分类讨论在高中数学教学中的应用
2016-04-29周果叶
高中数学中有许多解题思想，主要包括数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想、函数思想、方程思想等，其中分类讨论思想是高中数学中最常用的思想，用来解决含有参数的复杂的数学问题，把复杂的问题简单化是运用分类讨论思想的目的，分类讨论的过程就是把一个复杂的整体问题按一定的标准分解为若干个简单的子问题的过程，再把这些子问题的结论进行归纳总结，最后得出整体结论。应用分类讨论思想解决数学问题大致就是这样一个过程，但是也要在实践中不断练习，实践才能出真知，那教师如何教导学生在高中数学中应用分类讨论思想呢？下面以高二数学为例，通过四个方面介绍一下。
一、准确确定讨论对象。
研究对象的准确确定是分类讨论的第一步，只有把讨论对象确定好了，才能进行后续的讨论，一般题目中只有一个参数的，就把这个参数确定为讨论对象，对这个对象分类讨论；如果题目中有多个参数，就要对题目进行分析，把哪个参数确定为讨论对象比较简单，如果选择的讨论对象不对，会增加解题的繁琐度，起到适得其反的效果，所以准确确定研究对象很重要。教师在教学过程中要给学生渗透正确确定讨论对象的思路，以简单可行为主，在确定讨论对象时，要对题目进行全面分析，让复杂的数学问题简单化。
比如：函数f（x）=ax2-2a2x+2，对于满足1
二、按照一定的标准进行分类。
准确确定讨论对象后，第二步就是按照一定的标准对讨论对象进行分类，分类标准一定要具有科学性、全面性，做到分类不重复、不遗漏，不能随意地分类。有关实数的题目，分类讨论的标准就是全体实数；有关数学概念的，分类讨论的标准就是数学概念的限制范围；有关绝对值的，就要根据绝对值的意义确定分类标准。合理地确定分类标准是建立在学生对数学知识充分理解的基础之上，如果学生对数学知识理解的不够透彻，就无法清晰地按照一定的标准进行分类。教师在教学过程中要引导学生合理地确定分类标准，增强学生思考的逻辑性、综合性和探索性。确定分类标准的关键是不能遗漏，也不能重复，如果分类标准都确定错了，那整道题目就无法解答正确了。
比如：上面的函数题目中，a是全体实数，讨论的标准就要涵盖全体实数，不要有遗漏，以0为分界点，把实数a分成三种情况，a>0，a=0，a<0，不重不漏，依次进行讨论。对于分类的标准一定要谨慎，如果在这一步出现遗漏或者重复的情况，那后边的讨论、求解、整合都是徒劳。
三、逐步讨论、求解。
准确确定讨论对象、按照一定的标准进行分类之后，第三步就是逐步讨论、求解了，注意讨论时要按照一定的顺序，不要忘记或忽略任何一种情况，这个过程考验学生的耐心和细心，教师一定要教导学生有条不紊地把每种情况都讨论到，不要急于求成，使分类讨论不彻底。求解的过程更考验学生的细心，不能马虎，稍有不慎，就会出现错误，同时也考验了学生解题的严谨性。教师在教学过程中要培养学生严谨的习惯，严谨的习惯是学习任何东西都需要的。在分类讨论中培养的严谨习惯，在数学的任何解题过程中都可以用到，以后不论遇到多复杂的题目，学生都可以以一个冷静、严谨的心态来对待和解决。
比如：已知关于x的不等式k（x-2）>x+6，解该不等式。这个不等式中的k是参数，先对不等式进行变形，（k-1）x>2k+6，针对k>1，k=1，k<1这三种情况逐步讨论、求解，在求解过程中一定要细心，注意不等式的符号。
四、归纳小结、整合得出结论。
逐步讨论、求解完毕之后，就到了归纳小结、整理得出结论的时候，这一步经常会被学生忽略，学生以为分类讨论完之后就万事大吉了，其实不然，最后一步恰恰是最关键的一步，分类讨论的目的是就是能让复杂的问题得到解决，得出结论，如果只做了前三步，那题目还是没有完成。教师在教学过程中要培养学生整合的习惯，不要半途而废，贯穿数学中所谓的整体思想，完美地完成解题的最后一步。
比如：完成逐步讨论、求解之后，一定不要忘了归纳小结、整合得出结论，例如上面不等式的题目，最后要总结确认一下，不等式的解集为什么。这样才保证了解题的完整性。
以上内容通过四个方面阐述了分类讨论在高中数学教学中的应用，分别是：准确确定讨论对象，按照一定的标准进行分类，逐步讨论、求解，归纳小结、整合得出结论。这是在高中数学教学中应用分类讨论的四个步骤，只有把这四个步骤都运用到位，才能准确地运用分类讨论思想解决复杂的问题，但是教师也要引导学生具体问题具体分析，不要让学生运用千篇一律的方法进行解题，这样就曲解了应用分类讨论思想的目的，还要让学生在解题过程中多理解、多运用，找到适合学生自己的解题方法。当然，教师还要不断提高自己的数学专业水平，并在教学实践中不断总结、不断积累，找到更好地方法让学生运用分类讨论思想，达到事半功倍的效果。
（作者单位：山西省大同市左云县高级中学）
