一类超线性Schrödinger方程非平凡解的存在性

郭艾，李晓丹（华南理工大学数学学院，广东广州510640）



一类超线性Schrödinger方程非平凡解的存在性

郭艾，李晓丹
（华南理工大学数学学院，广东广州510640）

摘要：通过变量代换，将超线性Schrödinger方程转变为较简单的椭圆型方程，然后利用山路引理证明了此问题存在一个非平凡解。

关键词：Schrödinger方程；山路引理；非平凡解

研究下面Schrödinger方程解的存在性

其中f（x，u）是关于x的1周期函数。

（V0）对所有的x∈RN，V（x）≥V0；

（V1）对所有的是一个Hölder连续函数，并且满足：

（f1）当s→0+，在RN中一致有

（f2）存在常数a1，a2>0和2＜q<2*使得对所有的（x，s）∈RN×［0，+∞）；

（f3）存在一个常数函数使得，对所有的，其中并且p≤q；

（f4）当，在RN中一致有

定理假设N≥3，则方程（1）有一个非平凡解。

显然方程（1）的解是下面泛函的临界点

由于泛函I（u）在一般的Sobolev空间H1（RN）没有定义，所以进行如下变量代换

则式（3）就相当于

在证明定理之前，首先给出一些相关的引理。

引理1对所有t≥0，有

证明见文献［1-3］。

接下来，建立山路引理的几何条件。

引理2存在ρ0，a0＞0使得对所有的有J（v）≥a0。

证明因为

由（f1）和（f2），对任意ε＞0，存在一个常数Cε＞0，使得

从而

由（V0），可以得到

令

通过引理1和（f1），有

同样，通过引理1和（f1），有

于是，对充分小的ε>0，存在一个常数Cε>0，满足

那么，有

通过选择适当小的ρ，当‖v‖=ρ时，得到引理2。

由（f4）得即J（tø）→-∞，当t→∞时。因此，引理3得证。

在A-R山路引理2和引理3的结果中，对于常数

其中

在水平值c处存在一个P-S序列，即当n→∞时，J（vn）→c且J′（vn）→0［4-5］。

且

因此

令0<δ

即

由（f3），有

由式（6）可知，存在常数C1，使得

由（f2）知道p≥q，当p=q时，由式（9）、（10）可以得出式（7）成立。当p

接下来给出定理的完整证明。

证明首先，证明J′（vn）=0，也就是证明v是方程（1）的一个弱解。由引理4，知道是一个有界的P-S序列，因此存在在中满足vn弱收敛于v，则由Lebesgue控制理论，可得

于是J′（vn）=0，v是方程（1）的一个弱解。接下来要证明v≠0，用反证法，假设v=0，分3步来证明假设不成立。

由G-1（t）≤g（G-1（t））t，得

假设

令q=λ（2+p）+（1-λ）（2*-p），λ∈（0，1），由Hölder不等式和引理1，得

因为2<2+β，2*-β<2*，则由式（5）、（10）和引理1得，对任意ε>0，有

由式（11）和J′（vn）vn→0可以得到

由引理1得

从而

由式（12）和（13）知，J（vn）→0，这与J（vn）→c＞0矛盾。因此不会消失，即存在使得

其中

并且

2J∞（vˆ）-J′∞（vˆ）vˆ=2J∞（vˆ）。

由c∞的定义知

如果V（x）≡V（∞），则证明了定理1；如果V（x）≤V（∞），但V（x）≡V（∞）不成立，由路径Γ，有

矛盾，因此，v是一个非平凡解。

参考文献：

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［7］COLINM, JEANJEANL. Solutions for a quasilinear Schrödinger equations: Adual approach［J］. Nonlinear Anal TMA, 2004, 56（2）: 213- 226.

【责任编辑：王桂珍foshanwgzh@163.com】

The existence of nontrivial solution to a class of superlinear Schrödinger equation

GUOAi, LI Xiao- dan
（School of Mathematics, South China Universityof Technology, Guangzhou 510640, China）

Abstract:Usinga change ofvariable, we concert a class ofsuperlinear Schrödinger equation into a simple elliptic one. Byusing Mountain pass Lemma, we showthe existence of nontrivial solution for a Schrodinger equation.

Keywords:Schrödinger equation; mountain pass theorem; nontrivial solution

作者简介：郭艾（1962-），女，广东广州人，华南理工大学教授，博士。

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11461014）

收稿日期：2015-08-03

文章编号：1008- 0171（2016）02- 0005- 07

中图分类号：O241.6

文献标志码：A