有关《一元一次方程》若干分析与解读

邬云德

【摘要】《课标（2011年版）》倡导过程教育，但在以《一元一次方程》为载体的教研活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存在偏差，也没有体现以学为中心思想.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，对这节课的教学进行分析与解读，得到了同仁的认可.

【关键词】过程教育；一元一次方程；教学分析；教学解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）倡导过程教育，以全面发挥数学的育人功能.但在以浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第五章第1节《一元一次方程》为载体的“多人同课异构”式的教研活动中发现，课堂教学普遍与过程教育存在偏差，也没有体现以学为中心思想.网上查阅同类课例发现也有类似现象.鉴于此，笔者在重复式观课与反思基础上，对这节课的教学进行若干分析与解读，分析与解读结果得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

1一元一次方程的产生背景及产生方式

一元一次方程是系统认识方程的继续——从方程到具体的一元一次方程，它是刻画现实世界数量关系的有效模型，它是在学生认识代数式和小学里初步认识方程概念基础上提出来的.一元一次方程的产生方式可用图1表示.

图1一元一次方程产生方式

2《一元一次方程》涉及的数学结果及其地位与作用

根据数学结果的含义，从一元一次方程的概念体系中可以分析出《一元一次方程》涉及的数学结果有：产生一元一次方程的方法；一元一次方程的概念（包括名称、定义、属性、示例）及定义一元一次方程的步骤；用尝试检验法解一元一次方程的方法.其逻辑关系可用图2表示.根据数学结果的地位与作用的含义，可以分析出《一元一次方程》的地位与作用是：方程是数学中的核心概念，而一元一次方程是最简单的特殊方程.根据具体问题中的条件列出方程和用尝试检验法解一元一次方程是后继学习所需要的基本技能.从具体到抽象和特殊到一般的研究方法及定义一元一次方程的步骤对后继学习有指导作用.

图2《一元一次方程》涉及数学结果的逻辑关系

3《一元一次方程》的认知过程、认知条件及认知价值

3.1产生一元一次方程的认知过程、认知条件及认知价值

尽管一元一次方程可以看成是从现实生活中抽象出来的，也可以看成是数学自身逻辑的产物.但从现实生活中抽象出一元一次方程，能体现《课标（2011年版）》提出的“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画实现世界数量关系的有效模型”的教学要求，能反映方程的数学本质——引进适当的表示未知数的字母，建立未知量与已知量之间的相等关系，以及研究这些相等关系的思想方法（解方程（组）的思想方法），也能分解列方程的难点.因此，选择从现实生活中抽象出一元一次方程的方式更合适.这样其思维过程是“审题→分析→列方程”；其必要条件是“能析出问题中的数量关系”；其支持性条件是“具有抽象思想、列式经验”；其认知价值有：列方程的过程有能力发展点，其蕴含的生活常识、抽象思想、模型化思想等对发展学生智力有积极作用.

3.2获得一元一次方程概念的认知过程、认知条件及认知价值

尽管《课标（2011年版）》对一元一次方程的概念没有提出具体的教学要求，但浙教版教材将一元一次方程概念处于归纳层次.根据奥苏贝尔的“概念形成”理论，获得一元一次方程概念的认知过程和认知条件可用图3表示.从图3中可以看出：

（1）获得一元一次方程概念的基本步骤是：①从实际问题中抽象出特定的一元一次方程；②观察特定一元一次方程的个体特征；③归纳特定一元一次方程的共同特征；④抽象一元一次方程的本质特征；⑤用文字语言定义和用符号语言表示一元一次方程.

（2）获得一元一次方程概念的必要条件是具有实际问题转化为一元一次方程的抽象思想和列式经验.

（3）获得一元一次方程概念的支持性条件包括：①观察数或式特征的经验；②归纳思想；③抽象思想；④定义的经验.

（4）获得一元一次方程概念的认知价值有：观察所列方程特征的过程能发展学生多角度观察事物特征的意识与能力，获得一元一次方程概念的思维策略与思维过程及其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示思想等对后继学习其他形式的方程有指导作用.图3获得一元一次方程概念的认知过程和认知条件

3.3用尝试检验法解一元一次方程的认知过程、认知条件及认知价值

对于一些未知数的取值是整数的简单方程，可用尝试检验法来求它的解.课本安排用尝试检验法解一元一次方程的意图是：①插入尝试检验法是因为本节课的内容比较单薄；②插入尝试检验法是巩固求代数式的值和方程解概念的需要；③插入尝试检验法也有为用尝试检验法解二元一次方程作铺垫之意；④插入尝试检验法又能感悟函数思想；⑤插入尝试检验法还能发展学生能力和个性.用尝试检验法解一元一次方程的基本步骤是：先确定未知数的一个较小的取值范围；再确定未知数可取的值；然后逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解.其必要条件是有确定未知数可取的值和求代数式值的经验；其支持性条件是有一般到特殊思想和化归思想等.其认知价值有：能发展一般到特殊的推理能力、运算能力、观察能力等，能感悟其蕴含的化归思想、函数思想等.

4学生的认知基础及可能会遇到的认知障碍

尽管学生有将生活问题转化为数学问题的经历与经验，但根据生活情境列出一元一次方程可能会使部分学生感到困难，感悟一元一次方程是刻画实现世界数量关系的有效模型及方程方法的先进性也有一定的难度；尽管学生有定义研究对象的经历与经验，但估计大多数学生没有多角度观察事物特征的意识，部分学生可能说不出获得一元一次方程概念的思维过程，感悟具体到抽象的思维策略及蕴含的归纳思想、抽象思想等也有一定的难度；尽管学生有求代数式值的经历与经验，但用尝试检验法解一元一次方程的过程比较复杂，可能部分学生会感到困难，特别是确定未知数的取值范围部分学生会遇到困难.

5《一元一次方程》的教学目标、教学重难点、教学结构

5.1《一元一次方程》的教学目标.根据《课标（2011年版）》倡导的学习结果分类理论和上述三维度分析结果，可以确定《一元一次方程》的教学目标是：

（1）经历列算式和方程的过程，能根据具体问题的条件列出方程和算式，能感悟列方程的思维过程，对方程方法的先进性有个性化体验.

（2）参与定义一元一次方程的活动，能多角度观察所列方程的特征，能说出一元一次方程的本质特征和方程解的概念，能知道获得一元一次方程概念的基本步骤，对发现所列方程的特征有个性化表现，对其蕴含的归纳思想、抽象思想、符号表示等有个性化体验.

（3）探索解特定的一元一次方程，能知道尝试检验法的含义及其适用条件，能说出用尝试检验法解特定一元一次方程的基本步骤，对其蕴含的数学思想方法有个性化体验.

（4）参与尝试知识应用的活动，会在具体情境中辨别一元一次方程，会用方程解的概念解决有关问题，能用尝试检验法解特定的一元一次方程，对尝试检验法有个性化感悟.

5.2《一元一次方程》的教学重难点.根据教学重难点的含义和上述三维度分析结果，可以确定《一元一次方程》的教学重难点是：

（1）教学重点：一元一次方程概念及方程解的概念，尝试检验法.

（2）教学难点：用尝试检验法解特定的一元一次方程.

5.3《一元一次方程》的教学结构.根据数学发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律及上述三维度分析结果，《一元一次方程》的教学结构可用图4表示.图4《一元一次方程》教学结构框图

6经历再认列算式和方程过程的教学

（1）教师指出：我们知道，含有未知数的等式叫做方程.我们也有用算术方法和方程方法解决实际问题的经历与经验.在这两种方法中，哪种方法更具有先进性？请大家根据下列问题中的条件分别列出算式和方程.

问题1一件衣服按8折销售的售价为72元，这件衣服的原价是多少元？

①求这件衣服的原价可列出算式：.

②若设这件衣服的原价为x元，则可列出方程：.

问题2物体在水下，水深每增加1033米承受的压力就会增加1个大气压.当“蛟龙”号下潜至3500米时，它承受的压力约为340个大气压.问当它承受压力增加到500个大气压时，它又继续下潜了多少米？

①求它又继续下潜的米数可列出算式：.

②若设它又继续下潜了x米，则可列出方程：.

问题3小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投了20次.小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和张明各投进多少个？

①求张明投进的个数可列出算式：.

②若设张明投进x个，则可列出方程：.

（2）教师在学生独立学习基础上组织学生交互反馈，同时教师进行评价.

（3）教师引导学生反思：列方程要经历哪几个步骤？列方程简单还是列算式简单？

（4）教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

（5）教师指出：正因为用方程解决实际问题是人类的一个伟大创举，就有系统地研究方程的必要.上述所列的这类方程有何特征？怎样求解？有何用处？本章我们就研究这些问题.（揭示课题）

解析目前在这个环节的教学中，有些教师采用从一个背景中演变出多个方程的方式，并且列方程之后的反思过程缺失.这不利于学生感悟一元一次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型和方程方法的先进性.这里以有代表性的实际问题为载体，引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，既有根据条件列算式和方程的过程，以产生定义对象所需要的具体一元一次方程，又有列算式和方程之后的反思，以再认列方程的思维过程和感悟方程方法的先进性.这体现了过程教育和以学为中心思想，也发挥了导入性教学的基本功能——建立内在联系和激发学生的学习兴趣.

7参与定义一元一次方程活动的教学

（1）教师要求学生依次思考下列问题：

①方程“80%x=72”与算式“72÷80%”有何差异？方程“80%x=72”与整式“80%x”有何差异？

②方程“80%x=72，340+110.33x=500，2x+123=14”有何共同特征？（提示：可从字母个数、字母次数、代数式类型、整理后方程的形式等多个视角进行观察）

③这类方程的本质特征是什么？

（2）教师在组织学生交互反馈的基础上，给出一元一次方程及其解的概念.

（3）教师引导学生反思：获得一元一次方程概念经历了哪几个步骤？你认为还需要进一步研究什么？

（4）教师在组织学生合作研讨的基础上进行总结性讲解.

解析目前在这个环节的教学中，普遍存在归纳所列方程特征的认知过程短暂和获得概念之后反思过程缺失的问题.这不利于发展学生的能力与个性及积淀获得数学概念的思维活动经验.这里以产生的具体方程为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方式，既有“观察→归纳→抽象→定义与表示”的过程，以形成一元一次方程的有关概念，发展多角度看问题的意识，又有获得概念之后的反思，以感悟获得一元一次方程概念的思维过程和明确进一步需要研究的问题.这体现了过程教育和以学为中心思想，也遵循了处于归纳层次的概念教学的基本规范.

8探索解特定一元一次方程的教学

（1）教师提出问题：在上面“小强、小杰、张明参加投篮比赛”的问题中，我们列出的方程是“2x+123=14”.怎样解这个方程？

（2）学生尝试用等式的性质解这个方程.（大多数学生能用等式性质解这个方程）

（3）教师提出问题：还能用其他方法来解这个方程吗？如果回答有困难，请大家依次思考下列问题：

①这个问题中的未知数x有何特征？

②x的大致取值范围是什么？

③x在这个取值范围内可取哪些值？

④将x可取的值分别代入代数式2x+123，其对应的代数式的值分别是什么？

⑤根据方程解的概念，哪个x的值是方程2x+123=14的解？

（4）教师在学生独立学习基础上组织学生进行交互反馈与评价.

（5）教师引导学生总结用尝试检验法解一元一次方程的基本步骤.

（限于篇幅，解析过程略）

以上分析与解读对改变当前只教不研的现象和帮助教师认识与实践过程教育有积极的作用，对发展教师的实践性智慧也有积极的影响.