基于三分量电磁矢量传感器的波达角和极化参数估计

赵继超　陶海红　计茹　高志奇

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室,西安 710071)



基于三分量电磁矢量传感器的波达角和极化参数估计

赵继超陶海红计茹高志奇

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室,西安 710071)

摘要针对传统的降维四元数旋转不变子空间算法(Dimension Reduction Quaternion Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, DRQ-ESPRIT)存在“四元数模型相干”和孔径损失问题,改进了DRQ-ESPRIT算法,并提出了伪虚拟对称扩展孔径四元数旋转不变子空间算法 (Fake Virtual Symmetrical Aperture Expansion Quaternion Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, FVSAEQ-ESPRIT)．所提算法通过修正极化角度域导向矢量和阵元空间相移矢量的乘法顺序,解决了“四元数模型相干”问题,并利用导向矢量的虚拟对称操作和Khatri-Rao子空间方法,增加了极化敏感阵列的自由度,提高了波达角(Direction of Arrival, DOA)和极化参数的估计精度．最后,仿真实验验证了所提算法的有效性．

关键词三分量电磁矢量传感器;四元数模型;波达角;极化参数

DOI10.13443/j.cjors.2015040203

Joint DOA and polarization parameters estimation based on three-component electromagnetic vector sensor

ZHAO JichaoTAO HaihongJI RuGAO Zhiqi

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract The dimension reduction quaternion estimation of signal parameters via rotational invariance techniques (DRQ-ESPRIT) algorithm has “quaternion model coherence” and aperture loss problems. The fake virtual symmetrical aperture expansion Q-ESPRIT (FVSAEQ-ESPRIT) algorithm is proposed to improve the DRQ-ESPRIT algorithm in this paper. The proposed algorithm solves the “quaternion model coherence” problem by switching the multiplication sequence between the electromagnetic expression and spatial steering vector. Meanwhile, symmetrical operation of steering vector and Khatri-Rao subspace process are utilized to increase the degrees of freedom of the polarization sensitive array, so that the estimation accuracy of direction of arrival (DOA) and polarization parameters is improved. Finally, the simulation results show the effectiveness of the proposed algorithm.

Keywords three-component electromagnetic vector sensor; quaternion model; DOA; polarization parameters

引言

与传统的标量阵列相比,极化敏感阵列不仅包含了信源的空域信息,还包含了极化信息,使得极化敏感阵列有更好的抗干扰能力和更高的分辨能力．

极化敏感阵列的数学模型最早是由Paldi N. E.在1994年基于麦克斯韦方程提出的[1]．Li Jian等学者将旋转不变子空间算法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)[2]和多重信号分类(Multiple Signal Classification, MUSIC)算法[3]推广到极化敏感阵列信号处理中[4-5]．但是这两种经典超分辨算法,以及其改进算法的数学模型均是基于复数表示的,要求各个互相正交天线分量的接收数据按照阵列空间维数排列展开,形成一个长的数据矢量,即长矢量数据模型(Long Vector, LV),这种数学模型破坏了天线分量间的正交关系．

针对长矢量模型的不足,Sebastian Miron等人首次基于四元数模型提出了适用于二分量极化敏感阵列的四元数MUSIC(Quaternion MUSIC, Q-MUSIC)算法[6]．四元数模型相较于复数模型多了两个虚部,使得四元数模型能更好地表征二分量极化敏感阵列接收数据的正交性．文献[6]的仿真实验也验证了四元数模型优于复数模型．文献[7]和[8]针对三分量和六分量极化感敏阵列,先后提出了双四元数MUSIC(Biquaternion MUSIC, BQMUSIC)算法和四四元数MUSIC(Quad-Quaternion MUSIC, QQ-MUSIC)算法．但是上述三种算法均需要四维谱峰搜索,运算量十分巨大,工程实现较为困难．

国内诸多学者在降低Q-MUSIC算法运算量方面作了很多研究．文献[9]提出了降维Q-MUSIC,将四维谱峰搜索分成两次二维谱峰搜索实现,有效降低了运算量．在降维Q-MUSIC的基础上,文献[10-11]又将阵元的空域信息用四元数表示,提高了波达角(Direction of Arrival, DOA)和极化参数的估计精度．文献[12]将四元数模型应用到ESPRIT, 提出了四元数ESPRIT(Quaternion ESPRIT, Q-ESPRIT),无需谱峰搜索就可以估计参数．然而由于四元数不满足乘法交换律,文献[9-12]中却改变了极化-角度域导向矢量和阵元空间相移矢量的乘法顺序,使得文献[9-12]的数学模型与文献[6-8]的数学模型相比,四元数数据不能由复数数据通过四元数运算构造得到,且存在“四元数模型相干”问题,丢失了信源的极化信息．虽然文献[13]针对“四元数模型相干”问题提出了解决方案,但是损失了阵列的孔径信息,且数学模型依然采用文献[9-12]中的数学模型．本文首先修正了文献[13]的数学模型中极化-角度域导向矢量和阵元空间相移矢量的乘法顺序,解决了“四元数模型相干”问题;其次针对由三分量电磁矢量传感器组成的均匀线阵(Uniform Linear Array, ULA),提出了一种伪虚拟对称扩展孔径Q-ESPRIT(Fake Virtual Symmetrical Aperture Expansion Quaternion ESPRIT, FVSAEQ-ESPRIT)．所提算法将Khatri-Rao子空间操作扩展到四元数模型中,增加了极化敏感阵列的自由度,还通过导向矢量的虚拟对称操作,避免了文献[13]中降维Q-ESPRIT (Dimension Reduction Q-ESPRIT, DRQ-ESPRIT)的孔径损失,使得FVSAEQ-ESPRIT不仅增加了可估计信源的数目,而且参数估计精度更高．

为了确保本文算法的有效性,需要做以下假设: 1) 信源个数已知; 2) 入射信号的俯仰角不等于0°和180°,极化辅角不等于0°和90°．

符号说明: Θ和⊗分别表示Khatri-Rao积和Kronecker积; [□]r,[□]i,[□]j和[□]k分别表示取四元数的实部,第一虚部(i部),第二虚部(j部)和第三虚部(k部)．

1四元数及相关运算

四元数是由Hamilton于1843年提出的一种四维超复数,四元数h由一个实部和三个虚部组成: h=a+bi+cj+dk,其中a,b,c,d∈R,虚部i, j, k满足:

i2=j2=k2=ijk=-1;

ij=-ji=k; ki=-ik=j; jk=-kj=i．

简要介绍下本文用到的四元数基本运算,定义四元数h的共轭h*为h*=a-bi-cj-dk．

2数学模型

假设极化敏感阵列是由M个三分量电磁矢量传感器组成的ULA,其中,双偶极子分量严格指向x轴和z轴,磁环分量平行于x-y平面,如图1所示．为了方便讨论,记由严格指向x轴的偶极子组成的ULA为子阵1,由平行于x-y平面分布的磁环组成的ULA为子阵2,由严格指向z轴的偶极子组成的ULA为子阵3．

图1　本文所提阵列

当有N个彼此独立的远场窄带完全极化信号入射到该极化敏感阵列时,在复数模型下,子阵1,2和3的接收数据矩阵可以分别表示为:

=Ax(θ,φ,γ,η)s(t)+nex(t),

(1)

=Az(θ,γ,η)s(t)+nhz(t),

(2)

=B(θ,γ)s(t)+nez(t)．

(3)

式中： Ax(θ,φ,γ,η),Az(θ,γ,η)和B(θ,γ)分别为子阵1,2和3的阵列流型;极化-角度域导向矢量exn(θn,φn,γn,ηn)=cosφncosθnsinγnejηn-sinφncosγn为第n个信号沿x轴的电场表达式；极化-角度域导向矢量hzn(θn,γn)=sinθncosγn为第n个信号沿z轴的磁场表达式；极化-角度域导向矢量ezn(θn,γn,ηn)=-sinθnsinγnejηn为第n个信号沿z轴的电场表达式; q(θn)=[1,ejβn,ej2βn,…,ej(M-1)βn]T为第n个信号的阵元空间相移矢量,βn=-2πdcosθn/λ,n=1,2,…,N;λ是入射信源的波长,阵元间距d=λ/2;sn(t)表示第n个信号的复包络; nex(t),nhz(t)和nez(t)均为加性高斯白噪声,并假设噪声分量彼此独立,且功率均为σ2．

基于子阵1和2的接收数据,通过四元数运算构造四元数模型下的接收数据为

x(t)=xhz(t)+ixex(t)

=A(θ,φ,γ,η)s(t)+n(t)．

(4)

式中:θn∈[0,π],φn∈[0,2π),γn∈[0,π/2],ηn=[-π,π)分别是第n个信号的俯仰角、方位角、极化辅角和极化相位差；极化-角度域导向矢量Ψn(θn,φn,γn,ηn)为四元数模型下第n个信号沿x轴电场和沿z轴的磁场的表达式为

Ψn=hzn(θn,γn,ηn)+iexn(θn,φn,γn,ηn)

(5)

n(t)=nhz(t)+inex(t)为四元数模型下的噪声矩阵．

需要注意的是在参考文献[9-13]中,子阵1和2在四元数模型下的接收数据矩阵表示为

(6)

与本文式(4)相比,式(6)改变了极化-角度域导向矢量Ψ和阵元空间相移矢量q的乘法顺序,由于四元数不满足乘法交换律,这些文献中的数学模型存在两个问题:其一,基于式(6)的四元数模型,其数据不能像式(4)那样,由复数数据通过四元数运算构造得到;其二,改变乘法顺序后的数学模型存在“四元数模型相干”问题,接收数据的协方差矩阵会丢失信源的极化信息[13]．

3FVSAEQ-ESPRIT算法

3.1四元数模型下Khatri-Rao子空间操作

假设矢量传感器接收的噪声分量为彼此独立的加性高斯白噪声,通过x(t)和xez(t)的互相关操作可以有效地抑制噪声对角度估计精度的影响为

(7)

式中,Rs=diag{Ps1,Ps2,…,PsN}为信号协方差矩阵,由于假设信号为彼此独立的远场窄带完全极化信号,所以Rs为实对角矩阵,对角线元素Psn表示第n个信源的功率．

因为四元数乘法运算不满足交换律,所以对R进行Khatri-Rao子空间向量化操作时,不能按照列方向矢量化,而是需要按照行方向矢量化

vec(R)=vec(ARsBH)=(AΘB*)rs．

(8)

式中,rs=[Ps1,Ps2,…,PsN]T．

由文献[14]可知,经过Khatri-Rao子空间处理后得到的vec(R)是冗余的．为了去除重复项,引入降维矩阵D:

D=[Du;eM⊗eM;Dd]．

(9)

式中:

(10)

(11)

em为1×M维除了第m个元素等于1,其他元素均为0的行向量,m=1,2,…,M．

通过降维矩阵D除去式(8)的重复项,可得

f=Dvec(R)=D(AΘB*)rs=Grs．

(12)

式中,

(13)

3.2构建旋转不变结构

假设信源数已知,利用参考文献[15]的类空间平滑操作,构造(2M-N)×N维矩阵Rα:

(14)

式中,矩阵Rα的第n列rn=f(n∶2M-N-1+n),f(p∶q)表示由f的第p个元素到第q个元素组成的列矢量．

基于式(12)和(13),矩阵Rα可以写成矩阵相乘的形式:

Rα=

(15)

类似于文献[13],通过选择矩阵J1=[I2M-N-1,02M-N-1],J2=[02M-N-1,I2M-N-1]来构造旋转不变结构，

(16)

3.3估计俯仰角

基于式(15),可以得到Uα的估计矩阵为

(17)

i((cosφncosθnsinγncosηn-

(cosφncosθnsinγncosηn-

(18)

(19)

(20)

i((cosφncosθnsinγncosηn-

sin(M-l)βn)+k(cosφncosθnsinγn

(cosφncosθnsinγncosηn-

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

定义选择矩阵J3=[I2(M-1),02(M-1)],J4=[02(M-1),I2(M-1)],可得

=diag{ejβ1,ejβ2,…,ejβN}．

(26)

式中: I2(M-1)表示2(M-1)×2(M-1)维单位矩阵; 02(M-1)表示2(M-1)×1维的全零列向量．俯仰角可以由下式估计得到:

(27)

3.4估计极化相位差

(28)

=-μnPsnsinθnsinγn(cosηn+jsinηn)．

(29)

因为θn∈[0,π],γn∈[0,π/2],Psn表示第n个信号的功率,μn是模糊系数的模值,所以μnPsnsinθnsinγn非负,极化相位差可以由下式估计得到:

(30)

3.5估计方位角和极化辅角

=μn(sinθncosγn+

i(cosφncosθnsinγncosηn-

sinφncosγn)+

kcosφncosθnsinγnsinηn)．

(31)

=cosφncotθntanγncosηn-sinφn/sinθn;

(32)

=cosφncotθntanγnsinηn．

(33)

(34)

(35)

(36)

4仿真实验

在仿真实验部分,本文给出了一些仿真结果来说明所提算法的性能,并与文献[13]的DRQ-ESP

RIT进行了对比．

实验1本文的数据模型式(4),是阵元空间相移矢量q左乘了极化-角度域导向矢量Ψ,而文献[9-13]所提的数据模型式(6),在是阵元空间相移矢量q右乘了极化-角度域导向矢量Ψ,本实验给出一个例子,来说明这两种数据模型的差异．

为了不失一般性,令极化-角度域导向矢量的实部和三个虚部均非零,并为

Ψ=-0.38123+1.031i+0.20159j+

0.20159k,

阵元空间相移矢量为

噪声子空间为

Un=

通过计算可得:

qHUn=0.025913-0.065518i-0.16092j+

0.16212k,(Ψq)HUn=0,

(qΨ)HUn=-0.07719-0.06686i+

0.23648j+0.08567k．

可以看出qHUn和(qΨ)HUn均不等于零,在文献[9]中已经证明了q与Un的正交关系和qΨ与Un的正交关系等价,说明基于式(6)的数学模型中,Ψ的信息无法通过qΨ与Un的正交关系表现出来．但是(Ψq)HUn却等于零,也就是说q左乘Ψ后,改变了与Un的正交关系,说明基于式(4)的数学模型中,Ψ的信息可以通过Ψq与Un的正交关系体现出来．

实验2假设极化敏感阵列是由10个三分量电磁矢量传感器组成的ULA,阵元间距d等于入射信号的半波长,信源数目为2,其方位角、俯仰角、极化辅角和极化相位差分为：信号1,θ1=70°,φ1=60°,γ1=55°,η1=50°;信号2,θ1=65°,φ1=45°,γ1=35°,η1=26°.噪声为彼此独立的加性高斯白噪声．

图2和图3分别为小快拍和大快拍下条件下,DOA和极化参数估计标准差随信噪比的变化曲线,蒙特卡洛实验次数为500．从仿真结果可以明显看出本文所提算法的估计精度要高于文献[13]的DRQ-ESPRIT,这是由于: 1) 本文采用的基于式(4)的数学模型要优于基于式(6)的数学模型; 2) 本文利用了Khatri-Rao子空间操作和虚拟对称导向矢量,扩展了极化敏感阵列的孔径,增加了阵列的自由度,使得本文的参数估计精度均高于文献[14]．

(a) 信号1

(b) 信号2图2　128快拍,估计标准差随信噪比变化曲线

此外,DOA参数中的俯仰角估计精度要高于方位角的估计精度,极化参数中的极化相位差的估计精度要高于极化辅角的估计精度,这是因为方位角和极化辅角是基于俯仰角和极化相位差估计值的基础上得到的,俯仰角和极化相位差的估计误差影响了方位角和极化辅角的估计精度．

(a) 信号1

(b) 信号2图3　1024快拍，估计标准偏差随信噪比的变化曲线

5结论

传统的DRQ-ESPRIT存在“四元数模型相干”和孔径损失两个问题．基于四元数乘法运算不满足交换律,本文指出“四元数模型相干”问题是由极化-角度域导向矢量和阵元空间相移矢量的乘法顺序引起的,并通过修正极化-角度域导向矢量和阵元空间相移矢量的乘法顺序解决了“四元数模型相干”问题．为了弥补孔径损失的问题,提出了FVSAEQ-ESPRIT算法,所提算法利用Khatri-Rao子空间方法虚拟扩展孔径,增加了极化敏感阵列的自由度,并通过导向矢量的虚拟对称操作,充分利用了阵元的孔径信息,不仅增加了可估计信源的数目,还提高了参数估计精度．

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赵继超(1989-),男,陕西人,博士研究生,研究方向为极化敏感阵列参数估计．

陶海红(1976-),女,安徽人,西安电子科技大学电子工程学院教授,博士,博士生导师,研究方向为雷达信号处理与检测、高速实时信号处理、阵列信号处理．

计茹 (1987-),女,陕西人,硕士,研究方向为阵列信号处理波束形成．

高志奇(1980-),男,内蒙古人,博士研究生,研究方向为阵列信号处理．

作者简介

中图分类号TN958.93

文献标志码A

文章编号1005-0388(2016)01-0039-08

收稿日期：2015-04-02

赵继超, 陶海红, 计茹, 等. 基于三分量电磁矢量传感器的波达角和极化参数估计[J]. 电波科学学报,2016,31(1):39-46. DOI: 10.13443/j.cjors.2015040203

ZHAO J C, TAO H H, JI R, et al. Joint DOA and polarization parameters estimation based on three-component electromagnetic vector sensor[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(1):39-46. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015040203

资助项目: 国家重点基础研究发展计划(973计划)(2011CB707001)； 国家自然科学基金(60971108)； 西安电子科技大学基本科研业务费(BDY061428)

联系人： 赵继超 E-mail: 13891894124@139.com