浅谈实际问题数学抽象过程中的学生思维

冯丽

[摘 要] 在初中数学教学中，运用所学的数学知识去解决实际问题是一个重要内容. 在传统数学教学中，实际问题的解决往往只强调数学知识的运用，而忽视了实际问题解决所需要的数学模型的建立. 事实表明，数学模型的建立过程就是一个数学抽象的过程，此过程中学生的思维参与起着至关重要的作用. 关注学生在数学建模过程中的思维，可以有效地掌握学生的思维过程与特点，也可以有效地培养学生的思维能力. 初中数学教师必须对此高度重视！

[关键词] 初中数学；实际问题；问题解决；数学抽象；思维

初中数学教学中常常需要学生去解决一些实际问题，而学生在这些实际问题解决的过程中，也常常会暴露一些思维上的不足，这会让教师认为学生的思维能力不强；而教师这样的认识又会让学生认为自己的数学学习能力不强，因此稍不注意，实际问题的解决教学中，学生就有可能进入一个恶性循环.

如果教师建立另一个教学视角，即将数学问题的解决当成一个培养学生思维能力的机会，那结果便有可能不同，即使当教师看到学生的问题解决过程中有困难时，也会当成一个教学的契机. 而要实现这样的思维转换，教师就必须洞悉学生在问题解决中的思维过程，知道学生的思维有哪些优点，存在哪些不足等. 本文试以“解直角三角形”中的问题解决为例，浅谈笔者对此问题的理解.

经验视角下的数学实际问题解决

要实现知识运用角度下的教学向思维发展角度下的教学转向，就必须弄清楚传统问题的解决在教学中到底发生了什么. 在解直角三角形的教学中，常常遇到这样的一个实际问题，即“梯子安全问题”. 比如这样的一道题目：某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一架6米长的梯子，用其最高可以爬上多高的墙？又比如说：假如用这样的梯子爬墙时，梯子脚距离墙角的距离为2.4米，那此时人能否安全地使用这一梯子？（这两个问题中，长度精确到小数点后一位，角度精确到1度）

爬梯子在学生的思维中具有比较清晰的图像，学生容易构建出爬梯子的情形；而当涉及问题时，学生可能不知道影响安全的因素是什么，这个时候就需要教师做一点引导. 传统教学中则可能容易忽视这一点，教师往往只顾强调问题解决的顺序，而忽视了数学模型的建立. 如教师只强调要在三角形中解决问题，强调将实际问题中的数据“搬”到三角形中去，然后引导学生去回顾学过的直角三角形的知识，并将相关数据“代”到相关公式中去. 在这里，之所以将“搬”与“代”强调出来，确实是针对传统的数学教学的，将实际问题中的数据“搬”到数学图形中，是传统数学教学最擅长的，“代”公式、“代”数据则几乎是所有学生学习数学的固有认识. 笔者以为，即使学生“习惯”了这样的教学，也不意味着他们就认可这样的教学，因为学生在这样的学习过程中，思维过程是生硬的，学生只能获得对解题步骤的强化认识，而不能获得真正的能力上的提高.

几乎可以肯定地讲，传统问题解决教学中，师生都处于一种紧张的状态当中，教师急于引导学生去解决实际问题，而学生则急于早点获得解决问题的技能甚至是技巧. 当师生均忽视了思维的需求而去尝试形成问题解决的技能时，问题解决的教学尤其是实际问题的教学，是容易走入困境的. 事实上，实际问题的解决首先面对的就是数学抽象的问题，只有通过数学抽象，实际问题才能有效地转变为数学问题，因此实际问题解决的教学关键在于在数学抽象的过程中培养学生的思维能力，而此过程中学生思维能力的培养，关键又在于教师对学生此过程中思维的把握.

实际问题分析过程中的思维解析

那么，在实际问题解决的过程中，学生的思维又是什么样的呢？其会经历什么样的思维过程？又有哪些思维能力培养的契机呢？笔者对此进行了持续的探究，其中“梯子安全”问题堪称探究过程中最具代表性的教学案例.

此问题解决的过程中可以认识到：“梯子安全”是实际问题，而“解直角三角形”是数学问题，前者需要通过数学抽象才能变成后者. 在上面所举的两个简单的梯子安全问题中，笔者跟学生进行了这样的学习过程：

首先，让学生在问题情境中构建最初的图像. 上文已经提到，初中学生根据生活经验和题意，是可以构建出最为基本的爬梯子的情形的，但学生往往不会认识到影响安全的因素，因此难以突破数学模型建立过程中最为关键的部分，而这恰恰是数学抽象的关键所在. 笔者的办法是让学生通过画图的方法，然后结合自己所作之图进行自我想象，即将自己想象成爬梯子的人，然后去思考哪些因素可能会影响自己的安全. 这个时候，只要控制好学生不胡思乱想，即尽量思考数学因素，就可以有效地让学生构建出梯子安全的基本图像：梯子和墙组成一个直角三角形，已经知道直角三角形的斜边的长度，知道底面一个锐角的角度变化范围，求其所对的直角边的最大值.

其次，再引导学生思考，题目所给出的底面锐角的范围是随便给的，还是有着客观因素的影响？这个问题看起来与数学无关，却关系到学生头脑中所构建出来的数学模型是否完整，也就是关系到学生在数学抽象过程中，能否更有把握地面对自己所构建出来的数学模型，这也是传统问题解决教学中所容易忽视的. 笔者在教学中强调了这一点，告诉学生梯子的安全性取决于梯子与地面的夹角（当然还有物理方面的摩擦等因素，此处不考虑）. 这个问题实际上是连接实际问题与数学问题的节点，正是在这个问题的讨论中，实际问题会有效地被抽象成数学问题. 事实上，笔者曾经作过尝试，在真实不告知角度范围的情况下让学生去思考梯子安全问题，学生也会朦胧地意识到这个角度可能的影响，但往往是不够确定. 而在教师给出清晰的解答之后，学生的这一印象即可得到加强，事实上，此时学生所抽象出来的数学模型就更加成熟了.

再次，完善数学抽象之后的数学模型. 基于以上的分析，可以继续引导学生思考梯子的安全问题，学生会发现这一问题实际上就是该直角三角形模型中的角的范围问题. 如果给出了角度的范围，那么可以求出能够爬的最大高度；如果给出了高度范围，那么可以求出梯子安全的角度范围；如果给出了墙角与梯子脚的长度距离范围，那么同样可以求出最大高度与角度范围. 通过这样的数学抽象过程，学生就会认识到梯子安全这一实际问题背后的数学实质，其实就是直角三角形中的边角关系，只不过是多了一个范围而已.

以上三个步骤完全紧扣学生的思维，同时又顺利地完成了数学抽象，笔者以为这样的过程更适合初中学生的认知规律，更符合学生的学习需要，因而也就更加能够培养学生的思维能力.

基于思维分析的问题解决与教学

初中数学教学中的实际问题及其解决是每一个重要的数学知识学习都会遇到的问题，同时由于课程改革，当前初中数学教学的评价方式与理念也有所变化，实际问题的分析与解决日益成为初中数学教学的重点. 在这种情况下，如果还坚持传统的“解题”思路，那这些问题的解决就无法真正回到“问题解决”的思路上来.

有研究者指出，问题解决在初中数学教学中既是一个教学内容，也是一种思维过程. 问题解决的核心是学生的思维，而数学被喻为最美的思维花朵，其应当在实际问题解决的教学中有效地发挥培养学生思维能力的作用. 在上面所举的梯子是否安全的实际问题当中，仔细梳理可以发现，学生的思维可以在诸多环节得到培养. 比如说在起初的模型构思环节，学生可以通过空间想象能力的参与，完成数学抽象所需要的最初的心理活动；比如说在数学建模的环节，学生要想顺利地构建出直角三角形，尤其是动态的直角三角形——因为涉及一个锐角的变化范围，学生既需要空间想象能力，更需要数学抽象能力的参与. 此时，数学抽象就成为一个剔除无关元素，寻找有关元素的过程；又比如说学生在运用直角三角形模型解决梯子安全问题的时候，还会重现直角三角形的相关知识，建立起直角三角形中边角的对应关系，这是学用能力结合的过程.

总之，在学生解决实际问题的过程中，学生的思维始终处于活跃的状态，而这一过程就是思维能力得到培养的最佳过程.

从实际问题到数学问题，数学抽象在其中发挥着至关重要的作用，而数学抽象的过程又是学生思维参与的过程，学生的思维能力在其中既可以得到应用，又可以得到培养. 至于其后的数学变式，则是考查学生的知识迁移能力，本文暂不作讨论.