珍爱课本里的“小苹果”

王修汤

“你是我的小呀小苹果，怎么爱你都不嫌多……”

课本里有好多与圆有关的问题，这些问题就像一个个红红的小苹果，挂在课本这棵知识大树上，它们散发着浓郁的香味，让我们为之着迷，为之倾倒.如果我们不能发现它，那么就丧失了获取营养的宝贵机会，下面让我们以一道课本例题为引，来看看同学们都是怎么思考的.

一、课本例题

课本例题 如图1，在半圆形的钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形的面积最大？

面对这个问题，同学们会有些什么想法呢？毫无疑问，半圆的半径应该是定值R，怎么表示矩形ABCD的面积S呢？甲、乙两位同学给出了以下两种解法.

那么为什么这个问题设角θ为自变量比较简单呢？仔细研究可以发现，是因为点C在半圆上运动，引起了其他几个点的运动，从而矩形的形状也同时发生了改变.那么点C又是如何运动的呢？难道是无规则的布朗运动（化学中分子的无规则运动）？不是！它绕着圆心0作圆周运动，这样一来，我们自然而然就想到设圆心角∠BOC=θ为自变量了.

二、课本习题

像例题那样，点在圆周（或圆弧）上运动的问题，我们一般都是选择一个角作为自变量，再看课本中的两道习题.

习题1 在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？

这个问题就是：矩形ABCD内接于半径为r的圆，当矩形为何形状时，矩形的面积最大.

方法2 如图3，连结AC.在（直径AC所分的）每一个半圆中，直角三角形斜边长2r一定，斜边AC上的高最大时，每一个直角三角形面积最大，矩形面积最大.在Rt△ABC中，过B作AC的垂线，垂足为H，当H与圆心0重合时，BH最大，Rt△ABC面积最大，此时矩形为正方形，其面积也最大.

方法3 如图4，设AB=x，则AD=

比较一下三种解法，你就不难发现设角为自变量的优势.

习题2 （此题也是人教版例题） 如图5，在半径为R、圆心角为60。的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形MNPQ，使点Q在OB上，点M，N在OA上，求这个矩形面积的最大值及相应的∠AOP的值.

你一定觉得习题1好做，甚至有三种方法，而习题2就不知怎么下手，甚至不会做.

通过习题1的解决总结出的解决问题的方法你注意到了吗？你关注的是如何更快地获得结果，而解决问题过程中所反映出来的方法在不经意间却流失掉了.

其实解决习题2与解决习题1的过程是一样的！这就是：

第1步：找出影响函数值变动的因素，选择自变量；

第2步：用含自变量的代数式表示函数式中要用的其他量；

第3步：建立目标函数，明确定义域；

第4步：求出最值，并指出相应的自变量的值；

第5步：答（回答实际问题的解决办法等）.

三、小试牛刀

像这样的“小苹果”也经常出现在各种试卷上，同学们，想到设角为自变量了吗？让我们“小试牛刀”！

试题1 （南京市2011届高三一模）如图1，在半径为30cm的半圆形（0为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A，B在直径上，点C，D在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；（2）略，