函数零点问题的探究

杨文庆 徐晓燕

一、探究问题的由来

1.人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学1》（必修）第三章函数的应用3.1学习了函数零点的概念：对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。这样，函数y=f（x）的零点是方程f（x）=0的实数根，也是y=f（x）的图像与x轴交点的横坐标。

能用公式法求根的方程f（x）=0的函数，我们可以求根得到函数的零点。

对于不能用公式法求根的方程f（x）=0的函数，教材是这样解决的：先根据根的存在性定理，判断函数y=f（x）是否有零点，再利用二分法找出零点。

根的存在性定理：一般的，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点，即存在c∈（a，b），使得f（x）=0，这个c也就是方程y=f（x）的根。

存在问题：

（1）f（a）·f（b）<0时，函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点，有几个需进一步加以判断；

（2）f（a）·f（b）≥0时，函数y=f（x）在区间（a，b）上有无零点，仍需探究；

（3）函数y=f（x）在整个定义域上的零点情况及如何判断。

2.在近几年的高考中经常出现方程的根和函数的零点问题。因此，对函数的零点问题有必要进行全面系统的探究和归纳提升。

二、问题的探索及解决

对于不能用公式法求根的方程f（x）=0，函数y=f（x）在整个定义域上的零点情况，我们可从以下三方面进行探讨：（1）是否有零点；（2）有零点时，有几个；（3）怎么找出这些零点。

人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学2-2》（选修）第一章，我们学习了导数及其应用，对于函数y=f（x）在整个定义域上的零点问题，我们可利用导数判断出函数的单调性，结合二分法得到圆满解决。

下面笔者将以2014年的两道高考题为例，扩展开来对此加以说明。

三、举例说明

例1.[2014天津卷理科20题]设f（x）=x-aex（a∈R），x∈R。已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1

分析扩展：由f（x）=x-aex，可得f ′（x）=1-aex.

下面分两种情况讨论：

（1）a≤0时，f ′（x）>0在R上恒成立，可得f （x）在R上单调递增，不合题意。

（2）a>0时，令f ′（x）>0得，x<-lna。

令f ′（x）<0得，x>-lna。

∴函数y=f（x）在（-∞，-lna）上单调递增，（-lna，+∞）上单调递减。

当x→+∞时，f（x）→-∞；当x→-∞时，（+x）→-∞

利用函数的单调性画出函数上升下降的示意图可知

（1）当f（-lna）<0时，函数y=f（x）没有零点；

（2）当f（-lna）=0时，函数y=f（x）有一个零点-lna；

（3）当f（-lna）>0时，函数y=f（x）有两个零点x1和x2，x1<-lna，x2>-lna。

而且由图像知，显然存在区间（a，b），使x1∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零点x1，同理求出零点x2。

例2.[2014北京卷文科20题]已知函数f（x）=2x3-3x。

（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；

分析扩展：设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），

则y0=2x30-3x0，且切线斜率为k=6x20-3，

所以切线方程为y-y0=（6x20-3）（x-x0），

因此t-y0=（6x20-3）（1-x0），

整理得4x30-6x20+t+3=0，

设g（x）=4x3-6x2+t+3，

则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“g（x）有3个不同零点”。

g′（x）=12x2-12x=12x（x-1）。

令g′（x）>0得x>1或x<0，

令g′（x）<0得0

所以函数g（x）在（1，+∞），（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减。

当x→+∞时，g（x）→+∞；当x→-∞时，g（x）→-∞

利用函数的单调性画出函数升降的示意图可知

（1）g（0）>0g（1）>1时，函数y=g（x）有一个零点x，x<0。

而且由图像知，显然存在区间（a，b），使x∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零点x。

（2）g（0）<0g（1）<1时，函数y=g（x）有一个零点x，x>1。

而且由图像知，显然存在区间（a，b），使x∈（a，b）且f（a）·f（b）<0，可用二分法得出零点x。

（3）g（0）=0时，函数y=g（x）有两个零点，一个零点是0，另一个零点x>1，可用二分法得出零点x。

（4）g（1）=0时，函数y=g（x）有两个零点，一个零点是1，另一个零点x<0，可用二分法得出零点x。

（5）g（0）>0g（1）<0时，函数y=g（x）有三个零点x1，x2，x3。

x1<0，01，由图知三个零点都可用二分法得到。

由以上两题的分析可知借助导数判断出函数的单调性，结合极值、端点值的正负，可得到函数在整个定义域上的零点分布情况，再利用二分法可得出函数所有的零点。

参考文献：

李志边.函数的零点问题的探究[J].文中数学教与学，2012（3）.

编辑 杜嫣然