数学应用的小故事

龚辉

1. “借一还一”思想

有一个古老的故事在新疆流传：从前，有个牧民辛苦放牧一生，全部财产只有17匹马，临终前，他把三个儿子叫到身边留下遗嘱：“孩子们，我把17匹马留给你们，老大得二分之一，老二得三分之一，老三得九分之一，把马分完，但是不许把马宰了再分. ”事后，三兄弟在一起商量了很久，始终无法按照老人的意图把马分掉. 他们只好去请教爱动脑筋的老邻居，老邻居思索之后告诉他们：“我借一匹马给你们，共有18匹，这样就好分了. 老大得二分之一是9匹，老二得三分之一是6匹，老三得九分之一是2匹，你们总共分了17匹，剩下的1匹再还给我. ”

这就是巧妙的“借一还一”思想，既符合老人的遗嘱，又让三兄弟都满意.

这种“借一还一”思想在数学上也有着广泛的应用.

例1 已知4个矿泉水空瓶可以换1瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶，若不找钱，最多可以喝矿泉水_______瓶.

【分析】正常情况下，15个空瓶只能换3瓶矿泉水，喝掉后手里有6个空瓶，再可以换1瓶矿泉水，这样总共只能喝到4瓶.

如果先向别人借一个空瓶，情况就不一样了，16个瓶子可以换回4瓶矿泉水，喝完后4个空瓶又能换回1瓶矿泉水，待喝完后，再把空瓶还给别人，这样最多可以喝5瓶矿泉水.

解：5瓶.

2. 这还用得着比吗？

地球的半径R约为6 370 km，而标准乒乓球的半径r=2 cm. 假如用绳子绕地球赤道一周，同样用线绕乒乓球最大的圆一周. 现在同时将这两根绳子各加长1 m，比较绳子与地球表面的空隙和线与乒乓球表面的空隙，哪个大？

这还用得着比吗？肯定是乒乓球的空隙要远远大于赤道表面的空隙，因为对地球而言，这增加的1 m太微不足道了！

事实并非如此！

这两个空隙是一样大的！

让数学来见证奇迹吧！

由圆周长公式得：C地球=2πR，C乒乓球=2πr（其中R≈6 370 000 m，r=0.02 m），再将周长都加长1 m后，两个周长分别为：C′地球=2πR+1，C′乒乓球=2πr+1，此时绳圈的半径分别为：R′==R+，r′==r+. 那么绳子与两球表面之间的空隙分别为：R′-R=，r′-r=. 显然R′-R=r′-r，即两者的空隙是相等的.

从这个例子，我们感受到了数学运算的强大魅力，特别是字母表示数，一方面简化了运算过程；另一方面，我们还发现，R≈6 370 000 m和r=0.02 m根本没有参与运算，上面的规律可以推广到更一般的两个球体，同样适用. 同时，也让我们明白，如果只凭感觉进行判断，有些时候是不正确的. 用数据说话，这就是数学的无可争辩性、数学的理性精神！

（作者单位：江苏省太仓市教研室）