ILU预处理Newton—Krylov方法的潮流计算

廖小兵王文超+李奔

摘要：由于电力系统修正方程组具有高维、稀疏的特点，本文提出将预处理Krylov子空间方法应用于潮流修正方程组的求解，形成预处理NewtonKrylov的潮流计算方法。结合ILU预处理方法，比较了最常用的3类NewtonKrylov方法求解潮流方程的计算效果。通过对 IEEE30、IEEE118、IEEE300 和3个Poland大规模电力系统进行潮流计算，结果表明：3类NewtonKrylov方法是电力系统潮流计算的有效方法，呈现出良好的收敛特性和计算效率。

关键词：潮流计算；修正方程组；ILU预处理；NewtonKrylov方法

中图分类号：TM744 文献标识码：A

1引言

潮流计算是电力系统分析中最古老的经典课题之一。传统的电力系统潮流计算通常以牛顿法为主[1]。牛顿法是求解非线性代数方程组的有效方法之一，它将非线性方程组的求解转化为线性代数方程组的求解，但由于每次迭代后都需更新雅可比矩阵的元素，导致每次都需求解高维的线性代数方程组。传统的直接法，如Gauss消去法，LU分解等，计算量和存储量较大，且固有的前推回代过程难以并行[2-3]。迄今为止，越来越多的国内外研究人员在电力系统潮流计算中采用NewtonKrylov方法求解潮流方程[4-8]。

NewtonKrylov方法是在不精确牛顿法的基础上，结合Krylov子空间迭代法，形成的一类新的求解非线性方程组的数值方法。这类方法结合了Newton方法的良好收敛特性，以及Krylov子空间方法的存储量少、计算量小、易于并行等优点[9]，非常适合并行求解大规模的非线性方程组问题[10]。文献[4]首次将Krylov子空间法中的GMRES方法应用于潮流计算中。文献[5]将此类迭代法与不精确牛顿法相结合（NewtonGMRES），同时采用不同的预处理方法，对两个大规模电力系统进行了对比分析计算。结果表明：结合适当的预处理的NewtonGMRES方法比NewtonLU方法约快2倍。

迄今为止，在潮流计算中应用最广泛的NewtonKrylov方法是NewtonGMRES方法。结合预处理技术的NewtonGMRES方法具有良好的收敛特性和数值稳定性，已成为大规模电力系统潮流计算首选方法之一。目前，关于其它NewtonKrylov方法[11]在潮流计算中的应用还缺乏相关的报道，以及它们在潮流计算中计算效率的比较。因此，本文结合ILU预处理技术，将3种最常用的NewtonKrylov方法应用于潮流计算，并比较了它们的收敛性和计算效率。

3预处理NewtonKrylov方法的潮流计算

Krylov子空间方法是求解大型稀疏线性代数方程组的一类有效方法，其收敛速度依赖于其系数矩阵特征值的分布。通过选取适当的矩阵M使M-1A尽可能接近单位阵，来改善系数矩阵特征值分布的方法称为预处理技术，。通常的做法是令M在某种意义下接近A并且M-1的计算易于实现或选取接近于A-1的M-1并且M-1容易求取。迄今为止，潮流计算常用的预处理方法主要包括直接抽取矩阵的对角线元素作为预条件子、ILU分解（incomplete LU factorization）、不完全 Cholesky 分解、Jacobi 预条件子等。文献[10]对这几种预处理方法，采用不同规模的电力系统进行了潮流计算，结果表明：结果表明：基于ILU分解的预处理方法比其它预处理方法具有更少的迭代次数和浮点运算次数。

NewtonKrylov潮流计算方法的本质是一种双层迭代法。在求解过程中，均含内、外两类迭代过程：一般将牛顿法迭代过程称为外迭代；将稀疏线性代数方程组的迭代求解过程称为内迭代，即Krylov子空间迭代。严格来说，NewtonKrylov潮流计算方法并不是一种新方法。但由于结合了预处理技术，而预处理方法的选择极具灵活性，所以是一种极具潜力的计算方法。

4算例仿真和分析

本文所有仿真分析均基于MATLAB平台，设计实现了3种NewtonKrylov（NG法，NB法，NC法）潮流计算程序，并以此详细比较3种NewtonKrylov方法求解潮流方程的效率。外迭代的收敛容差为1e-6（基准功率100MVA），内迭代的收敛容差为1e-2。图1是基于ILU预处理NewtonKrylov方法潮流计算流程图。图1基于ILU预处理NewtonKrylov

方法潮流计算流程图

所采用的算例模型包括 IEEE标准测试系统 IEEE30、IEEE118和IEEE300，以及3个Poland互联大规模电力系统模型，测试时间取平均值。表1给出了6个算例系统的网络规模和雅可比矩阵的条件数。从表1可以看出随着电力系统规模的扩大，其初次形成的雅可比矩阵J的条件数往往是很大的（cond（J）>1e+3），接近极限运行状态。

表2是基于ILU预处理NewtonKrylov方法进行潮流计算的结果。从表2可以看出，3种NewtonKrylov方法的收敛性都非常强健；在同样收敛精度的情况下，NB法和NC法在收敛速度上比NG法快，大约减少一半的迭代次数；但NB法和NC法包含了两次正交化的过程，计算量大约是NG法的两倍，因此，从整体上来说求解效率并没有明显提高。再结合表3可知，当电力系统规模较小时，NB法和NC法都比NG法节省计算时间；随着电力系统规模的增大（上千节点时），NG法的计算时间较NB法和NC法减少。需要说明一下，对于IEEE30系统而言，ILU预处理的精度太高，将迭代法变成了直接法，相当于ILU预处理和内迭代中两次分解雅克比矩阵，使得IEEE30系统的计算时间比IEEE118系统还要多。

5结论及讨论

3类NewtonKrylov方法是计算电力系统潮流的有效方法，具有良好的收敛特性和计算效率。在同样的收敛精度下，基于ILU预处理的NG法和NC法的内迭代次数较NG法明显减少，但NG法和NC法的计算量大约是NG法的两倍，因此，在计算时间上并没有明显提高。总体上说，3类算法各有优缺点，要根据电力系统的规模，选择合适的算法。

NewtonKrylov潮流计算方法成功的核心在于预处理矩阵的选取，本文采用最常用的ILU预处理方法，其它预处理方法对3类NewtonKrylov的方法计算效率的影响，及如何针对不同规模的电力系统，选取合适的预处理方法，都缺乏相关的结论。预处理方法和NewtonKrylov的方法怎样协调配合计算不同规模的电力系统潮流，都有待进一步研究和验证。

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