无处不在的“转化与化归”

龙艳文

数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程，这就是充满无穷魅力的转化与化归思想.著名数学教育家波利亚曾说过，“不断变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它、变换它，直到最后成功地找到一些有用的东西为止”，那么如何认识转化与化归的思想呢？我们通过对下面几个场景的分析与点评，也许能带给大家一些启示.

【场景一】

一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员.

消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”

消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.

消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”

数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙头，把火浇灭.”

消防队长说：“完全正确！最后一个问题，假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”

数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”

消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”

数学家回答：“这样我就把问题转化为一个我已经解决过的问题了.”

【点评】上述笑话反映了为研究和解决有关数学问题时通过变换使问题转化的思想，即有现成的方法就用现成的方法来解，没有现成的方法就转化为一个以前解过的方法来解.转化的基本策略是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

【场景二】

曹冲称象的故事，其问题解决主要分为两步：

第一步：把大象的质量（很难解决）转化为在石头的质量（容易解决）；

第二步：通过解决石头的质量来解决大象的质量，如图1所示.

曹冲称象的解决过程正是体现了数学中转化的思想和化整为零的方法，如要解决一块不规则的橡皮泥的体积，可将它制成长方体来求，等等，都体现了转化的思想.数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等，各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中，数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想又是一种数学能力.

【场景三】

生：我们数学学习的过程中，有哪些地方用到了转化与化归思想？

师：其实我们对数学知识的学习从小学一年级就开始渗透转化与化归的思想，如小学先学加法运算，然后将减的运算转化为加的运算，同样除的运算转化为乘的运算.高中数学中函数、方程、不等式的转化、数与形的转化、三角函数中公式间的转化、角与角之间的转化等等.

【点评】数学是客观世界的空间形式和数量关系的反映，数学知识体系中充满了转化，数学中的转化比比皆是.通过符号法则，有理数四则运算可转化为算术运算；解方程就是应用消元、降次方法的一种转化；平面图形经过延拓、折叠构成空间形体，而空间问题通常需要转化成平面问题来加以研究解决；高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现.

【场景四】

分析：α是未知角，而α，α+β为已知角，按照转化和化归的基本原则，将未知问题转化为已知问题，即利用sinβ=sin[（α+β）a]将求sinβ的问题转化为求α，α+β的三角函数值.

【点评】三角变换问题的解决中，我们需要观察角、函数名之间的差异，运用相关公式，找出差异之间的内在联系，选择恰当的公式，促使差异的转化.如从函数名称的角度采取切化弦（有时也可考虑“弦化切”），异名化同名（使函数的名称尽量统一）的策略；从角的角度抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）而采取异角化同角的策略.

【转化与化归的基本原则】（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

综上所述，转化与化归的思想方法并非数学独有，当你面对问题，思维受阻时，想要寻求简单方法，如利用某种转化使问题得到解决，这种转化是有效的，同时也是成功的思维方式.