完美数的难解之谜

蔡天新

完美数是指真因子之和等于它本身的正整数.容易看出，最小的两个完美数是6和28.关于完美数，有以下难解之谜——

1.究竟有多少个完美数？

2500多年以来，经过历代数学家和数学爱好者的共同努力，到目前为止，一共找到了48个完美数，我们知道，完美数与所谓的梅森素数（形如2^p-l的素数，其中p为素数）相伴而生.第48个梅森素数是2^57885161-1，它和相应的完美数各有17425170位和34850340位，这是迄今人们所知的最大的素数和最大的完美数.

可是，依然无人知道，完美数的数目究竟是有限个，还是无穷多个.

2.有没有奇完美数？

到目前为止，人们发现的48个完美数均为偶数.会不会有奇完美数存在呢？即便借助强劲有力的计算机，现在也无人能够予以回答，人们只是知道，即使有奇完美数，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列的苛刻的条件.

早在18世纪，瑞士大数学家欧拉便证明了，若奇完美数存在，则它必具备形式

N=p^ek². ①

其中，p是不整除k的素数，且p和e模4余1（即指p和e的差被4除后余1）.由此不难推得，N也模4余1（即指被4除后余1）.

2007年，丹麦数学家Nielsen证明了，奇完美数至少要有9个不同的素因子和101个素因子；若它不包含3，则至少要有12个不同的素因子.

2012年，法国数学家Ochem和俄罗斯数学家Rao证明了：如果奇完美数存在，那它必须大于10的1500次方.

可是，这些结论离这个问题的解决仍很遥远！

2000年，意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖的获得者皮·奥迪弗雷迪出版了《20世纪的数学》一书，阐述了上个世纪曾取得重大突破的30个数学问题，并在最后提出了未解决的4个难题，其中首当其冲的便是“完美数问题”.另外3个难题是黎曼猜想、庞加莱猜想和P=NP问题.

由于完美数问题难以攻克，人们很早就想到去研究它的推广，k阶完美数便是其中之一.

偶完美数与梅森素数有一一对应的关系，因此寻找梅森素数也成了计算机领域里的一个引人瞩目的问题.找到大的梅森素数或完美数，是计算机最好的广告.不过，这两种数的无穷性堪称一个不朽的谜语.

许多伟大的数论学家都曾试图找到完美数的推广，他们通常考虑添加一个正整数的系数，即：n的真因子之和=kn，此处k是正整数.满足上述条件的n称为k阶完美数.当k=l时，即为普通意义的完美数，这些数学家包括斐波那契、梅森、笛卡儿和费马，以及拉赫曼、卡米歇尔，他们有的没找到，有的找到了若干个解，但都是些零散的结果，难以归结为类似梅森素数那样的“无穷性”.

第一个找到k阶完美数（k>l）的是英国数学家雷科德，他发现120是2阶完美数.那是在1557年，也即他发明等号“=”的同一年（是否同时不得而知）.后来，梅森也找到了这个数.

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=2×120.

接着要轮到费马了，他发现672也是个2阶完美数.那是在1637年，即他提出费马大定理的同一年.Andre Jumeau找到了第三个2阶完美数523776.1643年，费马又找到了一个11位的2阶完美数，即

51001180160.

在此之前，梅森和笛卡儿于1638年曾分别找到一个9位数（459818240）和10位数（1476304896）的2阶完美数.

这三位法国人还都找到过其他的k阶完美数，比如笛卡儿吧，这位“哲学家”找到了6个3阶完美数，即30240，32760，23569920，142990848 ，66433720320，403031236608和一个4阶完美数14182439040.1911年，卡米歇尔找到了第七个3阶完美数.

虽然数学家们锲而不舍地寻找k阶完美数，但也没有找到一般性的规律.这可能是因为，被真因子之和整除的自然数少之又少！