三叉树模型下美式认股权证的定价*

王 琦，王玉文

(哈尔滨师范大学)

三叉树模型下美式认股权证的定价*

王 琦，王玉文

(哈尔滨师范大学)

探讨建立在Black-Scholes定价模型基础上，充分考虑定价问题中利率的随机性，利用三叉树定价模型方法结合美式期权的定价模型，得到美式认股权证价格的递推公式，以及带回购的、除权除息的美式权证定价的递推公式,为债转股问题的研究奠定基础.

三叉树模型; 美式权证; 带回购权证；除权除息；公司

0 引言

作为现代金融创新中一种被普遍运用的衍生工具，权证以其融资便利、对冲风险、高杠杆性等优点普遍受投资者和上市公司的青睐.并且，随着金融市场的日新月异、不断完善和发展，权证和债券等金融工具的组合也创造出很多具有不同风险收益特征的金融产品.因此，权证成为了新兴市场金融衍生交易工具的首选品种，也成为了发展最快的衍生产品.如何采用合理的、科学的方法对已经推出的或即将推出的金融衍生产品定价成为了市场稳健发展的首要任务.对权证的定价不仅对市场有指导意义，对以后国内进一步发展起来的各种衍生产品的定价也将奠定良好的理论基础.

1 准备知识

定义1.1[3]认股权证又称“认股证”或“权证”，英文名称为Warrant，在香港俗称“涡轮”.权证是一种约定该证券持有人可以在规定的某段时间内，有权利而非义务按约定的价格向发行人购买标的股票的权利.

表面上股票期权与认股权证之间不存在本质上的区别，但从具体的交易形式来看，有如下六方面的差异：

(1)有效期：认股权证有效期一般比股票期权有效期长，股票期权有效期一般在一年以内，认股权证通常在一年以上.

(2)标准化：股票期权通常是在交易所进行交易的标准化合约，而认股权证是非标准化的.

(3)卖空：投资者可以在交易股票期权时自动卖空，并且可以自由平仓，但认股权证的交易通常不允许卖空，即使可以卖空，也必须建立在先介入权证实物的基础上.

(4)做市商：股票期权做市商由交易所正式授权，而认股权证的做市商由发行人自行承担.

(5)第三方结算：股票期权的结算由独立于买卖双方的专业结算机构进行结算.认股权证的结算是发行人和持有人之间进行.因此，交易认股权证的信用风险要高于交易股票期权的信用风险.

(6)股票期权交易的是市场上已流通的股票，而权证交易的是新流通的股票，因而权证执行对股票价格有稀释作用而期权执行不然.

认股权证的回购是指上市公司为保证通过发行认股权证来筹集资金，在发行权证的时候会在合约里注明认股权证的回购价格，保证投资者的最低收益，从而吸引到更多的投资者购买认股权证.公司在权证回购完成后可以将回购的权证注销，但在大多数情况下，公司将回购的权证中的股票作为“库藏股”保留，不再属于发行在外的股票，且不参与每股收益的计算和分配.

当认股权证的有效期较长时，发行权证的上市公司在有效期内会进行分红：送股和配股，从而对认股权证的资产，价格及行权比例产生一定的影响.其中送股指的是把公司留存的一部分股票送给股东，不需要花钱.配股指的是让老股东以相对优惠的价格购买新增加发行的股票.

为证该文主要结果，需要如下的引理：

引理1.1[5]满足如下方程

(1)

的美式期权的价格有如下性质:

(1)对所有的n,Vn≥max{Gn,0}.

(2)贴现过程

(3)如果另有过程Yn满足：对所有n,Yn≥max{Gn,0}且

是一个上軮，则对所有的n有Yn≥Vn.其中Gn表示美式期权的内在价值过程.φn是取值在{n,n+1,…,N,∞}中所有停时τ的集合.

由此得到该文用到的美式期权价格在三叉树方法下的递推公式：

引理1.2[5]対引理1.1给出的期权价格过程，有如下的美式定价算法，在执行期权时有：

VN=max{Gn,0}

执行期权前的任意时刻有：

(2)

2 美式认股权证的定价

2.1 三叉树模型下美式权证的定价

上市公司发行的股票包括流通股和非流通股，流通股是指可以在证券市场买卖交易的股票，是可以自由流通的.非流通股是指在证券市场上不能自由买卖的股票.该文考虑非流通认股权证行权后的股票全部参与流通，即全转变为流通股股票的情况下，认股权证的价格.

认股权证的定价是以期权定价理论为基础的，关于市场的基本的假设在文献[7]中所示.

假设上市公司拥有m股发行在外的流通股股票且公司无负债，在初始时刻发行了n份到期日为T时刻以每股执行价格为K向该公司购买q份股票的权证.设Vt和Wt分别为t时刻公司的资产价值和权证价值，则公司的价值表示为

Vt=mSt+nWt

由此，得到如下定理：

定理2.1 若股票St和公司的资产价值Vt分别满足随机微分方程dSt=μ1Stdt+σ1S1dBt和dVt=μ2Vtdt+σ2VtdBt，其中μ1和μ2分别为股票和公司价值的漂移率，σ1和σ2分别为股票和公司价值的扩散率，Bt为标准维纳过程.由股票的稀释效应，认股权证的持有者在行权前的任意时刻认股权证价值的递推公式为

(3)

证明 由于认股权证执行时公司获得一笔现金流入，因此公司的股权值增长到Vt+nqK，这个值在m+nq股份中分配，所以认股权证执行时瞬时的股票价格为

因此认股权证持有人的盈利收入为

(4)

(5)

一般来说股票价值的波动率和公司价值的波动率是不相等的，即σ1≠σ2.

注记1 若σ2是已知的，则得到Vt的表达式[7]

(6)

从而根据(5)式求出Wt.

注记2 若σ2是未知的，可根据股票价值的波动率σ1导出σ2如下：

设股票价值的波动率σ1对公司价值的波动率σ2的比值为公司价值变化的弹性Ωs/v[6](可根据历史数据测得)，定义为：

(7)

设现在股票的总价格为E,即E=mS1.由文献[6]有

(8)

由定理的假设和(5)式得到

(9)

故

(10)

由此及(8)式求出

(11)

将(11)式和E=mSt代入(7)式得到

(12)

把此结果代入(6)式，用数值法求出V的值，从而得到认股权证的价值W.

证毕.

推论2.1 认股权证持有人在行权t时刻，权证的价值为

证明 由引理1.2,权证执行时股票的价格瞬间变为

此时认股权证持有者的盈利收入为

只有盈利为正时，认股权证才会被执行，由引理1.2和定理2.1得到权证执行时的价值为

(13)

认股权证在执行后m=0，公司资产只剩下股票(公司无负债)，所以VT=(m+nq)ST.此时得到具有稀释作用的美式认股权证执行时的价值为

(14)

证毕.

2.2 带回购的美式认股权证的定价公式

推论2.2 假设一份认股权证可以回购 股股票，认股权证的回购价格为 ,那么带回购的美式认股权证在执行前任意时刻价格的递推公式为

(15)

这里Vt满足

sVt=μ2Vtdt+σ2VtdBt

(16)

证明 直接应用定理2.1得到，t时刻认股权证持有者行权时该公司获得一笔现金流入mqK,公司资产增长到Vt+nqK,由于有一部分认股权证被回购，这时公司资产将在m+(n-a)q股权中分配,所以有

(17)

证毕.

推论2.4 带回购的美式认股权证的持有者在到期日行权时权证的价格为

(18)

证明 由带回购的认股权证的定义，在执行时刻带回购的认股权证的价值表示为

(19)

这里VT=(m+nq-na)ST所以

(20)

证毕.

2.3 除权除息后认股权证的定价公式

定理2.2 假设分红贴现为D,送股比例为p1,配股比例为p2，配股价格为S,为方便计算，这里假设一份认股权证可以购买一份股票，那么此时美式认股权证在除权除息后价格的递推公式为

(21)

这里K″是除权除息后的行权价格,n1是新的行权比例.

证明 由除权除息的认股权证定义，除权除息后股票的价格变为

(22)

根据《上海证交所权证业务管理办法》知除权除息后的行权价格变为

(23)

新的行权比例为

(24)

由定理2.2知，除权除息后的美式认股权证价格为

(25)

证毕.

推论2.3 除权除息的认股权证到期时权证的价值应为

(26)

证明 由推论2.2和定理2.3可得.

[1] Black F，Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy, 1973,81: 637-659.

[2] 何颖俞. 美式期权的三叉树定价模型[J]. 黑龙江大学自然科学学报,2008,25(1):81-84.

[3] 井百祥, 孙伶俐. 认股权证定价实证研究[J].河南理工大学学报,2006,5(7):2-166.

[4] 陆俊成,张寄洲. 认股权证的定价公式[J]. 上海师范大学学报,2002,5(21):1-4.

[5] 武斌，王玉文. 随机波动率下美式期权的三叉树模型定价方法[J]. 哈尔滨师范大学自然科学报,2016:(1):7-10.

[6] 刘志强，金朝蒿. 认股权证的等价軮测度定价模型与数值方法[J]. 经济学报,2014，21(2):60-64.

[7] 王玉文,刘冠琦,王紫. 随机金融数学导论[J]. 北京：科学出版社,2015.

[8] 郑振龙, 陈蓉. 金融工程:第三版.北京：高等教育出版社,2012.

(责任编辑：季春阳)

The Pricing of American Warrants in Discrete Case

Wang Qi，Wang Yuwen

(Harbin Normal University)

In this paper, based on the Black-Scholes model, the random nature of the pricing problem of interest rates is considered. Using the three pricing model method with the American option pricing model, the condition of discrete recursive formula of American warrants and repurchases warrants, except rights and interests warrants pricing formula are got.

Three pricing model; American warrants; Repurchases warrants；Except rights and interests；Company

2016-12-13

*国家自然科学基金项目(11471091)

O211.6

A

1000-5617(2016)05-0001-04