用图解法确定胶结拉杆的许可载荷

王 利 蔺海晓河南理工大学土木工程学院 河南焦作 454000



用图解法确定胶结拉杆的许可载荷

王 利 蔺海晓
河南理工大学土木工程学院 河南焦作 454000

摘 要：针对学生在理解通过拉压杆胶结面强度确定杆件许可载荷存在的困惑，提出了一种确定许可载荷的图解法，方法简单易懂，有助于全面认识斜截面的应力变化规律和许可载荷确定，是课后答案的重要补充。

关键词：拉压杆；斜截面；许可载荷；图解法

材料力学课程是高等院校工科类专业的一门专业基础课，只有学好材料力学课程，后续课程的学习才能得心应手[1,2]，该课程具有知识点多、逻辑性强、与工程和生活联系紧密等特点。力学问题的求解方法一般可分为解析法和图解法，解析法具有逻辑性强的特点，但是图解法往往更加直观，更容易理解，采用图解法进行求解往往可以起到事半功倍的效果[3,4]。

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问题的提出

学生在求解《材料力学》(刘鸿文主编，第五版)习题2.14时，普遍感到不甚理解[5]。原题是：图1中拉杆沿斜截面m-m，由两部分胶合而成。胶合面的许用拉应力[σ] =100MPa，许用切应力[τ] =50MPa。设胶合面的强度决定杆件拉力。试问：为使杆件承受最大拉力F，α角应取何值？若杆件横截面面积为400mm2，并规定α≤60°0，试确定许可载荷F。

图1

这是通过胶合面强度确定杆件载荷的问题，不同于一般的强度校核，本题的复杂性：一是胶结面上同时存在两种应力作用，拉应力为：

切应力为：

它们随α变化规律不同(如图2所示)；二是它们都可以使胶结面发生强度失效；三是胶结面许用拉应力[σ]和许用切应力[τ]不同。这道题的常规解法是，当胶结面上的拉应力和切应力同时达到许用应力时，杆端载荷最大，联立(1)(2)二式，解得胶结面角度α=arctan (1/2) =26.561°0。但是，由于两种应力在胶结面上有很多种组合形式，且许用应力又不同，所以，对杆件是否达到最大载荷仍然存在疑惑。本题的疑惑是为什么必须是两种应力同时达到许用应力，杆件承受的荷载才达到最大？虽然我们可以理解为，正应力和且应力的共同作用使杆件维持一个最大强度，但是，从图2(a)可知，两种应力具有不同的变化规律，杆件在达到最大载荷时，胶结面为什么不能只发生正应力拉破坏或是沿截面的切应力破坏中一种？如果简单地认为两种应力同时达到许用应力，杆件即可承受最大载荷，仅仅是一种数学推测，不利于学生对两种强度失效方式的理解，也不利于对斜截面应力状态变化规律的理解。基于上述考虑，我们决定采用图解法对胶结面的应力状态和失效应力组合方式进行全面的分析，以使学生对此问题达到全面的认识。相比的公式解析法的理性分析，图解法更加通俗易懂、全面直观，非常本问题的全面讨论。

为此，本文提出求解最大荷载及其斜面角度的图解法，然后对比分析不同角度斜面上的应力状态，以及达到最大值时杆件的最大载荷。经过对比当α=26.561º，杆件承受拉力最大，与课本理论解一致。最后对胶结面的破坏机理进行了图解分析。

图2

2 图解法解题步骤

2.1 确定杆端许可载荷

将(1)和(2)式视为以F 为变量的函数，每一个α胶结面的应力用两条直线σα与τα表示，它们与[σ] 与[τ]直线交点的较小值就是杆端许可荷载[F]，如图2(a)所示。

2.2 确定胶结面上控制许可载荷的应力

分别确定α=20°0(0°<α<2266.561°0)， α=26.561°，α=40°(26.251°<α<45°)，α=45°以及α=60°0(45°<α<90°)胶结面的许可载荷，如图2所示。其中当α=26.561°时，由拉应力确定的许可载荷与切应力确定的许可载荷相同。

从图中可见，当胶结面0°≤α≤26.561°，如图2(b)所示，许可载荷由拉应力控制，当σα=[σ]时，由(1)式得最大许可载荷为：

当胶结面26.561°≤α<90°(如图2d，e，f所示)，许可载荷由切应力控制，当τα=[τ]时，由(2)式得最大许可载荷为：

2.3 确定最大许可载荷

根据(3)和(4)式，做出许可载荷的变化曲线，如

图3所示。由图3可知，当α≤60°时，最大许可载荷[F]max= 50kN，其对应的胶结面α=26.561°。这是课本给出的答案。但是由图3可知，同样的最大许可载荷，当α=90°−26.561°=63.439°时，也可以产生。且当α>63.439°时，许可载荷将急剧增大，直至α=90，[F]=∞，说明斜面将永远不会产生胶结面破坏问题，此时杆件许用荷载完全由杆件材质强度控制。同时由图3可知，胶结面最不利承载角度是α=0°和α=45°，相应于杆端最小许可载荷[F]min=40kN。

图3

2.4 胶结面破坏机理解释

当0°≤α <26.561°，胶结面在拉应力作用下发生拉伸断裂。

当α=26.561°，胶结面同时发生拉伸和剪切断裂。

当26.251°<α<90°，胶结面发生剪切破坏。

当α=90°，胶结面不破坏。使胶结面发生破坏的应力状态如图4所示。

图4

3 结束语

通过图解法分析，学生对斜截面上的应力变化规律、决定杆件许可载荷的应力、许可载荷变化规律以及胶结面破坏机理有了全面的认识，因此，本文方法可以作为课本习题答案的一个补充说明，有利于提高教学效果。

参考文献

[1] 陈建伟,王兴国,杨梅.材料力学中弯曲内力概念及计算的图例法教学设计[J].河北联合大学学报:社会科学版,2013,13(1):93-95,118.

[2] 饶黄云.一道力学题的图解法[J].江西科学,2005,23(4):430-431.

[3] 张昌莘.矢量图解法在力学中的应用[ J ] .物理通报,1996,(11):11-12.

[4] 沈韶华,李航.二向应力状态图解法的教学设计[C].力学教学与教学改革交流会学术论文集,2006:42-43.

[5] 刘鸿文.材料力学[M].第5版.北京:高等教育出版社,2011.

The Maximum Allowable Load Determination Using Graphical Method

Wang Li, Lin Haixiao
School of Civil Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000, China

Abstract:How to determine the maximum allowable load by the strength conditions on inclined plane? It puzzles the students. In the paper, a graphical method is proposed. It is so simple that could be understand easily, and is an important supplement to the text answers.

Key words:tensile and compression bar; inclined plane; allowable load; graphical method

基金项目：河南省高等教育教学改革研究项目(编号：2009SJGLX132)；河南省高校深部矿井建设重点学科开放实验室项目(编号：2012KF-07)；河南省教育厅科学技术研究重点项目(编号：13A440320)。

作者简介：王利，博士，副教授。

收稿日期：2015-07-27