浅谈中职数学三角函数诱导公式记忆运用技巧

葛静

摘 要：中职学生的数学计算能力普遍不高，面对诱导公式这样多而复杂的公式、繁琐的解题过程、一不小心就出错的情况，学生基本是抱怨诱导公式好难，谈诱导公式色变，学习数学的积极性备受打击。在遇到学生的这些状况后，针对学生的解题习惯、公式是否可以进一步归纳进行了深思。

关键词：中职数学；诱导公式；新技巧

一、常规诱导公式教学

三角函数诱导公式是高等教育出版社出版的中等职业教育课程改革国家规划新教材——《数学》基础模块上册5.5节的内容。在最开始的教学中，笔者是根据书本，借助单位圆，利用两角终边的对称性找出两角终边上对应两点的横坐标、纵坐标的关系，根据任意角三角函数的定义推导得出四组诱导公式，如下：

sin（α+k·360°）=sinα sin（-α）=-sinα

cos（α+k·360°）=cosα （一） cos（-α）=cosα （二）

tan（α+k·360°）=tanα tan（-α）=-tanα

sin（180°+α）=-sinα sin（180°-α）=sinα

cos（180°+α）=-cosα （三） cos（180°-α）=-cosα （四）

tan（180°+α）=tanα tan（180°-α）=-tanα

这四组公式可以这样分析为：将α看成是锐角，则α为第一象限角，-α为第四象限角，180°+α为第三象限角，180°-α为第二象限角；纵观四组公式发现变化前后的函数名称无变化，就是多了正负号，而且还符合三角函数在四个象限的符号的规律：一全为正，二正弦正，三正切正，四余弦正；因此，给学生归纳了诱导公式的记忆运用技巧：函数名不变，符号看象限。

二、诱导公式运用出现的问题

在讲完每组公式后，都会讲与公式对应的例题，然后学生练习对应的习题，学生基本会做。可是全部讲完，归纳完后，问题来了，学生的错误率非常高。如：

1.正解sin π=sin（ π+4π）=sin π=sin（ π+π）=-sin π=

- ，学生往往会：sin π=sin（ π+5π）=sin π= ，没有充分理解公式（一）中k·360°化为弧度应为2kπ，要运用公式（一），π前面系数必须为偶数。

2.会出现类似于：cos（-870°）=cos870°=cos（150°+2×360°）=cos150°=cos（180°-30°）=-cos30°=- 这类复杂的计算。

3.学生还可能会这样解：tan（- π）=tan（- π-5π），然后不知道怎么做了。

4.诱导公式除了计算，还会用于化简，如： ，这类化简若只是按照四组诱导来解，那是非常麻烦的。

三、对出现的问题进行思考

中职学生的数学计算能力普遍不高，面对这样多而复杂的公式、繁琐的解题过程、一不小心就出错的情况，学生基本是抱怨诱导公式好难，谈诱导公式色变，学习数学的积极性备受打击。笔者在遇到学生的这些状况后，针对学生的解题习惯、公式是否可以进一步归纳进行了深思。

首先对四组诱导公式进行拓展，具体如下：

sin（α+k·360°）=sin（α+2k·180°）=sinα

cos（α+k·360°）=cos（α+2k·180°）=cosα （一）

tan（α+k·360°）=tan（α+2k·180°）=tanα

sin（-α+k·360°）=sin（-α+2k·180°）=-sinα

cos（-α+k·360°）=cos（-α+2k·180°）=cosα （二）

tan（-α+k·360°）=tan（-α+2k·180°）=-tanα

sin（180°+α）=sin（180°+α+2k·180°）=sin[α+（2k+1）·180°）]=-sinα

cos（180°+α）=cos（180°+α+2k·180°）=cos[α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°+α）=tan（180°+α+2k·180°）=tan[α+（2k+1）·180°）]=tanα（三）

sin（180°-α）=sin（180°-α+2k·180°）=sin[-α+（2k+1）·180°）]=sinα

cos（180°-α）=cos（180°-α+2k·180°）=cos[-α+（2k+1）·180°）]=-cosα

tan（180°-α）=tan（180°-α+2k·180°）=tan[-α+（2k+1）·180°）]=-tanα（四）

这里就可以将角转化的结果归纳为四类：α+2k·180°、α+（2k+1）·180°、-α+2k·180°、-α+（2k+1）·180°。为了方便表述，笔者将180°转化为弧度π，并将上述四类情况用更通俗的语言表述：α+偶数π，α+奇数π，-α+偶数π，-α+奇数π。

接着讨论四类情况分别是第几象限角，具体如下：将α看成是锐角，则α为第一象限角。根据角概念中的旋转概念，终边若旋转π的偶数倍，则终边会落回原来位置；若旋转π的奇数倍，则终边会落回与原来相反的位置。所以α+偶数π为第一象限角，α+奇数π为第三象限角；-α为第四象限角，则-α+偶数π为第四象限角，-α+奇数π为第二象限角；如图所示：

如此归纳后，在做题时即可先将角转化这里所说的四种情况之一，然后充分运用函数名不变，符号看象限。

四、新技巧的运用

（一）对“诱导公式运用出现的问题”中举的四道题进行解析

1.sin π

解题分析： 不用再考虑商是否为偶数了， π= π+5π是奇数α的形式，所以应为第三象限角，第三象限正弦为负，由此，

sin π=sin（ π+5π）=-sin π=-

2.cos（-870°）

解题分析： -870°=30°-5×180°也是α+奇数π的形式，所以应为第三象限角，第三象限余弦为负，由此，

cos（-870°）=cos（30°-5×180°）=-cos30°=-

3.tan（- π）

解题分析： - π=- π-5π是-α+奇数π的形式，所以应为第二象限角，第二象限正切为负，由此

tan（- π）=tan（- π-5π）=-tan π=-1

4.

解题分析：α+3π为第三象限角，正弦为负；α-4π为第一象限角，正切为正；6π-α为第四象限角，余弦为正；-α-3π为第二象限角，正切为负。所以：

= =tanα

（二）新技巧的运用方法为

1.角的转化。角为弧度时分子除以分母；角为角度时角除以180°，列出除式，就可将角化为α+偶数π，α+奇数π，-α+偶数π，-α+奇数π四种情形。

这里需要注意：除式运算时使余数尽可能变小，使α最好在-90°～90°或- ～ 之间。

2.看角转化后所在的象限，记住图。

3.直接根据三角函数在四个象限的符号写出最终结果。

五、结束语

笔者拓展归纳后的诱导公式，中职学生更容易记忆运用，并且在之后的教学中得到了充分的肯定，大大简化了解题过程。

参考文献：

[1]盛媛媛.职业院校数学三角函数诱导公式的课堂教学策略[J].学科教学，2014（03）.

[2]廖佛成.三角函数诱导公式的三类记忆法[J].考试周刊：数学教学与研究，2014（31）.

编辑 温雪莲