“确定起跑线”教学研究报告

涟源市教育学会小学数学研究会　潇湘数学教育工作室



“确定起跑线”教学研究报告

涟源市教育学会小学数学研究会潇湘数学教育工作室

一、问题

“确定起跑线”是人教版课标教材六年级上册的内容。这是一节综合实践课，是建立在学生已经掌握了圆的概念和周长等知识的基础上的课程。旨在让学生综合运用空间与图形、数与代数的知识，了解田径场跑道的结构，学会确定起跑线的方法，并体验用所学知识解决实际问题的快乐，体会数学的应用价值，提高解决实际问题的能力，增强策略应用意识。

“确定起跑线”是一个综合性、抽象性很强的问题。如何让学生经历从具体到抽象、化繁为简的过程，得出结论并解决问题，在此过程中体会数形结合、化归、模型应用等重要数学思想，这是值得好好研究的。

在实际教学中，由于这个内容属于“综合与实践”版块，很多老师常常不重视，甚至有老师认为这个内容不是考点知识，放弃了这个内容的教学。当然，也有老师愿意好好设计这节课，但对“教什么”与“怎么教”缺少可供参考的资料，感觉难以把握。针对这些问题，我们将从教与学两个维度加以分析，以期通过对这些问题的研究，解决教学中存在的问题，提高教学效率。

1.教之困

（1）如何确定这个内容的重点和难点，如何抓住重点，突破难点？

（2）如何让学生在掌握基础知识与基本技能的同时，收获基本的数学思想与方法，积累基本活动经验？这个内容能让学生收获哪些数学思想与方法，积累哪些基本活动经验呢？

（3）如何引发学生进行合情推理，在算法多样化的基础上优化算法，增强策略应用意识？

（4）如何提高学生学习综合实践课程的兴趣，拓宽研究数学的思路？

2.学之难

（1）如何厘清具体的生活场景中蕴含的数学问题，并把它转化为数学模型？

（2）如何在交流讨论中逐步优化算法，寻找解决问题的最佳策略？

（3）如何真正实现举一反三，把400米标准跑道上进行400米比赛时确定起跑线的方法拓展到200米比赛确定起跑线的问题上去？

数学综合实践课是一种以问题为载体，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力，以及交流和合作的能力的课程。因此，要把综合实践课上好，教师要能设计好问题，引领学生围绕问题进行观察、比较、分析、归纳，主动探索解决问题的策略。那么，对于确定起跑线这个问题，绝大多数学生缺乏生活经验。教师首先就要思考如何把这个生活中的实际问题转化为数学模型；其次，要让学生主动利用已有的知识经验解决新问题，并在交流讨论的过程中实现方法的优化。当然，因为这个问题的抽象性与综合性很强，借助信息技术降低学生的认知难度、增加直观性也是必需的。

二、实践

由于这是综合实践课，课时内容多，我们安排了两个课时进行实践。

第一课时教学目标：创设问题情境，让学生自己提出问题、分析问题并尝试解决问题。

课堂实录：

师：同学们，听说过田径运动会吗？让我们一起走进2015年涟源市中小学生田径运动会的现场，用数学的眼光观看这次比赛中的男子100米和男子400米的决赛实况，请大家特别关注运动员的起跑位置（课件播放比赛现场）。看了视频后，你有什么疑问吗？

生1：为什么100米比赛时，运动员在同一起跑线上，而400米比赛时运动员的起跑线会各不相同啊？

生2：这样比赛公平吗？

生3：400米比赛时运动员与运动员之间的距离有规定吗？

师：大家提出了很有价值的数学问题，今天这节课我们就围绕这几个问题展开研究。

板书：

问题1：400米比赛时运动员为什么不在同一起跑线上？这样比赛公平吗？

问题2：400米比赛时前后两个运动员之间的距离是多少？

师：要弄清楚这些问题，从哪里开始研究呢？

生4：先把运动员撤走，让我们看看跑道吧。

师：有思想的孩子！老师听你们的，跑道闪亮登场！（课件展示400米跑道模型，如图所示）从跑道模型里你又能发现哪些数学信息呢？

生5：这个跑道好像是椭圆形的。

生6：这个跑道有的地方是直的，有的地方是弯的。

师：我们通常把直的地方叫直道，弯的地方叫弯道。

生7：直道的长是85.96米，两个跑道之间相隔1.25米。

生8：弯道是个半圆形，半圆的直径是72.6米。

生9：不对，应该说最里面的半圆的直径是72.6米。

师：为你的认真倾听点赞！你为什么要强调最里面的半圆的直径是72.6米呢？

生9：因为第二圈的半圆直径就增大了呀。

师：增大了多少呢？

生9：增大了2个1.25米。（课件闪烁第二跑道的直径）

师：大家的发言很精彩！还有要补充的吗？

生10：我发现每一条跑道实际上是由两条直道和一个圆组成的。（课件闪烁两条直道和一个圆）

生11：第二道的直径比第一道多2个1.25米，第三道的直径又比第二道的直径多2个1.25米，第四道的直径又比第三道的直径多2个1.25米，一直这样下去。

师：讲得真好！大家从他的发言里找到了问题（指板书的问题）的答案吗？

生12：相邻的两个跑道有相等的直道，弯道大小不一样，如果让运动员站在同一起跑线上，比赛就不公平了。

师：噢，难怪400米短跑时，运动员们不在同一起跑线上呢。那他们之间的距离又有什么学问呢？

生13：我想，如果知道第二道比第一道长多少米，我们就可以让第二道的运动员前移多少米，终点一样，这样比赛才公平。

师：真是优秀的裁判员！那现在我们四人一小组，算一算每相邻两条跑道间相差多少米。温馨提示三个小问题：1.为了提高运算的准确程度，圆周率统一取3.14159；2.可以用计算器计算；3.为了使研究成果一目了然，你们可以自己设计表格，把几个跑道的不同长度都展示出来。

学生小组学习后交流，并展示表格（如下所示）。

师：能说说这些数据是怎么得来的吗？

生14：（指着图说）每一条跑道都有两条直道和两条弯道，两条直道无论哪一道都是一样长的，所以直道总长为2×85.96=171.92米，两条弯道合起来看是一个圆，最里面的第一道圆的直径就是72.6米，以后每一道都比前一道的直径多2个1.25米。

师：他的思路很清晰，特别是能借助这个跑道图进行讲解，让人一听就明白，有当优秀小老师的潜质啊！小组成员还有要补充的吗？

生15：我们发现，相邻两条跑道之间相隔几乎都是7.85米。

师：这个发现太重要了！这么说来，相邻两道之间的运动员相隔应该是7.85米！这是偶然的，还是必然的？

学生再次思考，然后交流、讨论。

生16：相邻两条跑道的直道部分是一样长的，就只要比弯道，用外圆周长减内圆周长等于相邻两条跑道的路程差，也就是第二道运动员要前移的长度。

师：那上面表格的后两行数据是不是可以删除了？

生17：如果只算运动员前移的距离差，后两行真可以不要。

生：我觉得还可以算得更简单——外圆周长-内圆周长=π×（外圆直径-内圆直径）=π×（2×1.25）=7.85。

师：数学一直崇尚简单美！你看，这么复杂的一个问题，被你们用一个简单的算式表达清楚了！同学们通过自己的努力，找到了在环形跑道上确定起跑线的秘密！让我们回头看一看，这节课开始的时候大家提出的几个问题解决了吗？

设计意图：本课时从“实践”这个角度进行设计。“确定起跑线”是生活中一个很现实、很抽象的问题。教师运用信息技术从实际问题中抽象出“跑道”这个几何模型，运用数形结合的方法，抓住“400米比赛中运动员的起跑线为什么会各不相同”这一问题展开研究。孩子们也经历了从具体到抽象、从繁到简的探索过程，积累了“真问题、真研究”的实践经验。

第二课时教学目标：设计拓展性问题，帮助学生顺利实现正迁移，把400米标准跑道上进行400米比赛时确定起跑线的方法拓展到200米比赛确定起跑线的问题上去。

课前，教师布置了自主作业，学生从中挑选一至两个学习任务完成。

1.把“确定起跑线”这一内容中你最感兴趣的或者记忆最深刻的片段写成数学日记。

2.在网上了解有关跑道、起跑线、田径运动中跑步项目等的知识，做成图片或PPT，与同学共享。

3.如果把上一节课的研究任务中的400米跑道改为在“400米标准跑道上举行200米赛跑”，那么相邻两个运动员之间的距离差又会是多少呢？

课堂实录：

师：同学们，昨天老师给大家留了几个自主学习的任务，今天这节课我们一起进行交流共享。

生1：我选的是“数学日记”，我给大家先展示自己写的数学日记吧！

2015年12月18日晴

数学课上，王老师给我们播放了涟源市中小学生运动会的场景，我最关注的就是400米径赛了，因为我们班的张浩宇也参加了这个项目的比赛。

“下面进行男子400米跑决赛，请选手们做好准备！”广播里传来了命令，运动员们陆续来到各自的起跑点。

咦，真奇怪，运动员们怎么不是站在同一条起跑线上啊？前面一场100米短跑的运动员不是站在同一起跑线上吗？这样不是影响了比赛的公平性吗？

正在我心存疑惑的时候，王老师给我们展示了跑道的示意图，跑道由两条直道和直道两端两个半圆形弯道组成。我清楚地看到了越靠里圈的运动员跑的距离越短，这对跑外圈的运动员是不公平的。难怪运动员的起跑线会各不相同。

后来我们分组进行了研究，发现相邻两个运动员之间的距离差是由相邻两个弯道的直径差决定的，还总结出了算法：π×（外圆直径-内圆直径）=相邻两运动员之间的距离差。

看来，数学真的就在我们身边。

师：大家评价评价他写的数学日记。

生2：我觉得写得挺好的，特别是前面那一段心理描写，我当时的确也是那么想的，很真实。

生3：我也觉得写得很好。他找到了400米跑时运动员不在同一起跑线上的原因。

师：我很同意你们的评价，特别值得一提的是，他还总结出了算法，真不错。下一个，谁来展示？

生4：我通过百度找到了有关“黄金跑道”的知识，还做好了PPT，想和大家分享。

你知道吗？在田径赛场上，不同道次确实存在一定的差异。在弯道跑的过程中，为了克服运动惯性，必须改变运动姿势来获得一定的向心力，而姿势的改变在不同程度上会影响运动员的技术发挥。向心力随着弯道的增大而减小，因此，偏外的道次上的运动员姿势改变幅度较小，更利于发挥。有研究表明，从生物力学上讲，第八道是利于运动员稳定速度的。但是，在大多数运动员的心里，外道和内道都是“慢道”，他们都更倾向于中间道次。另外，在直道跑中，中间道次更利于运动员感知其他对手的速度，这样更有利于调整节奏、步伐和速度，从而更好地提高成绩。所以，第四第三道被认为是“黄金跑道”。

师：今天老师也长见识了。跑道上的学问还真不少，不仅与数学有关，还与物理有关呢！真是“生活无处不学问”。有哪些同学研究了在400米标准跑道上举行200米短跑的问题吗？

生5：我研究了200米短跑确定起跑线的问题。400米比赛时运动员跑一圈，要跑两个弯道，而200米比赛中运动员只要跑一个弯道和一个直道。400米比赛中相邻两道的起跑线差是“跑道宽×2×π”，200米比赛中相邻两道起跑线差用“1.25×π≈3.93米”就可以了。

师：你们听清楚了吗？谁有质疑或点评？

生6：为什么是1.25×π？

生5：我给大家画个草图（如右图所示）。你可以这样理解，一个弯道加一个直道构成200米跑道，直道是一样的，我们只要比较内半圆和外半圆的弯道部分就可以了。

师：怎么样？小老师的解释如何？

生7：我觉得小老师的讲解很清楚，最重要的是抓住这个“一半”来理解。

师：谢谢大家的提问与点评。看来，大家的自主学习还是很成功的。最近，我们学校新建了一条环形塑胶跑道，直道长48.79米，最内圈两个半圆的直径是32米，每条跑道的宽是1.2米。第一道全长多少米？各跑道的起跑线要依次前移多少米？请大家设计设计吧。（学生自主完成，先在小组内交流，然后全班交流）

设计意图：本课时从“综合”的角度进行了设计，主要是学习方式的综合：课堂学习与网络学习相结合，自主学习与合作学习相结合，课内知识与课外知识相结合；思想与方法的综合：合情推理与演绎推理相结合、数与形相结合。通过多维的综合，实例较好地阐释了数学实践活动课“学什么”和“怎么学”两个重要方面。

三、讨论

1.对课堂的思考

以上教学实践紧紧围绕数学综合实践课程的三个关键词展开，即“数学”“综合”“实践”，着力解决了如下几个问题。

（1）抓住数学综合实践课程的重点，突出“实践性”。即引导学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的全过程：从现实的生活场景中发现数学问题→抽取数学问题模型→利用已有的生活经验和知识经验尝试解决问题→思考解决这个问题的方法能否推广到与之相关的其他问题。

（2）既关注基本知识和基本技能的运用，又注重了数学思想与方法的渗透，重视学生经验的积累，突出“综合性”。首先，在教学内容的选取上，选取了“空间与图形”“数与代数”相结合的“确定起跑线”问题；其次，在学习方式的选取上，采用了自主学习与合作交流相结合、实践操作与网络共享相结合、课内学习与课外学习相结合的方法；再次，在数学思想与方法上，注重了数形结合、归纳推理与演绎推理、具体和抽象相结合的教学方式。在此过程中，学生懂得了综合实践课可以学什么，怎么学。

（3）注重算法多样化与算法优化相结合，突出“数学味”。在教学过程中，教师不断引导学生相互倾听与评价，展示各自的算法，也引导学生比较各种算法，并不断优化算法，在这个由繁而简的过程中，“数学味”得以凸显。

（4）关注学生的学习兴趣，拓展学生的思维空间。从学生熟悉的运动会入题，以“400米比赛中运动员起跑线为什么各不相同”这一问题为主线，学生饶有兴趣地展开研究，特别是当学生能把400米比赛中确定起跑线的经验推广到200米比赛中，设计学校塑胶跑道的起跑线时，真正体验到了数学思考的乐趣。更重要的是，本课还将引发学生更多的思考，比如：在400米标准跑道上，如何探求其他径赛项目确定起跑线的一般方法和规律；在实际生活中，因为场地条件不同，非400米标准跑道上进行径赛时，起跑线该如何确定等一系列问题，大大拓展了学生的思维空间。

2.提出新问题

遗憾的是，在教学实践中，“遇到生活中的数学问题”这一环节是由教师事先设计好的，因此，学生没有真正独立面临问题，或者甄选出与自己知识经验相关的问题，而发现问题恰恰是一切重大发明的开端。事实上，综合实践课程的开设仅靠教材提供的案例是非常有限的，如何带领学生用数学的眼光去观察世界、用数学的方法去研究世界，是综合实践课程对广大数学教师提出的高难度挑战。（本文系湖南省教育科学“十二五”规划2014年度立项课题（编号：XJK014CZXX041）研究成果）

（执笔：王丽燕、谢加文、刘硕鹏、戴意祥）