创新教材 别样洞天

杨永华　孙文中

摘 要

基于图表数据求一次函数解析式但又没有明确告诉函数类型的习题，先用一次函数的两个特征判断函数类型再求解。用表格数据或平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理两种方式深化一次函数的两个特征。

[关键词]

平行线；验证；特征

人教版初中数学教材中有5个定义都用“形如……”的形式定义概念。一次函数是其中之一，这样的定义形式貌似空洞，实则有内涵，定义方式很恰当也很合理，使得教学内容有深浅、有宽窄，留有空间，富有弹性，给学有余力以及学生创新思维的培养提供了素材，给教师创新教材提供了空间；教师依据课标创造性地使用新教材，就能达到培养创新能力的育人宗旨，也能发现别样洞天。

人教版八年级数学下册第90页讲一次函数的概念时，课本设计了1个“问题2”和4个“思考”，写出关系式后给出了定义：一般地，形如y=kx+b（k，b常数，k≠0）函数叫做一次函数；在课本第90页第5行的思考中提出了问题：“思考下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数关系式，这些函数解析式有什么共同特征？”，在此课本标有两个注解（1）：“这里需要先引导学生写出函数解析式，再根据式子发现它们在形式上的共同特点”。“（2）一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的”。

关于一次函数义务教育课程标准（2011年版）《教师学习指导》第109页中有明确的论述：“要通过对较为丰富实例的归纳和抽象，正确刻画一次函数的概念，把握好一次函数的实质。设置实际情景引入概念、研究解决实际问题，这既是学习一次函数的出发点，又是学习一次函数的落脚点，既是重点，又是难点.教师要投入足够的时间和精力，务求教学有所突破，确保教学有实效”。在第110页中：“需要指出的是，对于一次函数，教师应当突出自变量与应变量之间的一种按比例变化的特征，这是一次函数特有的，其他函数没有的”。

课本要求正确理解“它们在形式上的共同特点”，课标要求“正确刻画一次函数的概念，把握好一次函数的实质”；“教师应当突出自变量与应变量之间的一种按比例变化的特征”。如何理解“它们在形式上的共同特点”？如何理解“把握好一次函数的实质”？如何突出“自变量与应变量之间的一种按比例变化的特征”？课本和课标在此都隐性地提出了要求，教学内容宽松深浅的弹性如何利用，对于培养学生创新思维至关重要.教师在一次函数教学时要利用好这个创新发展的空间，在复习时加强知识的横向联系有深化，才能达到课本和课标的要求。下面就一次函数的教学谈一点想法.旨在交流研讨共同创新。

一、一次函数教学时两个建议

建议1：利用列表找出两个特征，课前准备预习作业，具体做法分四个步骤：（下面是预习作业的电子文稿的主要过程，为了叙述方便已填写完整略去了设问）。

课前预习作业：

（一）先让学生把1个“问题2”和4个“思考”列表填写完整，（目的：学生填写表格的目的是让学生参与到课堂教学活动中来，填写过程中还涉及到的自变量X的估算和取值范围，让学生亲身体验理解自变量取值范围是有实际意义的，不是人为限制的.如思考（1）中已经限定自变量只能在20～25之间取数，温度在20℃以下和25℃以上蟋蟀鸣叫规律不明显；思考（2）要估算成年人的身高，成年人应该是18岁以上；思考（3）和（4）自变量不能取负数，都是有实际意义的，有些常识性的知识学生是要懂的）。

问题2：登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队由大本营向上登高Xkm，他们所在位置的气温为Y℃，试用函数的解析式表示y与x的关系。

思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数关系式，这些函数解析式有什么共同特征？（注解提示要求写出形式上是共同特征）

（1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数c与温度t（单位℃）有关，即c的值约是t（20≤t≤25）的7倍与35的差。

（二）观察这5个式子：①y=-6x+5，②C=7t-35，③G=h-105，④y=0.1x+22，⑤y=-5x+50，形式都像y=kx+b.

定义：一般地，形如y=kx+b（k，b常数，k≠0）函数叫做一次函数；

（三）利用问题2表格中数据继续引导学生观察数据之间的规律：

[x＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&…＼&y=-6x+5＼&5＼&-1＼&-7＼&-13＼&-19＼&…＼&]

1.自变量x依次增加1、应变量y依次减少6。

特征1：x变化量Δx相同时，y变化量Δy也相等。

2.选定上表中第1、4、5列（任意选定三列）：

Δx1 = 3-0 = 3 ； Δx2 = 4-3 = 1 ；

Δy1 = -13-5=-18； Δy2 =-19-（-13）=-6；

即得： [Δx1Δx2=31=3]；[Δy1Δy2=-18-6=3]；

故：[Δx1Δx2=Δy1Δy2].

特征2： x 、 y的变化量Δx 与Δy是对应成比例的。

（四）用思考中的4个实例验证上述两个规律（略）。

建议2：复习一次函数时利用平行线的性质深化两个特征。

用表格中数据观察得到的两个特征还是很抽象，有些学生理解是有困难的.为了使学生更充分地理解和内化两个特征，建议复习一次函数时利用平行线的性质深化两个特征。

事实上，这两个特征可以用平行线的性质得到验证。

做法是：

（1）如图1分别过x轴上1、2、3三个刻度点做x轴的垂线，垂足分别是E、F、G，与直线AD相交B、C、D三点，可得到BE∥CF∥DG；因为EF=FG，由平行线等分线段定理得到：BC=CD；过直线上B、C、D三点向y轴做垂线，垂足分别是H、N、M，可得到HB∥CN∥DM，因为BC=CD，由平行线等分线段定理得到：HN=MN；即：

[BE∥CF∥DGEF=FG]→[BC=CDHB∥CN∥DM]→HN=MN

因此得到规律1：x变化量Δx相同时，y变化量Δy也相等.

（2）如图2，过直线l上任意三点B、C、D分别做x轴和y轴的垂线，

由BE∥CF∥DG；根据平行线分线段成比例定理得到：[EFFG=BCCD]；

由BH∥CN∥DM；根据平行线分线段成比例定理得到：[BCCD=HNMN]；

即可得到：[EFFG=HNMN]；也即得到：[EFFG=HNMN]。

即：[EFFG=BCCD]→[EFFG=HNMN]

规律2：x、y的变化量Δx与Δy是对应成比例的。

二、一次函数两个特征的应用

范例1.

如图1，在一直角边长为4米的等腰直角三角形地块的每一个正方形网格的格点（纵横直线的交点及三角形顶点）上都种植同种农作物，根据以往种植实验发现，每株农作物的产量y（单位：千克）受到与它周围直线距离不超过1米的同种农作物的株数x（单位：株）的影响情况，统计如下表：

[x（株）＼&1＼&2＼&3＼&4＼&y（千克）＼&21＼&18＼&15＼&12＼&]

通过观察上表，猜测y与x之间之间存在哪种函数关系，求出函数关系式。

解：由表格中数据可知：

x变化量Δx相同时，y变化量Δy也相等.

故设y = kx + b

把x=1， y=21和x=2，y=18代入y= kx+b得

解得，[k=- 3，b=24] ∴y=-3x+24

∴[y=- 3x+24]是符合条件的函数关系.

范例2.

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：

[单价（元/件）＼&30＼&34＼&40＼&42＼&43＼&…＼&销量（件）＼&40＼&32＼&20＼&16＼&14＼&…＼&]

通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量[y]（件）与单价[x]（元/件）之间存在函数关系，求[y]关于[x]的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；

解：在表格中取1、2、4列数据验证：（任意取三列数据）.

Δx1=30-34=-4，Δx2=34-42=-8，

Δy1=40-32=-8，Δy2=32-16=-16

[Δx1Δx2=-4-8=12]；[Δy1Δy2=-8-16=12]；

故[Δx1Δx2=Δy1Δy2]；

从表格数据关系看出x、y的变化量Δx与Δy是对应成比例，[y]与[x]之间存在一次函数关系，故设所求一次函数关系式为[y=kx+b]（[k]≠0）.

将（30，40）、（40，20）代入[y=kx+b]，得

[30k+b=4040k+b=20] 解得[k=-2b=100]

∴[y=- 2x+100]

这两道题是利用图表数据信息求一次函数解析式的，题目中都隐去了一次函数的提示，用这样的方法解题，逻辑性很强，很有说服力。采用这样的做法，既把一次函数向纵深发展了，加深了一次函数的理解，又横向地把一次函数的线性特征用平行线的性质得到了升华，内化了知识，创新了课堂，提升了思维，培养了能力！

在新课程理念的指导下，教材的地位已经发生了变化，教材从教学的唯一依据变为教学的依据之一，从权威转变为参考的知识载体。这就需要教师转变观念，精研细读《课程标准》和教材，明确其语句表达的含义，用动态的眼光“破译”教科书，按照学生认知特点和学习习惯以及学生各方面实际，创造性地使用和开发教材，教材才能发挥出课程资源的作用，教学才能实现对教材的超越。

创新教材的经验是依据以下三个原则：①领会课标是前提，理解教材是基础。教材是主要的教学资源，要创造性地使用教材，必须准确理解教材，可以超越教材，但不能跨越课标。要做到深入浅出。“深入”，即自己潜心领会课本设计的意图；“浅出”，即把教学内容设计成符合学生实际的预习作业或导学案，清晰地引导学生理解新知。②充分发挥（下转第17页）（上接第15页）学生的主体作用。教师应该是一个编剧，一个导演，学生是演员，一定要设法让学生“入戏”。让学生“入戏”就要求教师设计符合学生实际的学案，设计出学生能“够得着”或“跳一跳就能摘到桃子”的问题。在具体的教学过程中，不仅要求教师活用教材，更要活用“学生”。教学内容变成问题后，争取每个学生都要回答而且每个回答都不“浪费”。在课堂教学中，要根据课堂实际情况随时调整教学思路。“学生把话讲完了”，才能体现出教师的创新。学生的回答是判断教师创新的标志。③活用方法是关键。教师针对学情，努力挖掘自身的教学潜质，充分发挥个人的专业才能和教学智慧，大胆创造，积极利用，或精心取舍，或巧妙拓展，或大胆改动，或多方整合，或沟通读写，或接轨生活，既遵循教材，又不囿于教材，既凭借教材，又能跳出教材、活用教材，或调或改或增或延，灵活地利用教材，使教材成为一种动态的、生成性的资源.使教材内涵更加丰富，个性更加鲜明，赋予教材生命的活力。创新教材，才能有别样洞天。

[参 考 文 献]

[1]马建军.初中数学一次函数教学设计与思考——以一次函数图像教学为例[J].陕西教育，2012（11）.

[2]钱光均.从一次函数中探究初中数学教学设计与思想[J].中华少年（研究青少年教育），2013（23）.

（责任编辑：张华伟）