积分概念的教学研究

杨策

（吉林建筑大学　城建学院，吉林　长春　130114）

积分概念的教学研究

杨策

（吉林建筑大学城建学院，吉林长春130114）

积分知识是高等数学的重要组成部分，各类积分彼此之间具有明显的区别与联系，通过分析各类积分之间的辩证统一关系，采用适当的教学手段，达到积分教学乃至高等数学教学的目的，即培养学生逻辑思维和创新思维的能力.

积分概念；辩证统一关系；教学研究

高等数学是大学各专业的一门重要的基础必修课程，积分知识在高等数学中占有非常大的比重，从一元函数的不定积分、定积分，到二元函数的二重积分、三重积分，再到对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分，以及对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分，形成了一套完备的积分理论.数学作为各门学科和专业的工具，我们希望，在大学高等数学教学过程中，不单单培养学生的计算能力，而是教给学生学习的方法，培养学生解决问题的能力，这就需要充分认识到高等数学中所蕴含的逻辑思维和创新思维的开发，在教学中着重培养学生思维的形成.积分知识作为一套完备的知识体系，蕴含着逻辑思维和创新思维的精髓，各种积分之间的辩证统一关系如果能较好地体现在教学中，对学生的知识理解和思维形成，都将起到至关重要的作用.

1　积分教学的目的

各学科和专业中都蕴含着积分思想，积分知识的学习和合理运用对学生学习其他课程都是有帮助的，尤其是在积分学习过程中所培养的逻辑思维和创新思维能力，将潜移默化的影响学生对任何知识的理解.积分知识的教学应该注意理论深度的把握，避免复杂的理论推导，让学生在较好的理解知识，能够常规应用的基础上，培养良好的逻辑思维和创新思维能力.

2　各类积分之间的辩证统一关系及其课堂诠释

2.1积分的实质即各类积分的联系及其课堂诠释

积分的实质是某种特定结构和的极限形式，即黎曼和的极限.黎曼和的思想，是各类积分定义的根本，也是灵活运用积分知识解决实际问题的核心所在.

积分思想的产生正是源于解决实际问题中的不均匀问题，通过分割的方式将问题分解成若干个小问题，在每个小问题上利用均匀问题的求解办法得到近似值，将若干个近似值求和，得到原问题的近似值，最后通过求极限的方法得到问题的精确值.这种“分割-近似-求和-取极限”的思想就是积分思想的精髓，也是积分又被成为特殊形式的和的由来，是积分定义讲解的重点.

各类积分都有形象的几何意义和较强的物理背景，概念的讲解可以依托直观直观的图示和适当的解释作为引例，使抽象概念形象具体.

定积分的引例是几何中的曲顶柱体的体积问题和物理中的变速直线运动的路程问题.

二重积分的引例是几何中的曲顶柱体的体积问题和物理中的面度不均匀分布的平面薄片的质量问题.

三重积分由于函数元数的增加，空间维数的增多，没有形象的几何意义，它的物理引例是密度不均匀分布的物理的质量.

第一类曲线积分即对弧长的曲线积分的引例是物理中密度不均匀分布的曲线状物体的质量问题.

第一类曲面积分即对面积的曲面积分的引例是物理中密度不均匀分布的曲面薄片的质量问题.

第二类曲线积分即对坐标的曲线积分的引例是物理中变力沿有向曲线段做功问题.

第二类曲面积分即对坐标的曲面积分的引例是物理中流体从有向曲面流过的流量问题.

以上几何和物理问题即是各类积分的引例，同时又是各类积分的几何意义和物理意义，在引导概念及实际应用上都有非常高的使用价值.为加深积分思想的产生源于解决不均匀问题，及“分割-近似-求和-取极限”的重要方法，可以将以上各类积分的引例制作成卡片，或电子板书，在讲解每一种积分概念时浏览使用，形成对比学习，根据积分概念的特点采用的这种办法，达到教学目的的同时，还可以引导学生举一反三的对未学到的积分进行想象和推导，对逻辑思维和创新思维的形成，起到积极作用.

2.2各类积分的区别及其课堂诠释

定积分、二重积分、三重积分把积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到积分范围为平面或空间内的一个闭区域的情形.曲线积分、曲面积分是将积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形.

各类积分的区别虽然实质源于各类不同的实际问题，但是数学本质上的区别是函数元数的不同和积分区域的不同所导致的不同结构的黎曼和的极限.

各类积分区别的课堂教学应着重黎曼和极限的各部分结构的准确性，以及积分符号的形象化解释.

3　教学手段

3.1多媒体的应用

数学知识无疑是抽象的，适当的教学手段，可以使抽象的知识具体化，各类积分概念本身是具有数学美，如何将其中蕴含的数学美展现给学生，是数学教师的职责之一.“分割-近似-求和-取极限”的方法可以说是使学生终身受益的一种方法，通过多媒体教学，可以将这四个步骤淋漓尽致的表现出来，尤其第四步“取极限”，是无限分割的结果，这个过程通过多媒体教学可以让学生认可“近似”为何通过“无限细分”可以到达“精确”的原因.因此，在各类积分概念的讲授中，要适当采取多媒体教学与板书教学配合的方法，详尽知识点，激发学生兴趣.

3.2对比教学法的应用

对比教学法是在教学中，将一些具有某种联系和区别的教学内容放在一起进行比较分析，查找相同和不同之处，是学生明确了一个内容后能够自然联想另一个内容，达到教学目的的教学方法.这种方法可以帮助学生摆脱对知识的陌生感，找到轻松入门的途径，从而增加学习主动性，提高学习效率.这种教学方法的应用有助于学生牢固掌握基础知识，有利于学生逻辑思维和创新思维的形成.

各类积分概念正是这样的既有联系又有区别的知识点，相同和不同之处明确，非常适于应用对比教学法讲授.对比教学法可以使跨度达到四章的各类积分知识点，形成统一，是学生轻松的接受和学习这部分知识.

3.3问题教学法的应用

各类积分之间的联系是明确的，积分概念的教学组织结构也是雷同的，都是通过不均匀问题作为引例，利用“分割-近似-求和-取极限”的方法进行分析解决，得到以一个特定结构和的极限，根据函数元数及积分区域的不同，定义一种积分类型.鉴于各类积分概念的教学组织结构如此相似，问题教学法可以在这部分的教学中充分发挥作用.

问题教学法是一种在教师引导下，通过学生充分参与，启发学生主动探究知识，培养学生具有批判的思想，让学生的思维能力、创新能力得以发展的教学方法.问题教学法的实施要求知识具有结构性、逻辑性，递进性、发展性，交互性、融洽性.各类积分概念的知识，充分符合问题教学法应用的条件.这部分知识适合进行系列问题的设计，教学内容可以分成既有区别又有联系的知识点，系列问题由浅入深，易于学生接受，学生在这种设计之下，通过之前的基础知识和准备性知识进行发展思维，得到认知，在轻松的环境下融洽的共同研讨，在老师帮助下澄清模糊认识，纠正错误判断，从而获得正确的知识.

定积分概念的讲解，作为问题教学法的基础和准备性知识，需要以教师为主完成，其它类型积分概念的学习，就可以在复习定积分相关知识后，由教师提出新环境下的引例问题，提示学生问题类型—不均匀问题，提醒学生解决不均匀问题的方法——“分割-近似-求和-取极限”，以问答的形式，推动教学的完成，达到由学生自己发现问题、分析问题、解决问题的效果.学生的主动性得到了调动，自己解决问题的成就感也可以激发学生的学习兴趣.

数学是各门学科和专业的工具，学习数学的意义是为了服务于专业学习的计算，更是希望通过数学的学习培养逻辑思维和创新思维能力，根据各类积分的辩证统一关系，采取问题教学法，随着各种积分类型的学习，对不均匀问题解决办法的印象的加深，到后来的几种积分，很可能达到不需过多讲解，只需简单点题，就可以完成积分概念的学习，尤其第二类曲面积分即对坐标的曲面积分的引例是物理中的流体经过有向曲面的流量问题，物理基础薄弱的同学对这个问题的理解可能会影响到对第二类曲面积分的学习，但是有了前面几种积分概念的学习前提，学生对知识的结构以及学习重点，已经了然于胸，自己就可以判断这个流量问题的出现，只是希望自己会判断其是不均匀问题，可以想到“分割-近似-求和-取极限”的方法，通过物理知识计算得到一个特殊结构和的极限，定义成了第二类曲面积分，就已经完成学习目的了，完全不会因为物理知识的匮乏影响对接下来数学知识学习的兴趣.

教师在这部分知识的讲授采取问题教学法是要注意引导学生自我感悟、师生互动和及时归纳总结，才能更好的发挥问题教学法在此部分教学中的积极作用.

4　教学总结

这里提到的教学总结，不是每节课或每个章节进行的总结，而是在采取这种对比学习的方式后，在各类积分概念都学习完的时候，进行适当的总结，完成各类积分的对比，加深学习印象.

对比总结的同时，可以和学生一起从不同的角度对各种积分进行分类，角度不同，分类结果不同，根据积分范围分类：定积分、二重积分、三重积分的积分范围是平面或空间内的一个闭区域，属于一大类；曲线积分和曲面积分的积分范围是曲线或曲面，属于一大类.根据积分函数元数的不同分类：定积分的积分函数是一元的；属于一大类，二重积分、曲线积分的积分函数是二元的，属于一大类；三重积分、曲面积分的积分函数是三元的，属于一大类.根据积分函数元数的分类，对学生理解和记忆格林公式和高斯公式，也是很有帮助的.这样分类的同时，也加深了学生对各类积分要素的印象即不同积分的函数及积分范围.

5　不定积分与各类积分讲授顺序问题

多数教材都是依据传统的教学顺序，先讲不定积分再讲定积分及其他各类积分，不定积分的实质是一种运算，是导数的逆运算，没有丰富的几何意义或物理背景，形象单薄，各种积分法计算辛苦，易使学生反感，对后期其它积分的学习起到不利的影响.

进入定积分的学习后，有“分割-近似-求和-取极限”的方法，有不均匀的实际问题，又有莱布尼兹公式沟通不定积分和定积分，解决定积分计算问题，环环相扣，妙趣横生，可以调动学生学习的兴趣，主动去探索知识的奥秘.但此时，由于不定积分没有给学生带来学习的乐趣，学生大多对不定积分的计算方法已经印象不深，影响学生进一步学习的积极性.

是否可以研讨改变以上传统的教学顺序，将不定积分的讲授融合在定积分计算讲解的位置呢？加以足够的不定积分来历的说明，在不定积分各种积分法后，马上进行定积分的相应题目，通过颠倒顺序和互相交叉融合讲解的方法，使学生对不定积分的作用有切身的体会，并且对定积分以及日后各类积分计算的学习都有积极的作用.

总之，知识结构的深入挖掘、各种教学手段的合理配合、教学顺序的有机调整和融合，可以使积分概念中蕴含的数学美充分体现，可以极大地激发学生的学习积极性，培养学生的逻辑思维和创新思维能力.

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1673-260X（2016）10-0005-03

2016-06-17