把握数学本质 合理设计教学——以“两条直线相互垂直”一课为例



把握数学本质合理设计教学
——以“两条直线相互垂直”一课为例

王善波

(江苏省兴化市楚水实验学校，225700)

《普通高中数学课程标准(实验)》指出:“高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质．”对于课本上每一个数学法则,都应想方设法揭示其发展过程．这就要求我们遵循学生的认知规律,精心设计问题,把重要法则的学习过程设计成为在教师指导下的“再创造”过程,并以此让学生获得那些终身受用的东西,即数学的本质:数学的精神、思想和方法．

本文以笔者所听的一节课“两条直线相互垂直”为例,从教学设计的角度对这节课作简要的反思并提出几点想法,希望能与同行交流,并得到数学教育专家们的指导．

一、课堂简录

师:在上一节课中,我们一起探讨了两条直线相互平行的位置关系.我们知道,当直线斜率不存在时,……直线斜率存在时,……该结论反过来也成立(教师边讲边通过投影屏幕展示结论)．请同学们回忆,我们是用什么方法探究两直线平行的位置关系?

(学生回忆思考)

师:我们是从两条直线平行的图形出发,通过它们倾斜角的大小关系,推导到两条直线斜率的关系;反过来,确定了直线方程满足一定关系时,可以得出两条直线平行．这正体现了数学中数形结合的思想方法．

师:本节课,请大家也按照这样的方法来探讨两条直线垂直的位置关系,请看下面的问题．

(教师在投影屏幕上出示问题:如果两条直线l1,l2满足l1⊥l2,那么它们的倾斜角有什么关系?斜率又有什么关系?)

问题提出不足30秒后,教师请一位同学回答．

师:很好!那么它们的斜率又有什么关系呢?

生2:它们的斜率互为负倒数．

师:其他同学有不同意见吗?

生3:当两条直线的斜率都存在且不为零时,斜率互为负倒数,也就是斜率之积等于-1;当其中一条直线斜率不存在时,另一条直线的斜率为零.

(教师在投影屏幕上打出问题,然后在小组间巡视、观察．2分钟后,教师发现多数同学对于k1k2=-1的条件无法转化,不知如何入手,教师有些急躁,于是提示学生可以从三角函数的知识或从平面几何的知识入手．)

又过了几分钟,教师请同学来交流自己的探究结果．

生4:当一条直线的斜率不存在,另一条直线斜率为零时,这两条直线垂直;当两直线斜率满足k1k2=-1时,我还没有想好．

教师询问是否有同学想好如何说明,学生没有反应,这时教师没有继续引导(后来知道,怕教学任务不能完成),于是自己在黑板上画图,用课本习题介绍的相似三角形的方法证明了k1k2=-1时,两条直线也垂直．(限于篇幅,证明过程从略)教师最后强调反过来也成立,将黑板上原有结论中的“⟹”改为“⟺”．

由于上面用时较长,所以对于定理的应用只讲了课本的例题1(详见苏教版必修2).教师先请同学说明思路,然后请另一个同学板演．

二、反思

教师是在类比两条直线平行的位置关系上提出了本节课的研究课题,即两条直线垂直与它们方程之间的关系.应该说是在学生已有知识基础上开展数学活动,从原有的认知结构中生长出新知识,产生新问题,这在常规课堂中并不少见,即先把本节课要用到的知识、方法复习一遍,再抛出要研究的问题.但这样做真的有利于学生学力的提高吗?仔细思考不难发现教师是牵着学生向前走的,研究的问题和方法都是教师提出的,教师认为学生只要模仿就行了,学生只是被动地完成老师布置的任务．笔者认为可以这样处理,先提出解析几何的两大基本问题,思考已经解决了哪些问题,还要解决哪些问题,由学生自己提出如何借助直线的方程来研究直线的垂直问题,然后让学生分析讨论,教师逐步引导、补充,最后自然而然就会回到定理的等价性问题上了．这样,通过问题提供学生在思维最近发展区内的学习任务,能激发学习动机与兴趣；另外,也使得教学内容结构化,保持思想方法的一致性,符合教学设计的结构原则．

定理建构是本节课的难点,由两直线垂直得到直线倾斜角的关系,进一步得到直线斜率之间关系,这一过程进行比较顺利,学生容易理解．但是其逆命题的说明教师处理得比较生硬,用三角形相似的方法在学生头脑中没有“生长点”,学生有“丈二和尚摸不着头脑”的感觉.教材中的处理是一带而过,没有过多解释,只是在后面的习题中作为问题给出,原因是这部分要用三角函数的有关知识,而三角函数的内容安排在必修4．定理的建构应该建立在学生已有的知识基础上,即使教师采用讲授法,也应结合学生的实际水平和认知特点.其实，我校学生在此之前已经学习过必修4的相关内容,学生在思考该问题时,已经能够想到将斜率转化为三角函数的正切值,再转化为角的大小关系．学生在课堂上没有回答出,主要原因是三角函数知识的遗忘以及教师留给学生的时间不充分(在笔者附近座位的个别同学已经按此思路演算)．笔者认为,此处既然是本课的难点,应让学生充分思考,必要时可以相互讨论,教师可以补充一些提示语.如“条件是什么?”“要证明的结论是什么?”“斜率如何转化?”等等,帮助学生分析,让学生在思维受阻时能调整思路,明确方向．处理好这一过程将大大提高学生的逻辑思维能力,这与“重结果,更重过程”的理念是一致的．

定理的应用既是对定理的进一步理解,又是对教学效果的反馈.从本节课来看,学生掌握了两条直线相互垂直时的代数关系,在具体应用时还不够熟练,有些解题的过程还需要调整和优化,这些可以通过后续课程补充．在这里,笔者的想法是,可以先安排一道判断两直线是否垂直的问题,然后再谈例1.这样一正一反,前后呼应,两个方面的应用都有,题目由易到难,后面有可能还可以综合起来进行变式,有利于学生“结构化”的接受、掌握．对于板演学生的做法,用待定系数法解题也未尝不可,对这类个案,可以加以引导,如“已知直线上一点,要求直线方程,还需要什么条件”等,从而对前面所学内容进行归纳、巩固．由于时间关系,学生的课堂训练量偏少,需要在课后进行弥补,以便学生更好地理解所学知识．

三、认识

1.遵循认知规律

有效的教学取决于有效的学习,对教师教学效果的评价应着眼于学生获得了什么,除了知识的获取外,更要注重学生学习能力、学习方法的培养．从这个意义上讲,教师不应该是知识的传授者,而应该成为学生学习的组织者、引导者．学生在前面已经经历过运用直线的方程研究两条直线平行,本节课可以说是对用代数方法研究几何问题这一核心方法以及如何运用该方法进行研究的复习与巩固,处理得好,可以有“异曲同工”之妙．从认知规律来讲,一种方法的掌握,必须经过模仿、内化、应用等多个环节,通过不断的训练,达到螺旋上升,直至完全领会．因此,必须创设恰当的问题情境来引导学生积极思考，高明的教师往往善于提出有价值的问题,引发学生思考、提问．有价值的问题要关注学生的认知特点,从学生的“最近发展区”提出．问题的解决既不能让学生“唾手可得”,也不能“遥不可及”,而是让他们在解决问题的过程中达到一种“愤、悱”状态,能够“跳一跳,够得着”,体会学习的快乐,增强自信心．

2.保证学生的主体地位

当学生成为学习活动的主体,学习才是有效的学习．传统的课堂教学模式中,教师在规定的时间内完成事先准备的内容,注重了知识的传输,对作为学习主体的学生关注不够,因而教学效率不高,学习的效果自然不会好．保证学生的主体地位,就是心中有学生,考虑到学生的知识基础、认知特点和学习心向等,设计合理的问题．适合学生的教学才是有效的教学,关注学生成为有效教学的前提．课前,要关注新旧知识的联系,学生是否具备学习新知识的学习条件,是否具备了学习新知的“心向”;课上,要时刻关注学生的学习状态,包括学习的反应、情绪等,对出现的问题及时处理,调整自己的教学;课后,也要关注学生的反馈,包括作业、学生问题等．教学过程中,只有对学生全程关注,才能有针对性地设计教学,才是高效的课堂,才会是高质量的教学．

3.重视数学精神的渗透

一位著名的哲学家说过，“真正教育的旨趣”,即“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了,但还能使他获得受用终身的东西的那种教育,才是最高最好的教育”．因而,教学中最重要的就是数学的精神、思想和方法,而数学知识只是第二位的．本节课中,有着活动于解决问题过程中的数学精神,从简单推及复杂,从特殊推及一般,把一般化归为特殊(这也是一种发现的法则,一种发现的方法的过程).另外,本节课也给出了解析几何中一般的研究方法,涉及到一系列的数学思想．所以,在给学生讲授数学定理、数学问题时,不能仅着眼于把该定理,该问题本身的知识教给学生,还要利用这些定理、问题启发锻炼学生的思维能力,教给学生发现定理、法则的方法,培养学生学习数学的兴趣,促进数学素养在活动中提升．