级数求和的若干方法

级数求和是高等数学中的一个重要内容。本文主要分为数项级数求和与函数项级数求和两部分。在数项级数求和的若干方法中，主要讨论了级数收敛定义求和法，傅里叶级数求和法，阿贝耳定理法，利用幂级数求数项级数的和。其中，用级数收敛定义法是基础，包括裂项相消，错位相减等九种常见方法。在函数项级数求和的若干方法中，则选取特殊的幂级数与三角函数项级数，讨论了幂级数性质法，逐项求导法与逐项积分法，转换成微分方程法等。并采用讲述和举例相结合的方式，选取一些典型题目进行分析，体会理解方法。

无穷级数理论是高等数学中的一个重要组成部分。它是研究函数的性质，函数的表达，进行数值计算的有力工具，其应用是随着微积分理论的发展而发展起来的，无论是在数学学科还是在其他科学技术中都有广泛的应用，其理论的发展也起到了极其重要的影响和作用。求收敛级数的和是研究级数的任务之一。无穷级数求和是一个综合性的问题，涉及到的数学理论知识和方法很多，技巧性也比较强，一般很难掌握遵循的规律和解题的要领，是学习的重点也是难点，所以归纳总结一些级数求和的常用方法显得尤为重要。

在大多数教材或者其他数学书籍中，大量的介绍了级数的有关概念以及判断级数敛散性的定理，级数求和的常用方法，并且很多文献对级数求和进行了深层的探讨，数项级数求和法一般归纳为三类：一是基本方法，包括利用等比数列的求和公式，裂项，组合及错位相减等方法；二是常用方法，包括逐项微分和逐项积分法，利用初等函数的幂级数展开式，利用函数的傅里叶级数展开式等；三是特殊方法，包括交换求和顺序等；幂级数求和法归纳为两类：一是利用幂级数的性质法，包括幂级数的运算，逐项微分与逐项积分；二是把幂级数转化成微分方程法。这些方法之间是相互联系的。例如，待定系数法中，把待定的系数求出后再用裂项相消法。多数方法所解决的一类题目都是有共同特点的，比如说求部分和子序列法对非正项级数常常是行之有效的。但并不是每一道题目，只能用那一种方法，很多题目可以有多种不同的解法。例如，求级数 的和，可以用待定系数与裂项相消相结合的方法，也可以利用已知级数和与级数基本性质的方法，蕴含的思想不同，解法就不同，但最终的结果是一致的。

无穷级数包括常数项级数和函数项级数，对于无穷级数求和首先要考虑其收敛性，常数项级数在收敛时可以求和，函数项级数在其收敛域内可以求和。第一部分为常数项级数求和法，具体方法主要分为四类：一是利用级数收敛定义求和法，其中包括了公式法，分组求和法，裂项相消法等九种方法。在裂项相消法中，具体分为五种常见的形式。二是利用幂级数求常数项级数的和，主要运用幂级数的相关性质。三是利用阿贝耳定理法，其基本思想也可以归结为利用幂级数的性质法。四是利用傅里叶级数求和法。第二部分是函数项级数求和法，主要是特殊的幂级数和三角函数项级数。其中，幂级数求和法主要运用幂级数的和，乘积，复合运算，逐项求导与逐项积分的性质。三角函数项级数则巧妙的与复变量指数函数相联系。

特别需要注意的是，对于无穷级数求和，首先，要考虑其敛散性，常数项级数在收敛时才可以求和，函数项级数在其收敛域内可以求和。

在常数项级数求和的若干方法中，主要利用级数收敛定义求数项级数和的方法，傅里叶级数求和法，阿贝耳定理法以及利用幂级数求数项级数的和。其中，利用级数收敛定义求数项级数和的方法是基础，包括公式法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法，方程式法，待定系数法，利用欧拉公式法，子序列求和法，利用递推关系式法，这九种方法和中学所学的数列知识紧密联系，都是利用中学所学的基本求和公式，或者将所求级数化为已知的等比数列，然后再进行求和运算，方法简单，容易掌握解题技巧。利用幂级数求和法是通过已知的幂级数展开式，使求和变得简洁，并且将变量用不同的数值代入，即可得到许多数项级数的和。阿贝耳定理法是利用幂级数的连续性定理和阿贝耳第二定理，并且建立在幂级数性质的基础上，其实质可以归纳到利用幂级数求和法。傅里叶级数求和法则按照公式依次计算出某一函数的傅里叶系数，然后利用傅里叶展开式在这一函数上指定点的值计算出原级数的和。

在函数项级数求和的若干方法中，主要为幂级数求和与三角函数项级数求和的方法。幂级数求和需利用幂级数的和，乘积，复合等运算，在收敛域内逐项求导与逐项积分的性质，将级数转化为一些易知的基本求和公式的级数。还可以建立以和函数为未知函数的微分方程，通过解微分方程得到和函数，使幂级数和微分方程很好的结合在一起，但问题的难点在于如何构造微分方程，并且要熟悉掌握微分方程的解法。三角函数项级数求和则巧妙的运用复变量指数函数展开式，使计算变得简便。

级数求和涉及到的数学理论知识很多，并且运用一定的方法技巧，所以是个综合性的问题。在以后的学习中要善于发现探索，及时总结，并结合级数在其他科学技术及理论知识的应用，归纳出新的方法，将级数更广泛的应用在数学以及其他科学领域中，以实现它的价值。

（作者单位：辽宁工程技术大学理学院）