n分支DNA多面体链环的亏格探讨

彭晓刚,赵临龙

(安康学院 数学与应用数学研究,陕西 安康　725000)



n分支DNA多面体链环的亏格探讨

彭晓刚,赵临龙

(安康学院 数学与应用数学研究,陕西 安康725000)

摘要利用可视化方法对n分支DNA多面体链环的亏格进行分析,然后结合欧拉公式对这一类DNA多面体链环的亏格给出结论。运用了扭结可视化方法将扭结变成可视的立体图形对其研究,得出一个更为简单的计算亏格的方法。

关键词DNA扭结;亏格;可视化;欧拉公式

多种DNA多面体已经被实验合成,例如DNA四面体、DNA立方体,近几年又合成出结构更为复杂的多面体。多面体链环能够在一定程度上揭示DNA多面体的拓扑性质[1]。在我国,He等[2]小组对DNA多面体链环的构造提出多种设计,其中Lu等[3]提出了对于n分支偶交错的DNA多面体链环的新欧拉公式s+u-c=2。当前,DNA多面体链环的亏格[4]成为讨论的问题之一,研究就n分支偶交错DNA多面体链环用一种可视化的方法探讨其亏格。

1基本概念

1.1n-分支曲线-m-扭曲双线的构筑

n-分支曲线是根据多面体的顶点进行的一种来覆盖多面体的顶点的结构,n的值就是顶点度数的值。用 n-分支曲线覆盖多面体的顶点；用 m-扭曲双线覆盖多面体的边。这样我们就构筑成“n-分支曲线—m-扭曲双线”的DNA多面体链环了[5]。

n=3,m=2的扭曲双线的构筑如图1所示。

1.2Seifert环

1934年,德国数学家Seifert首先提出Seifert环[6]。通过对图像投影图定向,消去投影图中的交叉点,所得到的圆圈,就称为Seifert环。扭结的投影图,如图2所示,一条简单闭曲线有两个方向相反的绕行方向,图中定向是顺时针方向,同样我们也可以定向为逆时针方向。

消去投影图中交叉点的过程如图3所示。在每个交叉点处,不改变每条边原来的方向,把一条边连接到另一条边上。

消去交叉点后形成的两个Seifert环如图4所示,得到Seifert环,这些环对应成为曲面一样的盘子。

1.3Seifert 曲面

给定一个扭结,构造一个以扭结为边界的定向曲面,这样的曲面为Seifert曲面。在原来的交叉点处用旋转180°的带子连接,如图5所示。

盘子和带子互相连接起来,经过这样的变化,最后就形成了如图6所示的Seifert曲面[7]。

2亏格的计算

对于扭结和链环亏格的计算有下面这样一个公式[8]:

g=1-(s+u-c)/2,

其中:g代表扭结或者链环的亏格;s表示Seifert环数;u表示分支数;c表示交叉点数。但是由于扭结和链环的复杂性,这个公式在实际应用中存在难题。为了解决这个问题,我们用可视化的方法来探讨这类多面体链环的亏格。

将多面体链环通过膨胀的方法使其可视化,然后通过结合上面的扭结公式和传统的欧拉公式,进行证明可以得出:对于n分支偶交错DNA多面体链环其亏格数为零。

具体过程如下:

(1)对DNA四面体链环进行Seifert构造,得到DNA四面体链环的Seifert曲面,如图7所示[9]。

(2)我们假想DNA四面体链环形成的Seifert曲面是双层的,然后给它充气,让它膨胀起来,形成闭合的可视化的曲面,如图8所示。

当DNA四面体链环的可视化封闭曲面完全同胚变形成相应的多面体形状后(见图9),将这个多面体任选一个其中的面,将其压缩到一个平面上,根据每一个凸多边形都有可平面可知[8],可以将其完全压缩成一个平面图。六面体和八面体链环的同胚变形如图10所示。

对于可视化之前的DNA多面体链环的Seifert曲面,有

χs=2-2gs-μ,

(1)

其中:χs为Seifert曲面的欧拉示性数;gs为Seifert曲面的亏格;μ为多面体链环的分支数,同时也等于Seifert曲面的边界数。

而经过可视化封闭后得到的曲面的欧拉示性数为

χc=2-2gc,

(2)

其中:χc为可视化后曲面的欧拉示性数;gc为可视化后曲面的亏格。

由于Seifert曲面经过可视化封闭后,点、面和边的数目都增加一倍,而边界处点和边同时消去相同的数量,因此可视化封闭后的曲面欧拉示性数是原来Seifert曲面的2倍[8],即

χc=2χs。

(3)

将式(3)代入式(2),并与式(1)联立,可得

gc=2gs+μ-1,

(4)

而gc是可视化后闭合曲面的亏格数,根据闭曲面亏格的定义,若曲面中最多可画出n条闭合曲线同时不将曲面分开,则称该曲面亏格为n,然后结合上面所构筑的DNA多面体链环的模型。分析这些模型的亏格数。由于这些模型是由可视化闭合曲面同胚变化而来,所以这些最后构筑成的模型的亏格数和可视化闭合曲面的亏格数是一样的。根据闭曲面亏格的定义和这些模型的特点,我们可以得出,每一个模型的亏格数正好是它们所构成的多面体的面数减1,因为在一个平面内,它们可以取任意一个面画出一条闭合曲线,而不将曲面分开[10],所以

gc=F-1。

(5)

又因n分支偶交错DNA多面体链环中F=μ,故将式(5)带入式(4)中,可得gs=0。故此类n分支偶交错DNA多面体链环亏格为零。

由此从可视化的角度,解决了n分支偶交错的DNA多面体链环扭结的亏格问题。

参考文献:

[1]P R Cromwell.Knots and Links[M].Cambridge University Press,2004.

[2]He Y,Ye T,Su M,et al.Hierarchical Self-assembly of DNA into Symmetric Supramolecular Polyhedral[J].Nature,2008,452:198-201.

[3]Lu D,Hu G,Qiu Y Y,et al.Topological Transformation of Dual Polyhedral Links.Match Commun[J].Math.Comput.Chem,2010,63(1):63-67.

[4]Hu G,Zhai X D,Lu D,et al.The Architecture of Platonic Polyhedral Links[J].Math.Chem,2009,46:592-603.

[5]Liu S Y,Cheng X S,Qiu W Y,et al.The Architecture of Polyhedral Links and Their Homfly Polynomials[J].Math Chem,2010,48(2):439-456.

[6]姜伯驹.绳圈的数学[M].长沙:湖南教育出版社,1998.

[7]伏·巴尔佳斯基,伏·叶弗莱莫维契.拓扑学奇趣[M].裘光明,译.北京:北京大学出版社,1987.

[8]Adams C C.The Knot Book[M].An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots,1994.

[9]Wijk Van J J,Cohen A M.Visualization of Seifert Surfaces[J].IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics,2006,12(4):485-496.

[10]江泽涵.多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类[M].北京:科学出版社,2002.

[11]王立丽,张伟东,凌昭昭,等.关于图Wm×Wn的邻点可区别E-全染色的两个界[J].甘肃科学学报,2014,26(6):1-5.

Discussion on Genus of n Branch and DNA Polyhedral Link

Peng Xiaogang,Zhao Linlong

(Mathematics and applied mathematics,Ankang University,Ankang 725000,China)

Key wordsDNA kinks;Genus;Visualization;Euler formula

AbstractAn analysis on genus of n branch and DNA polyhedral link is conducted by visualization method,then by integrating the conclusion given from genus of polyhedral link of this DNA type with euler formula.Thereinto,kinks become visual and solid figures by applying kink visualization method.After a further research,a simpler method for calculating genus is concluded.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.004.

收稿日期:2015-09-16;修回日期:2015-10-28.

基金项目:安康学院科研项目(2014AYPYZR04).

作者简介:彭晓刚(1985-),男,河北邯郸人,硕士,研究方向为拓扑学.E-mail:aktczll@163.com.

中图分类号:O189

文献标志码:A

文章编号:1004-0366(2016)03-0016-04

引用格式:Peng Xiaogang,Zhao Linlong.Discussion on Genus of n Branch and DNA Polyhedral Link[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):16-19.[彭晓刚,赵临龙.n分支DNA多面体链环的亏格探讨[J].甘肃科学学报,2016,28(3):16-19.]