Sharpe比率与RR比率的一致性研究

文平，贾达明

(常州工学院数理与化工学院,江苏常州213002)



Sharpe比率与RR比率的一致性研究

文平，贾达明

(常州工学院数理与化工学院,江苏常州213002)

摘要：研究发现在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的风险测度与报酬测度满足正齐次性与平移不变性,根据RR比率进行的投资业绩排名与用Sharpe比率的排名是一致的。由于文中的RR比率中的风险测度与报酬测度均满足正齐次性与平移不变性，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作为业绩评价指标是一种不错的选择。

关键词：Sharpe比率；RR比率；位置-尺度分布族；测度

0引言

Sharpe比率[1]是最著名的基金业绩评价指标。传统的观点认为，只有当基金收益分布为正态分布或效用函数为二次函数时，Sharpe比率才是有效的。然而，收益的正态分布假设和二次效用函数假设均存在理论上的缺陷，以及缺乏实证支持。所幸的是上述2条要求都不是使用Sharpe比率评价投资所必须的。Meyer[2]证明了当投资收益属于位置-尺度分布族时，即任意2份投资收益的分布只存在位置参数与尺度参数的差异时，期望效用暗含了Sharpe比率对投资的排序，文献[3]证明了在位置-尺度分布族中当源的支撑可达到负无穷时，均值-方差准则与期望效用理论是完全一致的。Levy[4-5]指出描述投资收益的很多分布属于位置-尺度分布族。这些都预示着投资收益的非对称和肥尾都不是拒绝使用Sharpe比率的理由。

继Sharpe比率被提出后，在最近20年里，基金先后出现了一系列业绩评价指标，其中一类包含许多评价指标的测度是RR比率[6]。与Sharpe比率不同的是RR比率计算风险调整的投资的正报酬。那么，是否存在条件使得Sharpe比率与RR比率一致？为回答这个问题，有必要搞清楚位置-尺度分布族及其性质、RR比率及其所包含的主要评价指标等问题，这些将分别在下文加以阐述，并给出了主要研究结果。

1位置-尺度分布族

位置-尺度分布族可以用很多方法定义，通常的定义如下描述。

在经济、管理中，为了便于应用，位置-尺度分布族通常被定义为由1个随机变量经过仿射变换Y=μ+σX生成的分布族。这样任何1个随机变量都可生成1个位置-尺度分布族。为讨论方便，不妨设X是均值为0、方差为1的随机变量，并称X为位置-尺度分布族的源。否则，

此时，Y可视为由X1生成的分布族,而X1是均值为0、方差为1的随机变量。由此可以得到位置-尺度分布族的等价定义。

显然，若X服从标准正态分布，则以X为源的位置-尺度分布族就是正态分布族。若X服从均值为0，方差为1的均匀分布，则以X为源的位置-尺度分布族就是由所有均匀分布组成的分布族。位置-尺度分布族还包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族、稳定分布族等。从定义可以看出，任何1个均值为0，方差为1随机变量X都可以生成1个位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何1个随机变量都是其源的1个仿射变换。

文献[3]证明了在位置-尺度分布族中当源的支撑可达到负无穷时，均值-方差准则与期望效用理论是完全一致的，有如下定理。

定理说明：位置-尺度分布族满足某种条件时，均值-方差准则与期望效用理论是完全一致的。而Sharpe比率是均值与标准差之比，这隐含着只要业绩评价指标与期望效用理论是一致的，那么它与Sharpe比率也是一致的。

2RR比率

RR比率是一类重要的业绩评价指标，它被定义为资产收益的报酬测度与资产收益的风险测度的比值，即

式中：r为投资收益；rb代表参照投资的收益，通常可设为无风险投资收益率；ν(r-rb)为报酬测度；ρ(r-rb)为风险测度。当采用不同的报酬测度及不同的风险测度时，RR比率便成为包含一些比较著名比率的业绩评价指标，包括Sharpe比率、Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率[7-8]、Rachev比率[9]、MAD比率等。

2.1Sharpe比率

资产收益的Sharpe比率是超额收益的数学期望与它的标准差的比值，即

式中：r为投资收益；E(r-rf)为r-rf的数学期望；σ(r-rf)为r-rf的标准差；rf为无风险投资收益率。广义来讲Sharpe比率也是一种RR比率。

2.2Sortino比率

资产收益的Sortino比率被定义为

2.3Sortino-Satchell比率

Sortino-Satchell比率是Sortino比率的推广，通常被定义为

2.4Farinelli-Tibiletti比率

Farinelli-Tibiletti比率的提出是基于2个偏矩的单边波动率，与Sortino-Satchell比率不同的是，投资的报酬测度不是用数学期望来测度，而是用上偏矩来测度，定义为

式中：p≥1；q≥1；rb代表参照投资的收益率。因而，当投资收益高于参照投资的收益，它被视为报酬；当投资收益低于参照投资的收益，它被视为风险。

2.5Rachev比率

Rachev比率被定义为

2.6MAD比率

资产收益的MAD比率被定义为

式中：E(r-rf)为r-rf的数学期望；rf为无风险投资收益率。

上述6种比率都是RR比率的报酬测度与风险测度取不同形式得到的。在过去的几十年里，对风险测度和报酬测度的研究不断深入，主要表现在以下两方面：一是对它们所满足公理的研究；二是对测度方法的研究。

就公理而言，Artzner等[10]在对风险及其本质研究的基础上指出风险测度ρ(X)必须满足的4条公理。

公理1平移不变性(translationinvariance)：对于任意随机变量X以及任意实数α，有ρ(X+α)=ρ(X)-α。

公理2正齐次性(positivehomogeneity)：对于任意随机变量X以及任意正实数λ，有ρ(λX)=λρ(X)。

公理3次可加性(subadditivity)：对于任意随机变量X,Y，有ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)。

公理4单调性(monotonicity)：对于任意随机变量X,Y，如果有X≤Y，则有ρ(X)≥ρ(Y)。

Giorgi[11]在对报酬测度的研究基础上，提出报酬测度必须满足下列条件。

公理5平移不变性：对于任意随机变量X以及任意实数α，有ν(X+α)=ν(X)+α 。

公理6正齐次性：对于任意随机变量X以及任意正实数λ，有ν((λX)=λν(X)。

公理7次可加性：对于任意随机变量X,Y，有ν(X+Y)≥ν(X)+ν(Y)。

公理8单调性：对于任意随机变量X,Y，如果有X≤Y，则有ν(X)≤ν(Y)。

经过研究发现，上述业绩评价指标满足以下性质。

定理2上述6种业绩评价指标中的报酬测度与风险测度均满足正齐次性和平移不变性。

由于定理2要证明6种业绩评价指标中的报酬测度与风险测度均满足正齐次性和平移不变性，所以比较繁琐，这里略去证明过程。

3Sharpe比率与RR比率的一致性

设Yi(i=1,2,…，n)为第i种投资的超额收益(即收益与无风险收益的差)，则Yi的Sharpe比率为

若Yi属于以X为源的位置-尺度分布族，即Yi=σiX+μi，则第i种投资的Sharpe比率为

一般可设S(Yi)≥0，否则对于风险规避的投资者，他将不投资于这种投资。若ρ(Yi)为Yi的风险测度，ν(Yi)为Yi的报酬测度，且两者满足正齐次性，则有以下结论。

定理3条件设Y1,Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，S(Y1)=S(Y2)，若Yi的风险测度、报酬测度满足正齐次性，则RR(Y1)=RR(Y2)。

定理4设Y1,Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，S(Y1)>S(Y2)，若Y1,Y2的风险测度、报酬测度满足正齐次性和平移不变性，则RR(Y1)>RR(Y2)。

定理4表明在位置-尺度分布族中根据RR比率进行的投资业绩排名与用Sharpe比率的排名是一样的，前提是只要比率中的风险测度与报酬测度满足正齐次性与平移不变性。根据定理2，Sortino比率、Sortino-Satchell比率、Farinelli-Tibiletti比率、Rachev比率与MAD比率均满足正齐次性与平移不变性，故在位置-尺度分布族中根据这些比率进行的业绩排名与用Sharpe比率的排名是一致的。

定理5设Y1,Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2,(-a,b)为源X的支撑，且a=+∞。若Y1≻SSDY2，则有S(Y1)>S(Y2)。

定理5说明在位置-尺度分布族中，当源的支撑可抵达负无穷时，Sharpe比率与二级随机占优时是一致的，从而与RR比率也是一致的。

位置-尺度分布族是一大类分布族，它包括贝塔分布、极值分布、伽马分布、Logistic分布、正态分布、t分布、均匀分布、威伯分布、拉普拉斯分布等，被广泛应用于描述投资收益。在位置-尺度分布族中，只要RR比率中的风险测度与报酬测度满足正齐次性与平移不变性,根据RR比率进行的投资业绩排名与用Sharpe比率进行的排名是一致的。而根据定理2，上述6种比率均满足正齐次性与平移不变性，加之位置-尺度分布族被广泛用于描述投资收益，故在位置-尺度分布族中使用Sharpe比率作为基金业绩评价指标是一种比较好的选择。

[参考文献]

[1]SHARPE W F.The Sharpe ratio [J].Journal of Portfolio Management,1994,21(1):49-58.

[2]MEYER J.Two-moment decision models and expected utility maximization:Reply[J].American Economic Review,1989，79(3):603.

[3]文平.均值—方差准则及其应用[J].系统科学与数学，2010,30(4):541-547.

[4]SINN H W.Two-moment decision models and expected utility maximization:Comment[J].American Economic Review，1989,79 (3):597-600.

[5]LEVY H.Stochastic dominance and expected utility:Survey and analysis[J].Management Science,1992,38 (4):555-593.

[6]BIGLOVA A,ORTOBELLI,S,RACHEV,S,et al.Comparison among different approaches for risk estimation in portfolio theory[J].Journal of Portfolio Management,2004,22(3):103-112.

[7]FARINELLI S,FERREIRA M,ROSSELLO D,et al.Beyond Sharp eratio:Optimal asset allocation using different performance ratios[J].Journal of Banking & Finance,2008,32 (10):2057-2063.

[8]FARINELLI S,TIBILETTI L.Sharpe thinking in asset ranking with one-sided measures[J].European Journal of Operational Research,2008(3):1542-1547.

[9]RACHEV S T,STOYANOV S V,FABOZZI F J.Advanced stochastic models,risk assessment and portfolio optimization[M].Hoboken:John Weily & Sons Inc，2005.

[10]ARZTHER P,DELBAEN F,EBER J M,et al.Coherent measures of risk[J].Mathematical Finance,1999,9(3):203-228.

[11]GIORGI D E.Reward-risk portfolio selection and stochastic dominance[J].Ssrn Electronic Journal,2005,29 (4):895-926.

责任编辑：陈亮

Consistency of Sharpe Ratio with RR Ratio

WEN Ping，JIA Daming

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper demonstrates that in location-scale families,as long as the risk measure and reward measure in RR ratio measure satisfy positive homogeneity and translation invariance,the investment performance rankings by RR ratio are consistent with the rankings by Sharpe ratio.The results show the risk measure and the reward measure of RR ratio meet positive homogeneity and translation invariance,so Sharpe ratio as a performance evaluation index is regarded as a good choice in location-scale families.

Key words：Sharpe ratio;RR ratio;location-scate families;measurement

中图分类号：O211.9

文献标志码：A

文章编号：1671- 0436(2016)01- 0001- 05

作者简介：文平(1967—)，男，硕士，教授。

基金项目：国家自然科学基金(71261024)

收稿日期：2015- 08-24

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.01.001