向量在高中数学解题中的应用与实践

黄佳贝

摘 要：向量為高中数学知识学习过程会涉及到的重要知识点，在几何、代数、不等式、三角函数等多领域均有一定的使用价值。而我们作为一名高中学生，在数学知识的学习过程中，还应掌握更多向量在高中数学解题中的应用技巧，以不断提高自身数学成绩。

关键词：向量；高中数学解题；应用

数学向量是有大小与方向且遵循平行四边形法则的量，为我们有效解决数学问题的主要工具，可提升我们的数学运算能力，让我们更深入体会数形结合思想，理解数学本质，拉近数学与其它学科的联系，便于我们更好的认识数学，感受数学魅力，增强数学学习兴趣[1]。进一步了解向量在我们日常数学知识中的应用与实践，可提高我们数学习题解答过程中的解题正确性，还可提高解题速度[2]。以下针对简要分析向量在立体几何、解不等式、平面几何、解函数问题中的应用，以便于进一步我们更加认识与了解向量这一解题工具。

1 向量在立体几何中的应用与实践

立体几何为高考必考内容，题型较复杂，难度较高，我们在解答关于立体几何的相关问题时也较吃力，因此选择怎样的方式来解题非常重要，可在较短时间找出解题突破口，减少解题所花费的时间，简化解题过程。在学习立体几何时，我们也应学会将向量应用到相关题型中，以求正确解题。如正方体ABCD-A1B1C1D1，E为棱DD1的中点，棱C1D1上是否存在一点F，让B1F∥平面A1BE。并证明你的结论。

那么我们在解题此题时可建构坐标系的线面平行问题的向量解法，针对此类探索性问题，在解题时，我们可先求出平面法法向量，后证明法向量与直线方向向量垂直，并先假设成立，并设出相应点的坐标，通过相关知识，来列出坐标方程式，若方程式有解，表示该点存在，无解则不存在。因此该题利用向量知识解答即为：

以A点作为坐标原点，建构下图1中的坐标系，并假设正方形棱长为1，那么B为（2，0，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2）。∴ =（-2，2，1）， =（-2，0，2），若假设面BEA1的法向量为m=（x，y，z），那么m· =-2x+2y+z=0，，且m· =2x+2z=0，若取x=1，那么Z=-1，而y= ，∴m=（1， ，-1），若在棱C1D1上存在一点F，让B1F∥平面A1BE，若假设F为（x0，2，2）（0≤x0≤2），那么 =（x0-2，2，2），那么m· =1×（x0-2）+ ×2+（-1）×2=0.最终得出结论 =1，∴F为C1D1中点，B1F∥平面A1BE。

2 向量在平面几何中的应用与实践

平面几何也是数学课堂上我们需要重点学习的知识点，而将向量应用于平面几何中，可让原本复杂的题型更加简单化，并得出最终结论值[3]。如我们在解答五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为边AB、CD、BC＼DE中点，而K、H则为MN与PQ中点，证明：KH AE。

此题中因线段偏多，需先明确一些线段为已知向量，而余下的则通过已知向量表示，通过向量共线定理，利用向量运算完成，最终证明方法为：将五边形顶点A看作起点，而剩余顶点为终点的向量为已知向量，余下的视为未知向量，设法将需要的向量通过已知向量表达出来（如图2）。那么即可得出， = = [ （ ）]= （ + + ）。而 = （ + ）= [ （ + ）+ （ + ）]= （ + + ）+ = = + 。因此得出， = - = ，最终也就证明了KH AE。

3 向量在解不等式中的应用与实践

在平时的习题练习中，我们会遇到各种不等式问题，也可通过向量法来解决，比如在解答△ABC时，其3个顶点依次为A（0，-4）、B（4，0）、C（-6，2），点E、F、D均为边AB、AC与BC中点，求直线FD、EF、DE的方程。此题中可通过向量来进一步探析各元素之间的关系，将要分析的问题转变为共线向量与直线向量问题，再求EF与FD所表示的直线方程，那么即可得出，三角形ABC的3个顶点坐标为A（0，-4），B（4，0）、C（-6，2），得出3个中点F、D、E坐标分别为（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），若设M（x，y）为直线DE上的一点，加之 ，那么x+1=-（y-1），因此DE的方程即为y=-x，也就得出其余直线的方程。

4 向量在解函数问题中的应用与实践

在每次的数学试题模拟练习中我们不难看出，函数问题在高考中所占的分数比重也相当高，那么我们在解此类题时，也可借助向量来进行分析。如求解函数f（x）= + 的值域。求解时，令 =（1，1）， =（ ， ），由 ≤ · · ，也就得出 [ ， ]，进而得出 ≤ ，因此

总之，向量在我们数学习题解答中的应用较广，它实现了传统几何定性推理至代数运算定量分析的过渡，可化繁为简，降低运算难度，更利于我们准确的、快速的解答出数学习题，让我们更轻松掌握高中数学知识。因此，在高中数学知识学习过程中，我们每一位为了高考而共同拼搏的伙伴都应学会利用向量这一解题工具解答数学问题，以更好应对立体结合、平面几何、不等式等多种数学高考难题。

参考文献

[1]龚华梅.高中生“空间向量与立体几何”学习中典型错误及归因研究[D].西南大学，2011.

[2]陈晓敏.拓展思维，简洁直观——例谈向量法在高中数学解题中的妙用[J].中学数学，2014（05）：14-16.

[3]杨国栋.关于高中向量的相关知识板块——提高高考解题思维和能力[J].理科考试研究，2013（09）：20-21.