高中数学教学中数形结合思想的应用研究

吴跃

【内容摘要】数形结合思想作为一种重要的数学思想，实际上包含以形助数和以数解形两个方面，其在简化某些数学问题方面具有巨大的优越性，同时也可以将抽象的数学知识变得形象生动，尤其适用于函数与平面解析几何方面数学知识的求解中。本文以数形结合思想为研究对象，就其在高中数学中的应用进行了探究。

【关键词】高中数学 数形结合 应用

数形结合思想实际上就是借助数量与图形二者关系的转化来帮助学生找到解决数学问题的一种数学思想。数学知识本身比较枯燥、乏味，并且对学生逻辑思维要求比较高，所以学生学习起来有一定的困难。而数形结合思想在教学中运用可以使抽象、复杂的数学知识变得生动、形象，有利于降低学生分析和理解有关数学问题的难度，提高学生的解题能力。

一、以数化形，使抽象数据图形化

数量关系是数学语言中一类常见的数学知识，但是学生在理解那些抽象性比较高的数量关系时可能有一定的难度，无法形成深刻地理解和认识，学习效果不理想。理论上来讲，“数”与“形”之间大都具有很强的对应关系，所以针对抽象、复杂的“数”方面的内容，数学教师可以将其对应转化成“形”来帮助学生更好地观察、分析和理解这些“数”的具体内容，提高学生解决有关问题的能力。在高中数学教学的过程中，平面、立体以及解析几何等方面的数学知识大都可以采用数形结合思想来实现从“数”向“形”的转化。

例如，已知方程|x2-1|=k+1，讨论k取值不同时刻的方程个数。

解析：该方程的求解实际上可以分成两个函数：y=|x2-1|和y=k+1，这样一来，方程解实际上就是两个函数图像的交点个数，从而实现有利于降低解题的难度。下面就该道例题的具体解决步骤进行探讨。

解：y=k+1的图像实际上就是平行于x轴的一系列直线，而y=|x2-1|则表示单一的一元二次函数，其二者之间的具体位置关系如下图所示。

由上图可知：当k<-1时，两个函数图形此时没有交点，这说明|x2-1|=k+1此时无解；当k=-1时，两个函数此时有两个交点，这说明|x2-1|=k+1方程有两个解；当-10时，两个函数此时有两个交点，这说明|x2-1|=k+1方程有两个解。

二、以形变数，使图形变化数据化

虽然图形具有直观、形象的特点，但是在定量方面还是缺乏一定的不足，需要借助数据或者代数公式来加以表达。而在遇到那些比较复杂的图形问题时候，学生可以合理将有关的图形进行数据化或公式化处理，以帮助学生定量分析和了解图形的变化特征，针对题目中所给出的各种已知条件，将图形或几何的意义和性质以相应的数学定理或公式来用代数式加以表达，从而更好地得出相关图形计算公式的条件与结论。

例如：已知f（x）=x2-2ax+2，当x在[-1，+∞]间取值时，f（x）>a恒成立，对a的取值范围进行探讨。

解析：有题目可知，当x在[-1，+∞] 间取值时f（x）>a恒成立，所以可知x2-2ax+2-a>0在[-1，+∞]范围中也恒成立，所以g（x）=x2-2ax+2-a此时处于x轴的上方，具体如上图所示。由于此时该不等式恒成立，所以可得出以下两个结论：当△=4a2-4（2-a）<0，可知参数a的取值范围为（-2，1）；当△=4a2-4（2-a）≥0的时候，g（-1）>0，a<-1，此时参数a的取值范围为（-3，1）。

由此可知，针对某些求取具体值的数学问题，图形无法直接的表述出来，而如果可以将图像转化为代数问题，则可以提高学生解题的速率。

三、数形互变，使数与形共同作用

数形互变实际上不单单指以数变形或者以形变数，而是指二者的互相变换来达到解决有关数学问题的目的。通过在数与形之间找到二者交互的共同点来帮助学生从已知数学公式与结论入手，详细分析数学题目中给出的数和形方面的互变条件，从而帮助学生将那些复杂抽象的数学问题形象化、具体化、简单化，进而达到解决问题的目的，尤其是针对那些复杂的综合性应用题，数学教师更需要引导学生灵活运用数与形的关系。

例如，在讲解“三角函数”部分数学知识的时候，数形结合思想的运用在教学中具有重要的意义。针对函数y=Asin（wx+φ）+b的图像变化方面的教学知识，为了可以使学生直观地观察A、w、φ和b等参数变化对于对应图形的实际影响。数学教师可以借助几何画板来帮助学生演示各个参数变化后图形的对应变化，具体主要为：（1）y=sinx；（2）y=sin（x+1）；（3）y=sin（x+1）+4。几何画板具有强大的动态展示功能，教师只需要将A、w、φ和b等参数按照上述内容进行分别赋值即可使学生直观地观察到各个参数变化对于函数图形变化的影响，深化学生对于函数图形的理解和认识，增强学习效果。

总之，数形结合思想作为一种重要的数学思想，其在高中数学教学中的应用可以使抽象复杂的数学知识变得生动、形象，有利于降低学生理解的难度，拓展学生的思维，提升学生的解题能力。因此，在实际高中数学教学中，数学教师要合理引入数形结合思想，以不断提升学生解决数学问题的能力。

（作者单位：甘肃省迭部县高级中学）