“三板斧”秒杀平面向量数量积

曾敏

摘 要：平面向量的数量积是向量的核心内容，也是高考考查的热点内容. 平面向量的数量积分坐标形式与几何形式两种. 利用这两种形式及相关的性质，我们不仅可以解决平面向量的长度、角度、垂直等问题，还可以解决一些函数的最值问题，往往可以收到化繁为简、化难为易的效果.

关键词：向量数量积；转化法；坐标法；几何法

平面向量是高中数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，而且经常和平面几何、最值、范围等问题结合起来，充分体现了向量的工具性作用. 而作为向量的核心内容之一的数量积运算又是高考考查的热点内容，学生颇感困惑.基于此，本文通过一个具体案例谈一谈解决平面向量数量积问题的方法与策略.

例 如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则·的取值范围是_________.

①“必杀技一”——转化法

分析：向量， 均由基底向量，线性表示，

而且已知，的模与夹角，可用定义直接求.

评注：借助原有图形对所求向量进行分解转化，化为用一组基底表示的向量进行处理. 此法要求所选的基底的模与夹角可知，计算中灵活运用可以减少运算量、思维量，特别对于平面图形不含坐标系或不方便建立坐标系的情况更可以达到事半功倍的效果.

②“必杀技二”——坐标法

分析：由于三角形边角给定，可把其放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数和向量运算，从而使问题得到解决.

解法二：以A点为原点，以AB所在直线为x轴，如图2建立直角坐标系，

则A（0，0），B（2，0）.

由于0≤λ≤1，故·的取值范围是[-5，2].

评注：从几何形态解决问题较困难时，可采用代数方法. 若向量出现在矩形、正方形、直角梯形、特殊三角形等图形中时，可以建立适当的平面直角坐标系，将向量用坐标表示，选择坐标法进行运算.

③“必杀技三”——几何法

分析：从数量积的几何意义看求两个向量的数量积关键就是一向量的模与它在另一向量方向上的投影的乘积.

解法三：由余弦定理知：

BC==定值.

由数量积的几何意义知：

·等于的模乘以在方向的投影.

过A作AH⊥BC于H点

易知：当D在B处时，投影最小，即：

当D在C处时，投影最大. 即：

故·的取值范围是[-5，2].

评注：向量的几何方面的应用，充分体现数学解题的转化思想和数形结合思想.

上述例子充分显示了平面向量数量积求解的特点，处理此类问题的策略很多，归结到底：①“转化法”关键紧扣定义，转换概念. ②“坐标法”建系化为代数中的函数最值问题. ③“几何法” 构造几何图形巧解函数最值. 充分利用好三板斧（“转化法”、“坐标法”、“几何法”）可以真正意义上秒杀数量积相关问题.