撷寻常之材 筑高考之路

冯平

摘 要：曲线与方程是解析几何中不容忽视的重要内容，它为研究曲线的性质提供了重要的前提，在高考中也常有涉及，经常在解析几何题目的第一问中考查. 如何求动点的轨迹方程是其重中之重，学习时需要掌握常用的求解方法. 本文根据曲线与方程的含义要点，结合例题浅谈求轨迹方程的常用方法，旨在启发学生善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互关系，总结和归纳求轨迹方程的常用方法，提高学生的解题能力、优化学生的解题思路.

关键词：曲线与方程；轨迹方程；解题

曲线与方程是解析几何中不容忽视的重要内容，它为研究曲线的性质提供了重要的前提，教材中的二次曲线的性质都是在先解决方程的基础上研究的，同时在高考中也常有涉及，经常在解析几何题目的第一问中考查. 如何求动点的轨迹方程是其重中之重，学习时需要掌握常用的求解方法，下面根据曲线与方程的含义要点，结合例题浅谈求轨迹方程的常用方法.

曲线与方程的含义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件下的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

要点剖析：

（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，说明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）.

（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）.

求轨迹方程的常用方法

1. 直接法

当动点满足的条件是一些关系式时，可直接将关系式坐标化，而得出轨迹方程，这种求解方法叫作直接法，即曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标方程. 经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程.其一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验，关键步骤在于对式子的化简，最后的检验通常省略.

例1 已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程.

解：设点P的坐标是（x，y），则+3-x=4，

（1）当x≤3时，方程变为+3-x=4，化简，得y2=4x；

（2）当x>3时，方程变为+x-3=4，化简，得y2=-12（x-4），

故所求的点P的轨迹方程是y2=4x，0≤x≤3，

评注：本题要注意对点P横坐标的讨论，注意化简过程是否保持方程的同解（若化简过程破坏了保持方程的同解性，要注意补上遗漏的点或要挖去多余的点）；检查以方程的解为坐标的点是否在曲线上，否则将混有假轨迹，破坏了轨迹的纯粹性，对此应为重视. “轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）.

2. 定义法

当动点满足的条件满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义时，则可根据该曲线的定义建立轨迹方程，这种求解方法叫作定义法.把握有关曲线定义的实质是求解的关键.

例2 如图1，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM=PN. 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.

解：如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为O1（-2，0），O2（2，0）. 设P（x，y），则PN2=（x-2）2+y2-1，PM2=O1P2-O1M2=（x+2）2

这就是动点P的轨迹方程.

评注：动圆圆心轨迹问题中①动圆与两外离定圆均外切（含相交）；②动圆过定点且与定圆外切；③动圆过定点且与定直线相切；④动圆与两定圆一个外切，一个内切；⑤动圆过定点且与定圆相切，通常要考虑圆锥曲线定义的应用.

3. 参数法

当动点P（x，y）的坐标x，y之间的直接关系不易或无法找到，也没有相关点可用时，可考虑x，y用一个或几个参数来表示，如x=f（t），

y=g（t）消去参数t得轨迹方程，此法称为参数法. 这是求轨迹方程的一种非常重要的方法. 运用此法时应注意合理选用参数，如斜率k、角θ、时间t等，然后将x，y用参数表示出来，应明确参数的取值范围，确保轨迹的纯粹性和完备性.

例3 已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P′，使OP·OP′=9，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程.

因此点M的轨迹是长轴长为6、短轴长为4的椭圆（除B，B′）.

评注：参数法是选修中的重要考查内容之一，因此在轨迹方程中要给予足够的重视. 在本题中影响动点P的因素很多，比如直线BP的斜率、动点P的坐标等，本题也可选择BP的斜率作为参数.

4. 转移代入法

设点M是已知曲线F（x，y）=0上的动点，点P因点M的运动而运动（即点P是点M的相关点），求点P的轨迹方程.

①设点M的坐标为M（x0，y0），则F（x0，y0）=0；

②设点P的坐标为P（x，y）；

③因为“点P随点M的运动而运动”，可以求得：x0=f（x，y），y0=g（x，y）；

④把x0=f（x，y），y0=g（x，y）代入F（x0，y0）=0，即得所求点P的轨迹方程.

例4 已知点P1（x0，y0）为双曲线-=1（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2，求线段P1P2的中点P的轨迹的方程.

以上是求动点轨迹方程的常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程. 但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围. 在平时教学中，启发学生善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互关系，总结和归纳求轨迹方程的常用方法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路将很有帮助.