六谈由悖论看概念的可操作性——评陈波《思维魔方》，兼析“EPR悖论”及“图灵停机问题”

黄汝广



六谈由悖论看概念的可操作性
——评陈波《思维魔方》，兼析“EPR悖论”及“图灵停机问题”

黄汝广

针对陈波《思维魔方》的“希尔伯特超级旅馆”部分进行了简短评析，同时指出反证法必须满足的四个基本要求，并通过分析“EPR悖论”及“图灵停机问题”，强调了排除隐性假设对反证法的重要性。

希尔伯特超级旅馆；反证法；隐性假设；EPR悖论；图灵停机问题

陈波先生的《思维魔方——让哲学家和数学家纠结的悖论》是其学术专著《悖论研究》的一个通俗版本，被誉为“国内第一本关于悖论的逻辑科普”［1］。悖论一直是一个很有趣的话题，然而“悖论虽然重要，但它们对于关于基础的辩论的影响被夸大了。”［2］

《思维魔方》对康托尔的实无穷与对角线法赞誉有加，并分析了所谓的希尔伯特超级旅馆。陈先生认为，希尔伯特的解答，对应了一些诸如“ℵ0+n=ℵ0”“ℵ0+ℵ0=ℵ0”的算式，表明“普通算术的很多运算对超穷数失效”，“在常识的眼光看来，无穷确实太怪异了！”比如按常识，“ℵ0+n=ℵ0”两边同时减去ℵ0，结果是“n=0”！

事实上，在康托尔集合论中，“ℵ0+n=ℵ0”与数的运算并无任何关系，它只不过是如下法则的一个方便记忆的“符号式简写”：一个无穷可数集增加有限个元素后，仍然是一个无穷可数集。然而，这个法则本质上却混淆了实无穷与潜无穷。比如：当希尔伯特说超级旅馆住满了旅客时，是实无穷；而当他将已入住旅客依次后挪以空出前面的房间时，又是潜无穷了！

笔者曾论证，由于对角线法存在漏项问题，康托尔关于（0，1）不可数的证明根本无效。实际上，即便不漏项，其证明仍然无效：按照实无穷观，实施“一一对应”操作之后，就不应还有潜在未对应的数，但对角线法偏偏构造出了另外的“新”数，这显然只能求助于潜无穷了；退一步，就算“新”数是实无穷的，但只要可数，根据“ℵ0+ℵ0=ℵ0”，最终结果也必然可数！

在该书的“逻辑预备知识”一节，陈先生对归谬式、反证式推理作了一些介绍，然而不够详尽。笔者认为，从操作主义的观点看，一个有效的归谬法或反证法论证，应符合下列要求：（1）排除一切隐性假设，保证想要否定的假设是唯一的；（2）推理过程有效，并能在有限步骤内完成，或者符合完全归纳法；（3）矛盾和假设必须有逻辑关系，一旦否定假设，矛盾应随之消除；（4）矛盾的导出必须涉及不依赖于假设的事实（或原理、定理等）。只有满足了以上条件，我们才好断言矛盾的根源是在于“唯一假设”与“事实”不相容，并进而根据矛盾律否定“唯一假设”。

关于假设“唯一”的重要性，在著名的“EPR悖论”中体现的最为充分。按照马克斯·雅默《量子力学的哲学》的分析，“EPR悖论”的论证包含了四个前提假设［3］：（1）物理实在性判据；（2）理论完备性条件；（3）量子力学的有效性；（4）相互作用的定域性。那么逻辑上讲可以否定上述任何一个假设，但结果就是爱因斯坦和玻尔两人各说各话。

我们知道，爱因斯坦对量子力学的几率解释很不满意，他不相信上帝在掷骰子。其实在“EPR悖论”之前，爱因斯坦主要是想挑战量子力学的有效性，但都被玻尔一一化解了，不得已，才承认其有效性，转而否定完备性：认为量子力学的几率描述，是由于漏了一个未知的隐变量，而考虑隐变量的完备理论将给出确定性描述。

实际上，“EPR悖论”的关键是爱因斯坦认为量子纠缠态不合理［4］，然而量子纠缠态又是量子力学的必然推论，因此在逻辑上，或许更应该否定其有效性，而不是完备性。不然，所谓的不完备就只是指适用范围不够大，并不是相对于隐变量理论而言的。

要谈论反证法，“图灵停机问题”当然是不可回避的，依据张再跃《数理逻辑》，其论证如下［5］：

“假设停机问题可解，则存在能行过程H，对任意程序Pe与输入X，H能判断Pe对输入X是否停机，设当Pe对输入X停机时有H（Pe，X）=1，当Pe对输入X不停机时有H（Pe，X）=0。利用H定义过程F：对任意自然数n，若H（Pe，n）=1，则F（n）=H（Pe，n）+1；若H（Pe，n）=0，则F（n）= 0。因为过程H是能行的，所以过程F也是能行的，设计算F的程序编号为e0，则F可表示为Pe0，即对任意n均有F（n）=Pe0（n）。接下来考察程序Pe0对输入e0的情况：若停机，则H（Pe0，e0）=1，从而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）；若不停机，则Pe0（e0）无定义，而由H（Pe0，e0）=0，却得F（e0）=0≠Pe0（e0）。上述矛盾表明，停机问题是不可解的。”

首先，既然“若H（Pe，n）=1，则F（n）=H（Pe，n）+1”，为什么不把H（Pe，n）=1代入，从而得出F（n）=1？（这里1和0是表示状态，故只能按布尔代数计算。）实际上，在笔者看来，拿“若H（Pe，n）=1，则F（n）=1”来对应“若H（Pe，n）=0，则F（n）= 0”，是再自然不过的事。

简而言之，上述定义不过就是F（n）=H（Pe，n）而已；但如此一来，“若停机，则H（Pe0，e0）=1，从而F（e0）=Pe0（e0）+1≠Pe0（e0）”这个所谓的矛盾就不存在了！至于“若不停机，则Pe0（e0）无定义，而由H（Pe0，e0）=0，却得F（e0）=0≠Pe0（e0）”这个所谓的矛盾，笔者认为很让人费解：因为按定义，Pe0（n）=F（n），又“因为过程H是能行的，所以过程F也是能行的”，那么程序Pe0当然也是能行的；这也就是说，对于任何输入，程序Pe0总是能够停机。

同时我们还发现，在定义中任意程序Pe的输入X都被换成了自然数n，但对那些输入不是自然数的程序该怎么办呢？另有一种论证思路如下：利用万能图灵机H来构造一个新程序D，它以H的输出为输入，若输入为1则不停机，若输入为0则停机。再用H来判定D，则导致矛盾：如果H判定D可停机，则D的输入为1，结果D不停机；如果H判定D不停机，则D的输入为0，结果D停机。

退一步讲，即使每个程序的输入都是自然数，定义仍然存在问题：假如H（P1，n）=1，H（P2，n）=0，F（n）=？事实上，含两个独立变量的函数不可能简化为只有一个独立变量！要避免这个问题，似乎应该这样定义——对任意自然数n，F（n）=H（Pn，n）；但这就需要Pn与n有某种确定的函数关系，比如Pn=T（n）：也即任给一个自然数n，就可以通过函数T生成一个特定的程序Pn；显然，函数T的存在只能是一个假设，这也就是说，否定H其实并非唯一选择！

很显然，这里所构造的D是一个死循环！而我们要问的是，一个程序要如何界定？或者说，死循环真是程序吗？笔者认为，一个程序的核心应该是其功能，没有任何功能的死循环，是错误而不是程序！

假设死循环是程序，那么万能图灵机H就必须满足如下条件：能够判断死循环不可停机，并且整个判断过程不能触发死循环！但是，以H的输出为输入的死循环D却又必然会被触发。要消除这里所谓的矛盾，除了否定“万能图灵机H”外，否定“死循环是程序”同样可以达到目的；而且，由于“万能图灵机H”只是一个假设，以H的输出为输入的所谓新程序D也就只能是一个假设，因此我们还有第三个选择——以H的输出为输入的死循环不是程序！

这后一种选择，笔者其实是受了罗素的启发，我们知道，为了消除所谓的“罗素悖论”，罗素对“集合”与“类”的概念进行了区分——所有集合都是类，但并非所有类都是集合，不是集合的类为真类；而不属于自身的集合所构成的类，是一个真类。

我们还曾指出，否定式的自我指涉，其实违反了同一律，在逻辑上是一个矛盾式，也即A=非A；但是，这种不涉及任何事实的自我否定式的矛盾，对于反证法并没有任何意义，而所谓新程序D的构造，恰恰是利用了否定式的自我指涉。

事实上，假设存在万能图灵机H，即使一个程序P对输入X不停机，我们也能将其改造为可停机的：先调用H判断P对输入X是否停机，如果判断停机，则对P输入X进行运算，并输出最终结果；如判断不停机，则不对P输入X，而直接输出——“别浪费时间了，洗洗睡吧！”

当然，这并不意味着存在万能图灵机H，实际上，笔者倒是非常认同不存在万能图灵机H的观点，但认为它是不可能被证明的，至少上述两种证明都是不能让人满意的。

总之，对于反证法论证，排除一切隐性假设至关重要，而导致隐性假设的主要根源是概念界定不严格，没有可操作性，结果把一些似是而非的东西引入了进来。悖论产生的根源，其实也在于此，比如“飞矢不动悖论”，芝诺根本没有对“飞”“动”进行任何界定，就大谈起“不动”来。

［1］陈波.思维魔方——让哲学家和数学家纠结的悖论［M］.北京：北京大学出版社，2014.

［2］高尔斯，主编.齐民友，译.普林斯顿数学指南［M］.北京：科学出版社，2014.

［3］马克斯·雅默.秦克诚，译.量子力学的哲学［M］.北京：商务印书馆，2014.

［4］李晓.浅谈EPR悖论与量子纠缠［J］.科技创新与应用，2015（29）：74.

［5］张再跃.数理逻辑［M］.北京：清华大学出版社，2013.

（作者单位：深圳南天电力有限公司）

10.16653/j.cnki.32-1034/f.2016.18.025