千变万化终归一
2016-03-16长庚
新高考·高一数学 2016年2期
长庚
面对函数y=sinx,你也许能够如数家珍:
这些知识很重要,是学习正弦函数的最基本要求.这些结论貌似简单,但却是我们解决一大类有关正弦函数问题的基础:很多很多问题都可以转化为y=sinx的问题,利用上述结论来解决.这是解决问题的“一”,举一反三,千变万化终归一.
解析 我们并没有学习到关于函数y=Asin(ωx+φ)的对称中心的公式或结论,转化仍然是解决问题的策略.当我们利用整体的观点,即把ωx+φ视为一个整体,令X=ωx+φ,这不,又转化到那个“一”上来了.
我们知道正弦函数y=sinx的对称中
解析 还是同前面一样,仍然是把ωx看成一个整体,令X=ωx,则问题转化为考察y=3sinX的单调性了.我们容易知道,当请注意,还是转化到那个“一”!
分析二解法的优势在于,通过“关键点”(图象的最高、低点,图象与坐标轴的交点等)与“标准图象”的对应,列出关系式,一步到位地解决问题.如果解出的φ的值不合范围要求,需要确定合乎要求的值,这当然是非常容易的事了.
把函数图象与y=sinx的图象联系对比,也是在转化为那个“一”啊!
以上的讨论表明,解决函数y=Asin(ωx+φ)的有关问题,一般都可以化归为最简单的函数y=sinx的问题来解决.因而理解掌握y=sinx的性质是最基本的要求,也是解决其他问题的基础.在此基础上,要善于转化,即把关于y=Asin(ωx+φ)的问题转化为研究y=sinx的问题,这就是重要的化归思想.
同样地,形如y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的问题,也是转化到它的最基本的情形上来,往哪个方向转化,怎么转化,相信你已经明白了.
这就是“千变万化终归一”.