对一道圆锥曲线试题的研究与引申

周跃佳

摘 要：2015年高考全国Ⅱ卷理科第20题是一个关于椭圆的定值问题. 本文通过对该题第一问的解答，抽象出一个椭圆的一般命题，并将其推广到双曲线中去.

关键词：椭圆；双曲线；定值

x 提出问题

（2015年全国Ⅱ卷理科第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点

问题的解答

解：（Ⅰ）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0. 所以xM==-，

yM=kxM+b=. 于是直线OM的斜率kOM==-，即kOM·k=-9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）略.

结论的推广

引理1：已知椭圆C：+=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-.

证明：设直线l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

将y=kx+m代入+=1得：（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，所以xM==，yM=kxM+m=. 所以kOM==-，故kOM·k=-.

推论1：已知椭圆C：+=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为-.

证明：（由对称性知，kOM·k=-）

设直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），

结论的类比

引理2：已知双曲线C：-=1（a>0，b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为.

证明：设直线l：y=kx+m （k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

将y=kx+m代入-=1得：（b2-a2k2）x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=.

推论2：已知双曲线C：-=1，（a>0，b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为.

证明：（由对称性知，kOM·k=）

设直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

将：y=kx+m代入-=1得：（b2k2-a2）x2+2b2kmx+b2m2-a2b2=0，xM==，yM=kxM+m=. kOM==，故kOM·k=.