《圆面积的拓展练习》设计与教学

徐英飞

【教学内容】

人教版六年级上册《圆的面积》之后的补增内容。

【课前设想】

六年级上册的小学数学作业本上有这样一道题：

如下图，点O为圆心，正方形OABC的面积是20cm2，求圆的面积。

学生第一次碰到它时，说是不会做，原因是因为不知道半径，于是我告诉学生“圆面积的计算公式是S=πr2，而r2就是正方形的面积，因此20cm2可以直接拿来用。可是过了一段时间，当学生再次碰到这道题目时，又不会了，问了原因，居然又是因为不知道半径，于是只好再讲一遍。但到期末时，在复习卷中又出现了这样的题目，结果又有好多学生不会了，问了原因，居然又是因为不知道半径，真是让人又气又急。

其实每次学生不会时，我都是讲解得很认真的，但却总是回到起点。于是我不得不进行反思：这道“大家都觉得困难且又反复出错”的题目，真的靠教师简单讲一下就能解决吗？如果能，为什么讲了那么多遍还是见不到效果？是学生的记性太差还是我的教学出了问题，想必肯定是后者。于是我冒出一个念头：类似于这样的题目，能不能让学生像新授课一样经历一个探究过程？

【教学过程】

一、旧知回顾

师：同学们，最近我们学习了有关圆的知识，你能回忆一下吗？

生：圆有圆心、直径、半径、周长、面积……

师：怎样计算圆的周长？字母公式是怎样的？

生：直径乘圆周率就是圆的周长，C=πd，C=2πr。

师：（课件出示：圆周长的一半）它的长度又该怎么算？

生：πr。

师：那么圆面积呢？

生：S=πr2。

师：这个公式又是怎么推导出来的？

生：把圆剪拼成一个近似的长方形，长方形的长等于圆的半周，也就是πr，宽是圆的半径，也就是r，所以圆面积S=πr×r，也就是 S=πr2。

二、简单练习

出示：已知 r=2cm，d=6cm，c=25.12cm，求圆的面积。

（学生自练，汇报，教师板书）

师：通过这道题，你明白了什么？

生：要求圆面积，必须得先知道半径。

三、任务挑战

出示：（如前图）已知正方形的面积是20平方厘米，圆面积是多少平方厘米？

师：我们把这样的正方形，称为小正方形，接下来请同学们独立解决。

教师巡视后板书：

20÷4=5（cm），3.14×52=78.5(cm2)。

师：你怎么看？

生：我认为是错的，他是把20平方厘米当小正方形的周长了；另外，5厘米也不是圆的半径，不然，小正方形的面积就是25平方厘米了。

师：如果允许你换个数字，你希望是多少？

生：4平方厘米，9平方厘米，16平方厘米，25平方厘米……

师：为什么？

生：因为这些数字可以分解成两个相同的数字相乘，这样就可以知道圆的半径了。

师：假设小正方形的面积是9平方厘米，那么圆面积是多少平方厘米？请独立完成。

教师巡视后板书：

方法一：9÷3=3（cm），3.14×3×3=28.26(cm2)；

方法二：3.14×9=28.26(cm2)。

师：对于这两种方法，你怎么看？

生：我认为两种方法都是对的，方法一是先求出圆半径，然后再根据公式求出圆面积；方法二是把9直接拿来用了，因为小正方形的面积就是半径的平方。

师：你更喜欢哪一种？为什么?

生：更喜欢第二种，因为更简单。

师：我们再回到先前的挑战题，现在你是否会做了？

生：3.14×20=62.8（cm2）。

师：你们同意吗？为什么？

生：20平方厘米就是半径的平方，因此可以直接拿来用。

师：假设小正方形的面积是1cm2，那么圆面积是多少？

生：1×3.14=3.14（cm2）。

师：如果是2cm2呢？

生：2×3.14=6.26（cm2）。

师：你发现了什么？

生：圆面积是这个小正方形面积的π倍。

师：所以圆面积还可以怎么求？

生：先求出小正方形面积，再乘π。

师：哪个字母公式更符合？

生：S=πr2。

师:那么根据剪拼，公式应该是怎样的？

生：S=πr×r。

师：看样子，不同的思路，公式的写法也不一样。

师：到现在为止，你有什么新的收获？

生：要求圆面积，不是非得知道半径；计算圆面积，可以从转化成长方形开始，也可以从小正方形开始；同一个字母公式（π×r×r），不同拆分代表的意义不同。

师：现在有一个圆，半径是4cm，要求它的面积，你准备走哪条路径？请画一画，算一算。

生：3.14×42=3.14×16=50.24（cm2），先求小正方形面积，再求圆面积。

生：3.14×4×4=12.56×4=50.24（cm2），先求半周长，再求圆面积。

四、延伸拓展

1.小正方形的面积仍是20平方厘米，那么圆的外切大正方形的面积是多少平方厘米？

2.圆内接正方形的面积是40平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？

3.已知正方形的面积是60平方厘米，你能求出跟它相关的圆的面积吗？

五、全课总结

【课后反思】

1.先方后圆，也是计算圆面积的一条好路径。

学生能够熟记公式S=πr2，但未必能理解公式的真正含义，所以遇到作业本中的那道习题就不会了。或许他们知道πr2是由πr×r简写得到的，也知道πr×r是通过把圆转化成长方形推导出来的，但从未想过S=πr2中的r2是代表什么意思。

这节课打破了学生固有的思维，从而走出了一条求圆面积的新路径。同样是三个字母相乘“π×r×r”，如果是分割成（πr）×r，那么就是“半周×半径”，如果是分割成π×r2，那么就是小正方形面积的π倍。所以先方后圆，也是求圆面积的一种好方法。

2.延伸拓展，轻松理解圆与外切（内接）正方形的关系。

探究圆与外切（内接）正方形的关系，虽不是学生必须掌握的知识，但在教材的第74页也出现了，它是通过计算来发现圆与外切正方形之间的关系，但过程是相当繁杂的。有了这节课，学生很轻松地就可以知道“圆外切正方形的面积与圆面积的比是4:π”。再比如圆内接正方形的面积与圆面积的关系，也只要稍微转化一下就可以知道两者之比是2:π。所以学好这节课，意义很大。

3.为数学知识拓展课，提供一点建议。

《浙江省教育厅办公室关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》指出：拓展性课程可分成“知识拓展、体艺特长和实践活动”，小学主要开设体艺特长类和实践活动类课程，到了初中再增加知识拓展类课程。这就意味着小学主要是后两类，如果再细分到数学课程，那么只有“实践活动类”了。但笔者认为小学数学也需要有适当的知识拓展课程，因为当下，“例题简单而练习困难”是真实的现状，但当面对较难的练习题时，往往是教师自己讲一下，结果导致学生不懂或一知半解，等到下次再碰到这样的题目时又不会了。所以笔者很希望有这样的课，可以让学生对这样的难题好好探究一下。本文中说到的题目，就是非常好的例子，它以基本知识为主，又脱离奥数题，所以对于好中差学生都极为有利。