探讨求函数极限的常用方法

2016-04-19俞霜

课程教育研究 2016年3期

关键词：洛必达无极限化简

【摘要】函数极限是高等数学的基本内容之一，也是解决其他问题的基础。结合教学实践，文章讨论了求函数极限的四种常见方法。

【关键词】函数极限计算

【中图分类号】O13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0162-01

函数的极限是高等数学的重要组成部分，而这部分内容的掌握直接影响到导数和积分的学习，现对求函数极限的四种常用方法进行总结，谈谈其理解的侧重点，使能够更灵活的运用这些方法求极限。

一、基本方法：四则运算法求极限

利用函数的四则运算法对有理函数及有理分式函数求极限。对于有理整函数而言，其求极限方法相对简单，函数的极限就是把自变量的极限值代入函数的结果。对于有理分式函数求极限的方法有几种，求极限之前，对有理分式函数有时需要化简或变形，常用方法有：约分、通分、因式分解、分子或分母的有理化，三角函数恒等变形等等，化简或变形后，根据实际情况，选择如下方法：

（1）当g（x0）≠0，f（x0）≠0时，利用商的法则求极限；

（2）当g（x0）=0，f（x0）≠0时，利用无穷大量与无穷小量关系，则 =∞

（3）当g（x0）=0，f（x0）≠0时，适合的未定式，利用洛必达法则

需要特别强调的是：四则运算中，和与积的运算法则只可推广到有限项。

二、利用两个重要极限求函数极限

在求函数极限的过程中，若能利用这两个极限进行替换，则整个过程将相对简单很多，但是在运用过程中，对学生而言，特别要强调的是：两个重要极限自变量的变化趋势，第一个重要极限中自变量是趋于零的；第二个是趋于无穷大的。在教学过程当中，学生很多的时候只是观察到求极限的函数，而没有观察自变量的变化趋势，很容易发生错误。

例如则不能利用第一个重要极限计算，而要利用有界函数与无穷小的积仍是无穷小来计算。

三、无穷小量等价替换求函数极限

求极限过程中无穷小量等价替换为：当x→0时，x～sin x，x～tan x

ln（1+x）～x，ex-1～x，arcsinx～x，arctanx～x等等。

要能够灵活应用无穷小量等价替换求函数极限，需要特别强调两个问题：

（1）在自变量的变化趋势中，需要替换的两个变量必须为无穷小量，若不是则不能进行无穷小量等价替换，例：当x→∞时，sina x 不能等价替换x.

（2）若能用无穷小量的等价替换，则要强调：在求极限过程中，等价替换只替换乘除，不替换加减。

例：求

解：若用等价无穷小量的替换

这是错误的，正确的做法是：

四、利用洛必达法则求函数极限

对于或型未定式，可以利用洛必达法则求极限，且在满足洛必达法则的条件下，可以多次使用，对于其他形式0·∞，00，∞0，1∞，∞-∞的未定式，利用取倒数，通分或取对数的方法转化为或型未定式，利用洛必达法则求极限。