0），以后你会知道化我为这种形式有许多好处，所以你要掌握求我的二次项系数、一次项系数和常数项的方法.由于我与一元一次方程有许多相似之处，所以研究我的内容和研究我的方法可以与一元一次方程的研究内容与研究方法类比.之所以人们喜欢我，是因为我是刻画现实世界数量相等关系的重要数学模型.告诉你：求我的解有许多方法，你在认识我和用我解决实际问题的过程中，能感受到许多蕴含其中的数学思想和积淀许多蕴含其中的数学活动经验，还能发展你的智力、能力和个性.

三、教学分析

“一元二次方程”的“课标要求”是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解一元二次方程的一般形式，会求二次项系数、一次项系数、常数项”.浙教版教材对一元二次方程的概念处于归纳层次.但目前许多教师对这节课的理解与实践方式与“课标要求”和教材意图存在偏差：在“列一元二次方程”的教学中，有些教师采用“举一反三”（从单一的情景中通过变式抽象出多个一元二次方程）的方式；有些教师提供的情境性问题不具有代表性；有些教师采用直接给出一元二次方程的方式.这些教学行为都与“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”的要求存在偏差.在“定义一元二次方程”的教学中，大多数教师没有引导学生经历“观察→归纳→抽象→定义→表示”的完整认知过程，导致有悖于处于归纳层次的概念教学的基本规范.在“巩固概念”的教学中，有些教师引进了需要分类讨论的含有字母系数的方程，明显偏离了“课标要求”.

一元二次方程可以看成是从实际问题中抽象出来的，也可以看成是数学自身逻辑的产物.但采用从实际问题中抽象出一元二次方程的方式，有利于感悟方程的本质，并且根据条件列一元二次方程的过程有能力发展点，其蕴含的抽象思想及列方程的经验，对发展学生的智力有积极的影响，也有化解列方程难点之意.因此，用于产生一元二次方程的情景性问题要有代表性，以感悟一元二次方程的应用价值.用一元二次方程的有关概念解决问题，旨在巩固概念和发展智慧技能，也有为用公式法求一元二次方程的根作铺垫之意，但选用的载体要紧扣“课标要求”.本课例根据“课标要求”和教材意图，将其教学立意于“再认、体验、铺垫”，并以有代表性的问题为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用从具体到抽象的思维策略和教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，引导学生经历了完整的认知过程.在“列一元二次方程”的教学中，既有根据条件列方程的过程，以产生定义对象所需要的学习“题材”，又有列方程之后的反思，以再认列方程的思维过程，感悟一元二次方程也是刻画现实世界数量关系的有效模型.在“定义一元二次方程”的教学中，既有“观察→归纳→抽象→定义与表示”的过程，以形成一元二次方程的有关概念，发展多角度看问题的意识，又有获得概念之后的反思，以明确为何要求二次项系数不能等于0及积淀获得数学概念的思维活动经验.在“巩固概念”的教学中，既有概念辨别，求二次项系数、一次项系数和常数项，以及已知方程的根求字母系数的过程，以巩固有关概念和发展智慧技能，又有辨别和求解之后的追问，以明确判断和求解的依据及感悟其蕴含的演绎思想和积淀求二次项系数、一次项系数和常数项的经验等.这体现了过程教育和以学为中心思想，也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范，能实现“能根据问题的条件列出方程，能初步感悟一元二次方程也是刻画现实世界数量关系的重要模型；能说出一元二次方程的本质特征，能知道二次项系数为何不能等于0，能知道一元二次方程的一般形式，能说出获得一元二次方程概念的基本步骤；会求一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，会根据已知方程的根求方程中的字母系数”的教学目标.因此，全面发挥数学概念的育人功能，需要教师研读“课标要求”和领会教材的意图.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书·数学（八年级下册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.