教育形态的数学知识系统的构成、特点及存在状态

付夕联，张玉峰，冯滨鲁，谭成波，张耀明

（1.山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049；2.中国矿业大学 理学院，江苏 徐州 221116；3.潍坊学院 数学与信息科学学院，山东 潍坊 261061）

教育形态的数学知识系统的构成、特点及存在状态

付夕联1，张玉峰2，冯滨鲁3，谭成波1，张耀明1

（1.山东理工大学 理学院，山东 淄博 255049；2.中国矿业大学 理学院，江苏 徐州 221116；3.潍坊学院 数学与信息科学学院，山东 潍坊 261061）

数学知识是数学教师知识内容的基本要素，如何把数学知识转化为教育形态的数学知识是教师组织教学的一个主要环节，也是课堂教学过程的关键；从数学的本体论和认识论、数学史以及数学方法论三个角度分析了课堂数学知识的必要构成要素；科学合理的课堂数学知识的选择与设置是数学知识教育形态化的基础与前提；作为教育形态的数学知识系统应具有整体性、过程性、层次性；在课堂教学过程中，教师应对教育形态的数学知识进行精心设计，使其体现出描述状态、开放状态和对话状态.

数学知识；教育形态；数学史；数学思想方法；数学哲学；数学文化

一、问题的提出

现行的数学教材的知识体系往往呈现出演绎型的知识结构，体现出从一般到特殊、从一个整体的质到另一个整体的质的特点。这也就是说，一旦有关定义或原理得到建立，其它的内容就完全建立在严格的逻辑推理之上，形成一种由逻辑链条连接起来的由定义、原理到性质、推论的机械程序。这就如同美国数学家戴维斯与赫什所指出的：“现在相当多的数学教科书具有一种神经质的、令人窒息的特征，书中系统地和顽强地追寻着一个固定的目的。这个目的一旦达到，人们不是感到兴奋而是感到虎头蛇尾。这种书没有什么地方讲这个目的为什么重要或如何重要，而是可能谈到这个目的现在可成为达到别的更深入目的的出发点，……。如果你想责备，就责备欧几里得吧，因为这种倾向在他那里就已经存在了。”[1]在传统教学过程中，正是受到这种教材的影响，教师自觉与不自觉地会形成一种灌输式的教育态度和倾向，即把学生看成是一种可以开发和榨取的土地，大量地灌输知识，其结果，学生只能呆读死记而不善于思考，其自身的心理生态结构遭到严重破坏，最终失去了创造力。学生只了解到数学的严谨性，却不能充分发挥其想象力；只学会了演绎推理，却不能进行归纳试验；只看到了数学理论的结果，却不能洞察理论产生的过程。最终使学生对数学形成了这样一种片面的理解，即在他（她）的全部数学学习过程中，严格性将成为数学的一切。

在数学教学过程中，数学知识应以怎样一种形态呈现给学生就成为数学教育改革的一项重要内容。关于这一点，张奠宙先生在文[2]中指出数学具有3种形态,即原始形态、学术形态和教育形态，教育数学应该是具有教育形态的数学，即通过教师的努力，启发学生高效率地进行火热的思考，把人类数千年的数学知识体系，使学生容易地接受。在文[3]中，张先生对于教育形态的数学又做了进一步的阐述，明确指出在数学教学过程中应反对“去数学化”的倾向，以本原问题驱动展现数学本质。体现数学本质应做到返璞归真，平易近人，言之有理，感悟真情。利用数学史加深学生对数学本质的理解。文[2]和文[3]对数学教学改革的理论研究和实践无疑有着重要的指导意义。此后又出现了一系列的相关文章[4]-[12],尽管这一系列的文章提出的问题、阐述的内容以及研究的方法有所不同，但却有着共同的特点。主要体现在以下几个方面：（1）在教学过程中起主导作用的教师是从学术形态的数学转化为教育形态的数学的行为主体；（2）脱离了数学教学过程这一动态系统，静态分析了数学教师的知识结构；（3）尽管对数学教师的知识构成成分的提法或名称存在差异，但数学教师的知识无外乎是由数学知识、一般的教育教法知识、心理学知识、实践性知识及其他知识构成的；（4）数学教师知识的构成成分对数学教学产生不同程度的影响。事实上由于教师知识的构成成分的作用不同，对数学教学过程产生不同程度的影响应该是显而易见的问题；（5）对数学教师知识结构的优化提出相应的建议；（6）部分文章指出了教学内容知识对数学教师专业发展的意义。

上述研究主要采用了矛盾分析法，立足于新陈代谢的历史联系；强调统一中的对立和差异，着重于数学教师教学内容知识的逐层分解，由此确定出教学内容知识的构成，对数学教师专业的发展无疑指明了方向。但文章中并没有对数学教学内容知识的基本构成成分—数学知识做出具体的剖析，也没涉及到在课堂教学中数学知识具有怎样的特点、呈现怎样的状态这一关键性问题。下文在对数学知识的构成成分进行具体分析的基础上，给出教育形态的数学知识系统的特点和存在状态。

二、课堂数学知识构成成分的不同视角

1.从数学的本体论和认识论的角度看

数学教学实质上就是在一定观念指导之下的数学活动，这里的观念包括数学教师的数学观、数学学习观、数学教学观,正确的教学观与学习观是建立在正确的数学观基础之上的。在数学教育中,许多问题都涉及到了数学的本体论与认识论,诸如数学知识是动态的，还是静态的；是封闭的，还是开放的；其真理性是绝对的，还是相对的；学生在做数学时，在做什么？是唯灵论的，经验主义的，还是心理学的；是形式主义的、直觉主义的，还是逻辑主义的等等,这就必然引出学生在学习数学时是一种主动的建构过程，还是被动的接受过程等一系列问题。 “没有关于音律、谐和和结构的经验，或者没有形式、颜色和构图的经验，谁也不能对音乐或绘画进行欣赏。而为了欣赏数学，真正地接触其本体就更加重要。”自觉地继承、渗透正确的数学观，不仅可以使学习者从不自觉的、无意识的状态过渡到自觉的状态，而且还可以使学习者突破旧的思想观念的束缚，引起认识上的飞跃，甚至导致重大的发现与创新。因此“数学观不只是‘学习’与‘数学表现’的中介因素，它本身亦可视作一种学习成果。”[13]

2。从历史的角度看

研究数学，既不能忽视逻辑主义的“理性地重建”的主张，也不能忽视历史主义的“历史地再现”的主张。数学知识是人类智慧的结晶，是长期积累而成的。英国数学家格莱舍（J。W.L.Glaisher, 1848—1928）有一段经典名言：“任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”[14]影响数学发展的要素是多方面的，基于数学史对数学教育的作用，研究者认为，从数学史的角度看，课堂数学知识应涉及到以下内容：

（1）历史背景

包括理论产生的社会背景、科学技术发展状况以及当时的数学观、哲学观念等，这对学生正确认识数学与社会生活各方面的关系、激发学生学习的动力、培养学生正确的数学观有着重要意义。

（2）历史意义及科学价值

纵观历史，每个数学真理的获取都闪耀着人类思想的光辉，具有重要的历史意义和科学价值。例如，解析几何的诞生、微积分的创立以及非欧几何的出现等都引发了人们在观念上的突破，使数学研究方法实现了革命性的变革。阐述数学理论或某一理论中概念的历史意义或科学价值，有助于学生理解该理论或概念在数学学科中的地位及其在其他领域中的应用。

（3）演变及认知历程

在概念的发展、完善的历史演变过程中，数学概念的含义往往经过多次变化，这种变化在数学教育中也有所反映。“这在一定意义上正是历史上思想困惑的逻辑‘重演’。因此考察数学概念的历史演变过程，总结前人在理解这些数学概念演变时的经验教训，无疑对今天的数学教育有着重要的启发意义。”[15]概念的历史演变过程揭示了人类在数学思想方面的智力探险，由此厘清出数学家的思维模式和认知历程，使学生认识到数学知识是逻辑与非逻辑、理性与非理性交互作用的结果，同时某些概念、某些理论演变过程的复杂性、曲折性也体现出了人类心智的局限性。因此，揭示知识的历史演变过程，还能体现人性化特点。

（4）数学家的生平及成长经历

现行数学教材这种演绎型的数学形态的知识结构中，数学家的风格被完美化了，所以就隐去了他们成功路上的奋斗与努力、曲折与艰辛这些人性化的方面。榜样的力量是无穷的，在漫长的历史发展中，出现了许多有关数学家可歌可泣、可叹可赞的事迹。数学家在艰苦环境中那种顽强拼搏、刻苦钻研的精神以及不畏权威、敢于向传统思想观念进行挑战的勇气，激励着一代又一代的年轻人。在教学过程中，适时地介绍数学家所走过的路和他们对数学的贡献，不仅丰富了课堂教学内容，而且活跃了课堂教学气氛，对学生学习数学的积极性有着巨大的促进作用。

（5）数学家的科学素养及品质

数学家的科学素养及品质主要包括：理性化的哲学素养，深厚的文学底蕴；谦逊和严谨的治学态度；追求严格化、统一化和一般化的数学信念；怀疑、批判的创新精神、合理继承前人成果的包容精神以及与他人合作的团队精神；对数学简洁美、和谐美、对称美、统一美以及奇异美的审美追求；发现并扶持青年数学家成长的高贵品质。

3.从数学方法论的角度看

数学方法论在我国的深入研究对数学教育及其改革产生了极其深远的意义。特别对教学内容的选择与组织产生了重大影响。在教学过程中,数学思想方法与实际的数学活动是密切相关的,这里数学活动主要体现在两个方面,即问题解决和基本理论的生成与应用。数学思想方法寓于问题解决和基本理论的形成过程之中,脱离问题和基本理论学习思想方法是空洞的、抽象的；反之，没有思想方法的指导，问题解决和基本理论的形成与应用的过程就失去了方向，是僵死的、孤立的、封闭的过程，缺少应有的活力。因此,问题、基本理论和数学思想方法便构成了课堂教学内容的基本要素。

（1）问题

在现代数学教育中，问题解决能力的培养已被认为是数学教育的一个基本目标。问题的提出可以为学生的数学学习提供重要的动力，而通过问题的解决则使他们感到数学学习又是一种有意义的活动。在课堂教学过程中，如何很好地协调教学对象、教学过程与教学目标之间的关系，问题则成为主要的媒介。“教学目标需要问题来展现、教学过程需要问题来活化、教学对象需要问题来触动。离开问题，数学教学设计仅定位于单纯的静态系统、易使目标设计缺乏操作性、过程设计缺乏互动性、评价与监控设计缺乏指导性。”[16]正是由于问题及其解决在数学教育中的重要地位，作为教育形态的数学知识系统，问题就成为不可缺少的一部分关键内容。根据传统教学存在的不足，课堂教学过程中的数学问题应特别注重以下几类：

衔接性问题 “数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各个部分之间的联系。尽管数学知识千差万别，我们仍然清楚地意识到：在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念的亲缘关系。”[17]数学概念的成长是连续的，新的数学概念扎根于旧的概念之中。但是，数学的学习过程却不是一个连续而是间断的过程。有意义学习的实质就是新旧知识建立联系，这种联系的过程也就是新旧知识相互作用的过程。这正是由于学生的学习具有适应性的特征所决定的。作为数学知识的联系不仅要注重诸如概念的包含关系、生成关系、对应关系、对偶关系等等，更要强调知识之间在思想方法上的联系，如一般化、特殊化的关系，研究对象的联系，研究方法的联系。正是借助于思想方法上的联系，去设置相应的衔接性问题，这类问题对于前后知识的过渡起到承上启下的作用。

巩固性问题 即有助于知识系统内的概念、原理、公式的理解、巩固、深化的问题。这类问题的选择应具有这样的特点：第一，具有一定的激励性，即问题应适应学生当前的知识水平且具有一定的难度，又能激发学生探求证解问题的兴趣；第二，具有一定的普遍性，即问题反映出某类问题的共性，解决这样的问题不仅有助于巩固、深化学生学过的知识，而且还可以获得有关思想方法的启示；第三，具有一定程度的综合性，即寓不同的相关概念、定理或公式于同一问题之中，既可以培养学生综合运用知识解决问题的能力，又可以达到知识系统化的目的；第四，具有一定的开放性，首先，面对这样的问题，学生可以从不同角度运用不同的知识、不同的方法去完成问题的解答，由此拓展学生的知识面和思维空间。其次，借助于特殊化或一般化方法可以对已有问题进行不同角度的推广，从而得到更有价值的问题，有助于培养学生的创造性能力。

应用性问题 “数学教学之根本目的应当是培养和提高学生处理实际问题的能力，为他们提供应用于其他学科的推理方法，而并不是单纯地为了给学生提供某种求解具体问题的工具。”[18]数学与我们的现实生活的联系愈来愈密切，体现出其广泛的应用价值,因此培养学生的数学应用意识就具有重要的现实意义。而实际问题的解决则是培养学生数学应用意识的有效途径。作为实际问题的设置应满足：（1）问题与学生的实际生活密切相关，这类问题很容易引起学生的兴趣，激发学生探求问题解答方法的强烈欲望；（2）问题中应包含着丰富的数学信息，使学生认识到数学无处不在，真正地认识到数学的应用价值；（3）问题的解决过程中应体现出重要的数学模型思想，由此可以提高学生解决问题的综合能力。

（2）基本理论

基本理论包括基本概念、基本原理和推论。基本概念是数学理论体系逻辑建构的起点，是数学理论体系中的细胞—包含着整体的一切矛盾的“胚芽”，确定了基本概念，整个理论知识的内容由“潜”到“显”逻辑地展现出来。基本原理主要包括运算规律、基本定理和重要公式，对整个理论体系具有统治和支配作用。基本概念和基本原理的抽象过程遵循着从特殊到一般的认识过程，是相应理论体系中的初级抽象，舍弃了许多特殊的规定性，因此，它们并非是相应数学理论体系中的最终抽象，还存在多种反映不同属性的推广，即推论。推论的选择应满足以下几点：首先，应是基本概念、基本原理的必要补充与延伸，从而对理解、巩固和深化基本概念和基本原理具有积极的意义；其次，应是前后知识联系的桥梁，有助于完善或协调理论体系中的知识；第三，具有较强的应用性；第四，在推论的证明过程中，使学习者获得重要的方法论启迪。

（3）数学思想方法

“数学作为人类思想的表达，反映了积极的愿望，沉思的推理，以及对于美的完善的向往。它的基本要素是逻辑和直觉，分析和构造，一般性与个性。尽管不同的传统强调不同的方面，然而正是这些矛盾之间的相互作用以及使之综合的斗争注入了数学科学教育的生命和极大的效果。”[19]如果说数学知识是思维的结果,那么数学思想方法则是在相关背景问题的基础上形成这一结果的观念和具体的程序化的操作方法。数学方法主要包括学科内的具体方法、一般的数学方法和哲学层面方法。思想则是在知识的形成过程中，对知识、思维以及数学方法的掌握和认知过程中的高度抽象和概括，是对数学学科或整个理论体系的宏观把握和内在精神实质的领悟。“数学思想方法产生于数学活动特别是数学问题解决的实践，成熟于对数学活动实践过程的反思和总结，巩固于蕴含同一数学思想方法的问题解决训练中，发展于相互联系的过程。”[20]数学思想方法的教学是数学教育的最基本的需求。

上述课堂数学知识的构成中既包含了体现数学真、善、美这些客观内容的数学概念、原理、推论和思想方法，又涉及到了数学观、数学家的科学素养、人格品质、认知历程、审美追求、思维模式、价值判断等动态的、更深层创造性因素。数学课堂教学内容的选择与人类整个知识体系的演变是密不可分的，课堂数学知识与数学史、数学哲学应融为一体的。数学史不仅能告诉人们数学思想的逻辑和历史行程，而且还有助于理解数学学科的社会角色和人文主义。“缺少哲学的指导，数学史变成了盲目的历史；不理睬数学史上最引人入胜的现象，数理哲学变成了空洞的哲学”[21]。以数学史提供丰富生动的素材为基础，数学哲学架起连接数学与人文的桥梁就成为可能。从数学文化学的角度分析，数学观、数学思想方法以及数学家的科学素养、人格品质等各要素交互作用，为理论知识的形成创造了一个良好的文化环境,在这样的文化环境中进行教学具有重要意义。因此，科学合理的课堂数学知识的选择与设置是数学知识教育形态化的基础与前提。事实上，数学教师是否具有数学哲学、数学方法论、数学史、数学文化等知识储备已成为高效数学教学行为的内因之一。[22]

作为课堂数学知识就其构成要素而言具有客观性，这是由数学学科的性质决定的；而对其构成要素的选择而言则又具有主观性，这是由学生的知识背景和接受能力所决定的。按照系统的原则和方法，对于基本理论的学习，既要厘清这些内容的建立和发展的来龙去脉，又要把握其内在的结构和外部的联系，从它们与上述其他各要素的所有真实关系的总和中去认识和理解。因此，如何把上述要素构成的课堂数学知识优化组织成具有一定结构和功能的教育形态化的知识系统就成为关键。教育形态的数学知识无论从特点、状态都不同于课本中的数学知识。

三、教育形态的数学知识系统的特点

教学过程是一个由多个相互联系、相互依存的子系统构成的复杂系统，按照生态学的观点，生命的繁衍生长是靠不同物种之间的共生和互生来支撑的。生态学强调多样性的统一，生态系统中生物与环境之间、生物各个种群之间，通过能量流动、物质循环和信息传递，相互间达到高度适应、协调和统一的状态。因此，课堂数学知识应该与教学过程中其他诸如实践、认知、意识、情感、心理等各系统密切地结合起来。使教育形态的数学知识系统具有如下的特点。

1.整体性

我们之所以强调数学知识系统的整体性，因为数学知识反映的客观对象具有系统的整体性,这种整体性又体现出两个方面，即知识的综合性和统一性.

（1）综合性

这里所说的综合性不是上述各要素的简单叠加，而是根据各要素应有的内在联系使它们有机地结合在一起，融合成一个具有一定结构的、发挥（整体）最佳教育功能的知识系统。因此，整合数学知识的过程实际上就是综合的过程，具体的应以问题提出为起点，理论知识为载体，以理论知识的引入、抽象、概括、推导过程为嵌入点，使上述各要素与理论知识有机地结合在一起，形成以抽象过程、推导过程为主要联系桥梁的网状知识体系。数学知识的这种综合性决定了学生可以运用综合的认识方法从整体上把握认识对象，即不是着眼于知识的一个方面或某一部分，而是注重知识与知识之间的内在联系，注重数学知识系统的整体结构。从生态角度看，数学知识的这种重组、综合弹性化的设计是恢复课程内容之间的生态关系、在教材内构建完整知识生态系统的重要途径，也是数学课堂回归自然、数学教学过程多向互动、动态生成的基础。

（2）统一性

所谓数学知识的统一性，一方面是指各种不同概念、原理或运算方法在更高层次上达到统一，即统一于某一结构或某一观点，在高观点下去理解具体的数学内容。如在线性代数中就存在3种不同的推理模式：某种程度上直接给出对象并在心中努力描绘的综合—几何模式；由公式可以直接进行计算的分析—算术模式；由一组性质定义进行思考的分析—结构模式。另一方面，上述各要素结合的最终目的就是让学生进行“火热的思考”，让学生从不同的角度更全面地理解巩固、深化所学过的知识。因此，作为数学史、数学哲学与数学文化层面等内容的选择，其深度与广度应与课程目标、教学目的、学科发展以及学生既有的文化背景相协调、相一致。关于这一点文[23]给出了指导性建议：第一，数学文化必须与数学课程的总体目标相协调、相一致。理想的课程设计应该是融知识与文化于一体的。第二，数学文化应该体现出对于数学前进方向和数学思想方法的一种倾向、一种引导和一种归结，而不仅仅是事实的陈述与历史的发现。第三，数学文化应该与学习者的既有文化系统做一个很好的切合。

2.层次性

教育形态的数学知识系统之所以具有层次性就是因为其反映的客观世界本身具有层次性，从横向看，无限空间内无数宇宙同时并存，展现为具有无限多的质；从纵向看，具有无限多样的质的物体则按照一定的质量限度和空间限度分成无限的物质结构层次。这就必然导致现实世界的空间形式和数量关系具有层次性。另一方面，人类对数学对象的认识是由一系列的抽象过程构成的。教育形态的数学知识的层次性应突出强调数学知识的抽象层次，可以分为两条线索，一条是依据数学知识历史演变过程而确定的抽象层次，另一条则是由数学教材逻辑顺序体现出的抽象层次，这与数学教材的演绎型知识结是构协调一致的。研究者认为采取历史与逻辑相结合的方法是最有效的。在此基础上可把数学知识化分为四个层次：第一层次即为数学教材中表层知识即前面提到的问题及理论知识；第二层次则是隐含在问题解决或理论知识及其抽象过程中思想方法，数学中的抽象可分为广义抽象、强抽象和弱抽象，主要体现出特殊化思想和一般化思想，这些思想往往成为知识相互转化、相互联系的桥梁，是优化知识结构的有效工具。第三层次则是指数学发现、数学创造过程中思维层面的知识。传统的数学教学过程实质上就是一种唯理性教育过程，整个教学过程的组织与展开，有一整套相互配合的概括性原则和由这些规则在特定情况下的应用规则所规定的。这种唯理性教育的理智控制，遏制了学生的自发性、创造性和个人的主动性，学生很少有发扬主动精神和进行独立判断的余地，毫无自由可言。数学学科的教育应该是一种完整教育，既要传授理性知识、培养学生的逻辑思维能力和逻辑实践能力，又要重视培养学生的形成目的和动机能力、灵感和直觉能力、猜测能力、情感体验能力等非理性精神能力，以及意向、情感、意志、信念、信仰等非理性精神力量。第四层次是数学精神与文化的教学层次.任何一门学科教育的最终目的都是培养学生完满的人格教育，“人格是个体的各种内在力量较为稳固持久的组织系统。这些内在力量不仅仅是指人的理性精神力量，而且还包括人的各种非理性精神力量，是二者的有机组合和整合所形成的一种持久的力量，人的这种持久性力量有助于个人对各种情景作出反应，并进而形成个体较为一致性的行为。”[24]这一层次的内容重在促进学生心智、个性、观念、精神等协调的发展。

3.过程性

数学知识之所以呈现出过程性，其一是由于数学是从量的侧面探索和研究客观世界的，作为数学研究对象的背景、源泉的客观世界和客观事物的存在是一个过程；其二数学知识又属于认识的范畴，作为过程，人的认识能力是至上的，但作为任何一个现实状态，它又是非至上的，这就构成了认识能力自身的矛盾性，人的认识就是在这种矛盾的不断出现、不断被克服的过程中前进的。正是这种矛盾性导致了数学知识的过程性，数学知识无疑是抽象思维的产物。马克思指出：“在人类认识过程中存在着两条方向相反的道路，在第一条道路上，完整的表象蒸发为抽象的规定；在第二条道路上，抽象的规定在思维的过程中导致具体的再现。”[25]这也就是说，在这两条相互连结的道路上，认识开始由感性的具体表象通过思维活动分析出各种单向的、孤立的抽象规定；尔后，这些单向的、孤立的抽象规定又在思维的行动中被连结起来，综合成思维的具体再现出来。数学知识的这种过程性又与其抽象（历史的或逻辑的）的层次性是密切相关的，作为教育形态的数学知识，应该在强调数学知识的抽象层次的基础上，注重知识的历史演变过程，突出数学知识的发现过程，使整个教育形态的数学知识系统体现出动态性。

四、教育形态的数学知识的存在状态

教育形态的数学知识系统的整体性揭示了数学知识与其他学科如数学史、数学哲学之间的联系，它的层次性和过程性体现出数学知识的动态性。客观上为学生提供了一个具有生命力的、能够走向学生的学习客体。在课堂教学过程中，如何通过这一客体与学生的动力结构系统相互作用，发挥其最大的教育功能，还应该对这一客体进行恰当的设计，形成适宜学习者的存在状态。设计的核心应着力于以下几个方面：第一，注重问题的选择与设置。一切思维是从问题开始的，没有问题，就没有质疑。“质疑是科学研究的始点，培养创新精神，离不开对学生质疑思维的激发和保护。在我国，质疑思维是重要的，但质疑精神更重要。”[26]

在各类问题中，衔接性问题的设计是关键，正是通过合理的衔接性问题的巧妙设计，引发学生的质疑，由此导致知识的生惑点。第二，在分析学习者的知识背景、审美观念、爱好和情趣的基础上，按照知识内在的联系、美的规律，并结合数学家在数学研究创造过程中的心路历程，充分暴露数学知识生态的“孕育、生长”过程，重新创造和恢复知识的活力。对学生而言，这种重新创造知识的活动就是课堂学习的核心。这是因为“人只有在创造文化的活动中才能成为真正意义上的人，也只有在文化活动中，人才能获得真正的‘自由’。”[27]第三，以数学知识的形成过程为载体，突出数学观念、思想、方法的抽象与概括，厘清数学家进行数学研究的科学态度、信念品质、价值判断和审美追求，加强数学人文精神的理解与感悟。文化因素是数学课堂教学过程中最具有吸引力的一部分内容，是调动学生学习情感因素最直接、最有效的动因。以此驱动教学使学习者的情感、意志、品质以及感知、思维、想象得到广泛的熏陶，拓展学习者的精神空间，实现精神超越，促进学习者的认知结构的形成与发展，完美学习者人格品质。具体地，教育形态的数学知识系统体现出如下的存在状态。

1.描述状态

传统数学教材中的基本概念、基本原理以及公式、法则是借助于判断式的数学语言进行阐释的。由数学符号、数学术语和经过加工的自然语言构成的数学语言是数学抽象的产物，是表达数学抽象与数学概括内容的媒介，也是展现数学知识、数学证明的基本工具，是课堂教学过程中师生交流的基本方式。数学语言具有确定性、简洁性的特点，同时也具有抽象性的特点，数学语言的抽象性往往会导致学生识别、理解、转换、构造、操作、组织以及表达等方面的语言障碍。[28]也恰恰是这种抽象的数学对象的形式化表示或课堂上形式化分析往往成为数学是枯燥的源泉。因此，纯粹的判断式的数学语言表述的数学知识难免缺少灵气、缺少亲和力，无法给学生掌控自己的行为提供有效的借鉴，更难以召唤学生作为课堂教学过程中的主体而主动参与其中。判断式的阐释是思维的结果；描述性的阐释则意味着思维的开始。处于描述状态的数学知识既是启发学生想象力的动力，又是学生进行创造性活动的基础。因此，数学知识从判断式的阐释状态转化为描述性的阐释状态是数学知识教育形态化不可缺少的一个重要环节。

教育形态的数学知识的描述性从语言的角度应体现出生动、准确、精炼、形象直观；从知识的角度来看，体现出知识自然的融合性、丰富性，揭示出新旧知识的联系，展现出清晰而又合理的网络知识结构；从思维的角度来看则又体现出重要的化归思想，即借助于数学中极其丰富的对立统一关系以及类比关系，如正与负、变与不变、曲与直、有限与无限、特殊与一般等，化抽象为具体、化繁为简、化难为易、化未知为已知、化不熟悉为熟悉；从效果来看，这种描述性则要体现出亲和性、激励性、启发性。由此可以使学生的行为价值判断具体化，更具有可操作性，因而可以成为学生学习行为的指南。

2.开放状态

系统的开放状态是指系统总存在于一定的环境之中，并且与作为环境的其他系统进行着物质、能量、信息的交换，在这种交换过程中，系统经历着从低级到高级、从简单到复杂，从无序到有序不断优化的动态发展过程。如前所述，教育形态的数学知识系统的构成要素既具有客观性，又具有主观性，是客观与主观的统一体。作为系统，结构决定要素，要素对结构具有选择性。教育形态的数学知识系统具有相对静止的稳定结构，但在课堂教学中，它又处于动态的演化发展过程中。因此，教育形态的数学知识系统的开放性首先是指该系统能够与学生的认知系统、意识系统、情感系统、心理系统等进行信息交流；其次，在教学过程中，为了更好实现教学目标，根据实际需求，系统内的要素可以随时进行调整，达到多元化开放的效果。基于数学在自然科学和社会科学的广泛应用，该系统还可以辐射到学习者熟知的文学、艺术、音乐、建筑、军事、经济、生命、法律等各个领域，由此可以为课堂对话提供极其丰富的信息资源。

3.对话状态

教育形态的数学知识系统的综合性为课堂教学引发对话提供了客观基础。无论从数学哲学、数学真理、数学史的角度看，还是从数学语言、数学概念以及数学证明等层面分析都揭示出数学具有对话特征。而描述性状态的数学知识又使其向对话状态转化成为可能。“对话”原意是指人与人之间以语言为中介的谈话，作为一项教学原则，这里的“对话”已超出了语言本身的界限，它体现的是教学过程中的一种精神和理念，是对话双方各自向对方敞开精神和彼此接纳，是一种真正意义上的精神平等与沟通，是心灵与心灵的交流与碰撞，是对传统教学中“学生主体说”、“教师主导说”、“课堂讲授论”的根本超越。

各种才能、智力都有其发展的情感环境作支撑，情感是人对客观世界的一种特殊的反应形式，是主体对客体是否符合自己的需要的态度、感受、体验等心理状态。积极健康的情感，良好的情感环境可以激发学生的创造性思维，是学生进行创造性学习活动不可缺少的因素。学生的情感在很大程度上决定着学生学习活动能量的强弱，影响调节学习活动的速度和持续时间的长短。在教学过程中，学习者对其所接受内容的感觉都有一个潜意识化、本能化或相关意识麻木的变化趋势，使其在对话初期的新鲜感、好奇感慢慢淡化。因此，在对话过程中，首先体现出教师所解说的语言、思想与学习者的感觉、接受水平的一致性、相适应性；其次，通过对话适时地调整学习者的情绪，刺激他（她）们理智的热情，开放他（她）们的心灵，由此激发学生积极参与对话的强烈愿望；第三，通过对话，引发学习者自由想象，使学习者真正体验到成功获取新知识的愉悦感。事实证明，这种愉悦感会诱使学习者寻找新的问题，进行新一轮的探索，以期享受之前激情得以释放的滋味，形成良性循环；第四，打破传统教学过程中单一的教学模式，采取灵活多样的教学方法，实施多元对话。既要突出教师与学生之间的对话，又要强调学生与学生、学生与上述的知识系统以及学生与自身的对话，多渠道地彰显学生的个性，体现出多主体、多层次、多角度的对话状态，使得数学课堂教学真正地走向民主，成为师生互动的多边活动。

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Constitution,Features and Forms of State
of Mathematics Knowledge in the Form of Education

FU Xi-lian1，ZHANG Yu-feng2，FENG Bin-lu3，TAN Cheng-bo1，ZHANG Yao-ming1

(1.Shandong University of Technology,Zibo 255049,China；2.China University of Mining and Technology,Xuzhou 221116,China；3.Weifang University，Weifang 261061, China)

Mathematics knowledge is the basic elements in the contents taught by mathematics teachers,It is the key point in the teaching process how to transfer mathematics knowledge to contents in educational forms;This artide analyzed the necessary elements of mathematics knowledge on class from three angles of mathematical ontology and epistemology,history of mathematics and methodology of mathematics;The scientific and reasonable selection and setting of the mathematics knowledge is the foundation and premise of the mathematic knowledge education formation;As a form of education,mathematics knowledge system should have features of entirety, process and hierarchy;In the course of classroom,mathematics knowledge in the form of education should be designed tomade it showthe state ofdescription,open and dialog.

mathematics knowledge;educational state;mathematics history;methodology;philosophy of mathematics;mathematics culture.

G424

A

1671-4288(2016)05-0001-08

责任编辑：王家忠

2016-09-01

中国矿业大学重点培育教改项目（项目编号：2015CG04）

付夕联（1964-），男，山东平度人，山东理工大学教授，主要从事数学方法论与数学教育研究。