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函数零点问题的探究

2016-04-19杨文庆徐晓燕

新课程·下旬 2016年2期
关键词:求根二分法定义域

杨文庆 徐晓燕

一、探究问题的由来

1.人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学1》(必修)第三章函数的应用3.1学习了函数零点的概念:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。这样,函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根,也是y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。

能用公式法求根的方程f(x)=0的函数,我们可以求根得到函数的零点。

对于不能用公式法求根的方程f(x)=0的函数,教材是这样解决的:先根据根的存在性定理,判断函数y=f(x)是否有零点,再利用二分法找出零点。

根的存在性定理:一般的,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,即存在c∈(a,b),使得f(x)=0,这个c也就是方程y=f(x)的根。

存在问题:

(1)f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,有几个需进一步加以判断;

(2)f(a)·f(b)≥0时,函数y=f(x)在区间(a,b)上有无零点,仍需探究;

(3)函数y=f(x)在整个定义域上的零点情况及如何判断。

2.在近几年的高考中经常出现方程的根和函数的零点问题。因此,对函数的零点问题有必要进行全面系统的探究和归纳提升。

二、问题的探索及解决

对于不能用公式法求根的方程f(x)=0,函数y=f(x)在整个定义域上的零点情况,我们可从以下三方面进行探讨:(1)是否有零点;(2)有零点时,有几个;(3)怎么找出这些零点。

人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学2-2》(选修)第一章,我们学习了导数及其应用,对于函数y=f(x)在整个定义域上的零点问题,我们可利用导数判断出函数的单调性,结合二分法得到圆满解决。

下面笔者将以2014年的两道高考题为例,扩展开来对此加以说明。

三、举例说明

例1.[2014天津卷理科20题]设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R。已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1

分析扩展:由f(x)=x-aex,可得f ′(x)=1-aex.

下面分两种情况讨论:

(1)a≤0时,f ′(x)>0在R上恒成立,可得f (x)在R上单调递增,不合题意。

(2)a>0时,令f ′(x)>0得,x<-lna。

令f ′(x)<0得,x>-lna。

∴函数y=f(x)在(-∞,-lna)上单调递增,(-lna,+∞)上单调递减。

当x→+∞时,f(x)→-∞;当x→-∞时,(+x)→-∞

利用函数的单调性画出函数上升下降的示意图可知

(1)当f(-lna)<0时,函数y=f(x)没有零点;

(2)当f(-lna)=0时,函数y=f(x)有一个零点-lna;

(3)当f(-lna)>0时,函数y=f(x)有两个零点x1和x2,x1<-lna,x2>-lna。

而且由图像知,显然存在区间(a,b),使x1∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零点x1,同理求出零点x2。

例2.[2014北京卷文科20题]已知函数f(x)=2x3-3x。

(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;

分析扩展:设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),

则y0=2x30-3x0,且切线斜率为k=6x20-3,

所以切线方程为y-y0=(6x20-3)(x-x0),

因此t-y0=(6x20-3)(1-x0),

整理得4x30-6x20+t+3=0,

设g(x)=4x3-6x2+t+3,

则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”。

g′(x)=12x2-12x=12x(x-1)。

令g′(x)>0得x>1或x<0,

令g′(x)<0得0

所以函数g(x)在(1,+∞),(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减。

当x→+∞时,g(x)→+∞;当x→-∞时,g(x)→-∞

利用函数的单调性画出函数升降的示意图可知

(1)g(0)>0g(1)>1时,函数y=g(x)有一个零点x,x<0。

而且由图像知,显然存在区间(a,b),使x∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零点x。

(2)g(0)<0g(1)<1时,函数y=g(x)有一个零点x,x>1。

而且由图像知,显然存在区间(a,b),使x∈(a,b)且f(a)·f(b)<0,可用二分法得出零点x。

(3)g(0)=0时,函数y=g(x)有两个零点,一个零点是0,另一个零点x>1,可用二分法得出零点x。

(4)g(1)=0时,函数y=g(x)有两个零点,一个零点是1,另一个零点x<0,可用二分法得出零点x。

(5)g(0)>0g(1)<0时,函数y=g(x)有三个零点x1,x2,x3。

x1<0,01,由图知三个零点都可用二分法得到。

由以上两题的分析可知借助导数判断出函数的单调性,结合极值、端点值的正负,可得到函数在整个定义域上的零点分布情况,再利用二分法可得出函数所有的零点。

参考文献:

李志边.函数的零点问题的探究[J].文中数学教与学,2012(3).

编辑 杜嫣然

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