一道题的反思
2016-04-05魏计玲
魏计玲
（山西省晋中市榆次五中）
探索篇·方法展示
一道题的反思
魏计玲
（山西省晋中市榆次五中）
今天，学生拿着题来问我，题目是这样的：如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为______
图1
很熟悉的图形，前两天刚解决过的一道题，当时是求证EF= BE+FD，这两道题如出一辙，可学生为什么把它们联系不起来呢？仔细想来，学生大量的做题，每道题独立出现，如果不深入思考，今天做会这个，明天稍有变化，又是一道新题，又得从头再来，如何能让学生对所做的习题进行变通、推广，在不同角度、不同层次、不同情形、不同背景下重新认识呢？
于是，我对此题进一步研究，并查阅相关资料，对这道题进行不同的变换，在课堂上和学生一起讨论、交流，希望能起到举一反三的作用，同时也教给学生一种有效的复习方法。
一、掌握原题的基本方法
原题：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BE+FD
图2
引导学生归纳解决这一问题的方法：运用旋转，将△ABE和△ADF拼成一个三角形，通过证明三角形全等来证明结论。
二、对题目进行反思、探究
1.交换条件与结论，探究逆命题是否成立。学生运用刚才解决问题的方法，轻松得到结论，逆命题成立。
2.发散性思维训练，在原条件下，你还能得到哪些结论？
结合刚才的证明过程，学生还可以发现EA、FA分别平分∠BEF和∠EFD这一结论。
3.有了以上的发现，我给出了学生三个问题：
原条件不变，
（1）求证S正方形ABCD：S△EAF=2AB：EF。
（2）若BE=2，DF=3，求AB的长。
（3）若F是DC的中点，则tan∠AFE=，cos∠AEB=。
在解决问题（1）时。因为S四边形ABCD=AB2，易证△AEF中EF边上的高与正方形边长相等，即可证得结果，用到了EA平分∠BEF或FA平分∠EFD的结论。
在解决问题（2）时，用到了BE+FD=EF这一结论，设正方形的边长为x，用含有x的式子表示出△ECF三边，利用勾股定理列方程即可得到AB的长，更进一步引导学生在BE，FD，AB三边中已知其中两条，即可求得另一条，从而将这一求解过程一般化。
在这一过程中，通过补充相应的问题的条件，对原题进行了引申、发展、拓展，增加了问题的背景，增大了发散思维。
三、再对题目进行类比引申
只有正方形才有类似的结论吗？引导学生做以下变形：
引申一:
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B和∠D都不是直角，∠B、∠D满足怎样的等量关系时，会有EF=BE+DF。
图3
事实是，当∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，分析其本质特征，经过旋转△ABE和△ADF能合成一个三角形，并且与△AEF全等，只要这一特征在，结论就成立，然后引导学生探究刚才的问题，∠B+∠D=180°的前提下，若EF=BE+DF,则∠EAF=45°成立吗？EA、FA还平分∠BEF和∠EFD吗？结论是肯定的。
图4
这一过程中，引导学生从特殊性到一般化，加强了学生思维能力的培养，也培养了学生分析问题的能力。
引申二：
若改变问题的背景，即将正方形变成三角形，结果又如何呢?为此设计了以下题目:
如图5，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
图5
在解决这一问题时，可以看到本质条件仍然在，即∠BAC= 90°，AB=AC，基本方法仍然适用。旋转△ABE，全等也依然要证明，只不过结论变成了DE2=BD2+EC2，这是由∠B+∠ACB=90°这一条件形成的。
通过对问题的引申，引发学生对问题的思考，抓住本质的内容，从中既体会到条件的变化，也体会到万变不离其宗，即解决问题的基本方法不变，进一步得到更为一般的结论，提高了学生的应变能力。
四、最后总结性的实践运用
经过一系列的学习、探究、引申，为检测学生对本节课所学知识的掌握情况，我设计了如下题目：
图6
解决这一问题时，既用到了正方形中，EF=BE+DF这一结论，又用到了直角三角形中MN2=BM2+ND2这一结论，巩固了所学，也提高了学生解决问题的能力。
通过这样的训练，学生眼里的题目不再是单独的一个点，而是一类，学到了一些数学方法，体会了一些数学思想，也了解了一个推向一般性的结论。
我想，在数学教学中，若将经典例题、习题充分揣摩，经常进行这样的反思、探究、引申，不但可以抓好基础知识，还可以激发学生的探究欲望，提高学生的创新能力。在纵横发散中，达到知识串联，综合沟通，起到举一反三的效果，从而提高了学生的综合分析能力和数学思维能力。
·编辑鲁翠红
