基于蒙特卡罗方法的固体火箭姿态控制系统设计

王辰琳，赵长见，宋志国

（中国运载火箭技术研究院，北京，100076）

基于蒙特卡罗方法的固体火箭姿态控制系统设计

王辰琳，赵长见，宋志国

（中国运载火箭技术研究院，北京，100076）

在固体火箭姿态控制系统设计过程中，为保证设计结果的可靠性，需要针对发动机性能、全箭质量及气动参数等进行拉偏仿真分析，各项偏差的大小及使用方法直接影响对固体火箭控制能力的需求。传统固体火箭姿态控制系统设计时，一般针对各项偏差进行极限拉偏组合仿真，导致设计结果较为保守。针对总体各项偏差量，建立概率模型，采用蒙特卡罗方法进行控制力分析。数学仿真结果表明，相比传统设计方法，在保证系统具有一定的可靠度情况下，大幅降低了对姿态控制系统的需求，优化了系统方案。

概率设计方法；总体偏差量；蒙特卡罗方法

0 引 言

固体火箭控制系统设计的基本目标是：在一定的可靠度下保证固体火箭飞行过程中舵机所能产生的控制力和控制力矩不低于箭身所受的干扰力和干扰力矩，否则，固体火箭会因所受干扰力矩过大而失控。由于输入参数存在不确定性，这里的控制力、控制力矩和干扰力、干扰力矩都不是一个确定的值，而是由若干随机变量组成的多元随机变量，它们都具有一定的分布概率[1]。

在目前工程应用中，为提高设计的可靠性，通常按3σ要求给出偏差量的取值区间，并对各偏差量采用极限和的方法处理，然后在极限和的基础上乘以安全系数，以此作为选择舵机力矩大小的依据[2～4]。由于偏差量取值过于保守，安全系数依据主观经验选取[5]，导致传统设计方法中理论计算出的干扰力和力矩过大，对执行机构推力需求余量过大，提升了设计的难度[6]。

为解决这个问题，本文以概率设计的方法来确定控制力矩需求，将设计中所考虑的总体偏差量当作随机变量来处理，建立总体偏差量的概率模型，通过蒙特卡罗仿真方法计算由偏差量引起的干扰力矩，避免出现传统设计中为追求安全可靠，对控制系统执行机构要求过高，造成不必要的成本上升，研制难度增大的问题。

1 姿态控制数学模型

固体火箭控制系统属于多维非线性时变的系统。为了使非线性的问题得以解决，工程上常常运用在一定的假设条件来进行扰动线性化，才能把空间运动分解成相互独立的平面运动。由于非线性微分方程可以进行线性化处理的最基本的假设是变量和工作点之前的偏差量非常小，并且要求变量在该点处存在导数或者偏导数。若该条件成立，则可以在该工作点的附近区域中将描述控制系统特性的非线性微分方程通过变量偏差形式展为泰勒数，并忽略高阶偏差小量，就可以得到以变量相应于平衡点处的偏差量作为自变量的线性微分方程[7]。通过理论推导，建立固体火箭的三通道线性化模型[8]：

设计控制系统时要了解箭体的动态特性，在经典自动控制理论中用传递函数等来表征系统的动态特性。传递函数概念一般只适合于线性控制系统，为解决非线性时变的问题，实际工程上一般运用系数冻结法。系数冻结法是依据控制系统参数变化的范围和快慢来进行分段冻结的方法[9]，不同段的取值不同，同段内参数值相同并按定常系统处理。由于固体火箭绕质心运动的暂态过程比方程系数变化快得多，所以可以近似认为在姿态角偏差暂态过程中方程系数不变，即将方程系数冻结在相应的飞行秒上，因此可将传递函数概念用在控制系统的分析设计上。

由式（1）～（3）可得刚性箭体的传递函数：

2 蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法也称为随机模拟方法，有时也被称为随机抽样技术或统计试验方法。它的基本思想是为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解；然后通过对该模型或过程的抽样试验（仿真）来计算所求参数的统计特征；最后给出所求解的近似值，而解的精确度可用估计值的标准误差或其它统计特征来表示。

用蒙特卡罗方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。为了方便，通常把[0,1]区间上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。现在，随机数基本上都是用计算机来产生的，例如Matlab里的Random函数。严格地说，这种随机数是由一种迭代过程即数学工程产生的，能通过一系列的局部随机性检验，如均匀性、独立性检验，通常称这样产生的数为伪随机数。

假定已获得了上述随机数，根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法并对每个随机变量进行随机抽样。这里的抽样方法有直接抽样、分层抽样、相关抽样等，选取合适抽样方法的目的是降低模拟结果的估计方差，提高模拟精度，或者在保证精度的前提下提高计算效率[10]。

设ri(i=1,2,...,12)是[0,1]区间上均匀分布随机量的12次抽样值，根据概率统计理论，随机数ri的期望值为1/2，标准差为则可由如下的近似抽样法产生一个标准正态分布随机数

从仿真结果可知，为保证固体火箭各通道姿态可控，俯仰通道至少需要10 053.769 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要11 271.419 N·m的控制力矩，滚动通道至少需要1932 N·m的控制力矩，单舵最大舵偏角可达29.81°，超出最大舵偏27°限制，控制力无法满足需求。

假设需要的正态随机量满足η～N(μ,σ2)，则η可由下式得到：

式中 μ,σ分别为随机变量η的期望值和标准差。

3 基于蒙特卡罗的姿态控制系统概率设计

3.1 总体偏差量概率模型

对固体火箭设计、生产与使用过程进行分析可知，引起固体火箭战技指标偏离的原因有2类：a）系统偏差，如发射平台的固有系统误差、瞄准误差、射击诸元装订误差、大地测量误差、恒风测量误差等[11]，这些误差所引起的偏差是确定的，是可以消除的；b）随机偏差，包括固体火箭质量特性偏差、发动机性能偏差、气动特性偏差等。固体火箭总体设计的偏差量特指随机偏差。

通过对大量实测及计算数据的统计分析，建立了总体各项偏差的概率分布模型，见表1。

表1 总体偏差量的概率分布

3.2 控制力分析

3.2.1 传统设计方法

由于总体各项参数与实际飞行时有差异，姿态运动方程式系数额定状态并不能完全代表飞行器的飞行条件，因此要进行上下限偏差设计。在传统设计方法中，将偏差量的取值组合按照对控制系统的影响分为姿控上限状态和下限状态。

a）系统的上限状态选取固体火箭总体参数、控制系统参数的偏差组合，应使开环幅频增大，高频幅裕度减小；

b）系统的下限状态选取固体火箭总体参数、控制系统参数的偏差组合，应使开环幅频减小，低频幅裕度减小。

选取式（4）～（6）各项系数的上限、下限状态，可以得到姿控系统的上限、下限状态。按姿控上限、下限状态分别进行仿真，结果见表2。

表2 传统设计方法仿真结果

3.2.2 蒙特卡罗方法

以Matlab/Simulink为平台，根据式（1）～（3）所描述的固体火箭三通道姿态运动方程，搭建姿态控制系统仿真模型。仿真计算流程见图1。

表1中的总体偏差量数据利用Matlab软件中的normrnd函数生成，部分拟合结果分布见图2。

经验证，各偏差量均独立且符合其概率分布模型。采用蒙特卡罗方法仿真计算50 000次，得到各通道舵机偏转角和干扰力矩随时间变化的曲线，通过提取每条曲线上舵机偏转最大值和干扰力矩最大值，统计并计算其均值和标准差。仿真过程中3个通道的最大需用舵偏角的统计结果见图3。

图1 蒙特卡罗方法流程

图2 拟合结果分布

图3 三通道仿真最大舵偏角数据直方图

在给定置信度（3σ）条件下，确定出最大舵偏角和控制力矩的许用设计值列于表3。俯仰通道至少需要8519.193 N·m的控制力矩，偏航通道至少需要9869.928 N·m的控制力矩，滚动通道至少需要1657.033 N·m的控制力矩，单舵最大需用舵偏角为19.475°。

表3 概率设计方法仿真结果

3.2.3 对比分析

表4为概率设计方法和传统方法的对比。从表4可知，在设计输出参数满足3σ要求的同时，概率设计方法能降低执行机构的需求力矩和需用舵偏角，满足执行机构对舵偏角的限制。

表4 传统方法与概率设计方法对比

4 结 论

本文按照概率设计方法的思想，在满足给定置信度的要求下，建立了固体火箭总体偏差量的概率模型，采用蒙特卡罗方法进行大量仿真计算，结果证明：概率设计方法可在一定程度上减少姿态控制系统的需用力矩和最大需用舵偏角，在保证设计可靠的同时又不过于保守，降低对控制系统要求，优化固体火箭姿态控制系统设计方案。

[1] 刘常青. 基于概率偏差的战术导弹总体方案设计技术[D]. 长沙:国防科学技术大学, 2011.

[2] Williams S P. A monte carlo dispersion analysis of the X-33 simulation software[R]. AIAA 2001-4067, 2001.

[3] 杨云, 张平. 电传飞控系统的蒙特卡罗分析与设计[J]. 航空学报, 2008, 29(增刊): 85-90.

[4] 胡殿印, 裴月, 王荣桥. 涡轮盘结构概率设计体系的研究[J]. 航空学报, 2008, 29(5): 1144-1149.

[5] 刘国栋, 张锐, 邹伟. 导弹可靠性参数的选取与典型参数分析[J].导弹试验技术, 2006(4): 4-7.

[6] 刘志全. 航天器机械可靠性特征量裕度的概率计算方法[J]. 中国空间科学技术, 2007(4): 34-43.

[7] 徐道义. 系数冻结法应用新果[J]. 自动化学报, 1985(2): 31-34.

[8] 龙乐豪. 总体设计[M]. 北京: 宇航出版社, 1993.

[9] 薛定宇. 反馈控制系统设计与分析MATLAB语言应用[M]. 北京:清华大学出版社, 2000.

[10] 徐钟济. 蒙特卡罗方法[M]. 上海: 上海科学技术出版社, 1985.

[11] 杨绍卿. 火箭外弹道偏差与修正理论[M]. 北京: 国防工业出版社, 2011.

Design of Solid-fuel Rocket Attitude Control System Based on Monte Carlo Method

Wang Chen-lin, Zhao Chang-jian, Song Zhi-guo
(China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076)

In the design process of solid-fuel rocket attitude control system, it is necessary to simulate based on population deviations of engine performance, whole solid-fuel rocket mass and aerodynamic parameter in order to assure the reliability of design results, because the using method of deviation factors are accounted for the demand of solid-fuel rocket control. The extreme value of population deviations are taken in the traditional design method, but it leads to more conservative design results. The probability models of population deviations are established, and then Monte Carlo methods are introduced to analysis the controlling force. The simulated results show that, compared to the traditional design method, the probability design method reduces the demand of solid-fuel rocket attitude control system and optimizes the system design scheme obviously.

Probability design method; Population deviation; Monte Carlo method

V448.22

A

1004-7182(2016)05-0028-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20160506

2015-12-14；

2016-03-30

王辰琳（1991-），女，硕士，主要研究方向为飞行器姿态控制系统设计