函数列的收敛与一致收敛

时杰

摘 要：从收敛和一致收敛的概念出发，讨论数学分析中函数列的收敛与一致收敛的关系，这为如何掌握并进一步研究函数列的收敛与一致收敛问题提供了方法。

关键词：函数列；收敛；一致收敛

函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。

实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。

一、收敛的几个定义

实数列的收敛性定义

定义1：设xn是实数序列，a是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数N，使得当n>N时，恒有xn-a<？着，则称实数列xn收敛于a，记为limxn→∞=a，或简记为xn→a（n→∞）。

几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点a的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有极限ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是x的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：

定义2：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若？坌x∈E，函数列fn（x）收敛于f（x），则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数。

定义2也可以用“？着-N”语言描述：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，对？坌x∈E，？坌？着>0存在正数N，使得当n>N时，总有fn（x）-f（x）<？着，则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f（x）是函数列fn（x）的极限函数，记为limf（x）→∞=f（x）。

我们发现，函数列fn（x）的收敛问题不仅要考虑fn（x）的趋向，还要考虑极限函数f（x），但是我们也发现取定x0∈E时，代入fn（x）即得实数序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，这时就是实数序列的收敛性问题了。

函数列fn（x）收敛的定义中是对每一个固定的x∈E，根据给定的？着找N，一般来说，这样找到的N不仅与？着有关，而且与x有关，可记为N（？着，x）。但是对于函数列，仅停留在谈论一点上的收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系，例如能否根据函数列每项的连续性和可导性来判断出极限函数的连续性和可导性，或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项的导数或积分的极限，显然只研究函数列在一点处的收敛不能满足要求。

例如：函数列fn（x）=xn（x∈[0，1]），n∈N，它处处收敛于函数f（x）=0 x∈[0，1）1 x=1，但是极限函数f（x）不连续，也就是说收敛性不能保证极限函数的连续性。

那么是否能根据正数？着找到一个公共的N，使得N只与？着有关，不妨记为N（？着），对此我们引进比点点收敛更强一点的收敛概念，那就是一致收敛，定义如下：

定义3：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若对任意？着>0，总存在正数N，使得当n>N时，对一切x∈E，都有fn（x）-f（x）<？着，则称函数列fn（x）在数集E上一致收敛于f（x），记为fn（x）？圯f（x）（n→∞）。

定义3的描述等价于：对于定义在同一数集E上的fn（x）和f（x），满足条件lim→∞supx∈efn（x）-f（x）=0（n→∞），进一步还等价于lim→∞fn（x）-f（x）=0。显然定义3比定义2更强，定义3成立必能推出定义2成立。

定义4：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若对任意[a，？茁]？奂E，fn（x）在[a，？茁]上都一致收敛于f（x），则称fn（x）在数集E上内闭一致收敛于f（x）。显然定义4比定义3更强，定义4成立必能推出定义3成立。

注1：函数列fn（x）在数集E内闭一致收敛于f（x），则必在E上收敛于f（x）。

注2：函数列fn（x）在非闭数集E上一致收敛于f（x），则必在E内闭一致收敛于f（x）。

注3：函数列fn（x）在闭数集E上一致收敛于f（x）的充分必要条件是在E内闭一致收敛于f（x）。

注4：fn（x）在（-∞，+∞）上内闭一致收敛等价于对一切充分大的N>0，fn（x）在[-N，+N]上一致收敛。

注5：fn（x）在（a，？茁）上内闭一致收敛等价于对一切充分小的a>0，fn（x）在[a+？滓，b-？滓]上一致收敛。（a，？茁这有限实数）

注6：fn（x）在（a，？茁]上内闭一致收敛等价于对一切充分小的？滓>0，fn（x）在[a+？滓，b]上一致收敛。（a，？茁这有限实数）

注7：fn（x）在数集E上一致收敛于f（x），则其任一子函数列fn（x）均在E上一致收敛于f（x）。

注8：fn（x）在数集E上内闭一致收敛于f（x），则其任一子函数列fn（x）均在E上内闭一致收敛于f（x）。

注7和注8可以类比实数序列与子序列的收敛关系，其实注7和注8便是对实数序列与子序列收敛关系的推广。

下面仅给出注2、注3的简单证明：

证明注2：

任给[a，？茁]？奂E，因fn（x）在E上一致收敛于f（x），则在[a，？茁]上一致收敛于f（x），即fn（x）在数集E上内闭一致收敛于f（x）。反之未必成立。

证明注3：

必要性：任给[a，？茁]？奂E，由于fn（x）在E上一致收敛于f（x），必在[a，？茁]上一致收敛于f（x），即在E内闭一致收敛于f（x）；

充分性：由于fn（x）在E内闭一致收敛于f（x），故对闭数集E？奂E，也有fn（x）在E上一致收敛于f（x）。

二、一致收敛的几个等价命题

命题1（一致收敛的柯西收敛准则）

函数列fn（x）在数集E上一致收敛？圳对任给的？着<0，总存在正整数N，对一切x∈X，都有fn（x）-fm（x）<？着。

命题1等价于如下命题：

命题2：函数列fn（x）在数集E上一致收敛？圳对任给的？着>0，总存在正整数N，当n>N且x∈E时，对任意自然数p，都有fn+p（x）-f（x）<？着。

用命题1和命题2进行判别的优势在于不需要知道极限函数是什么，只是根据函数列本身的特点来判断函数列是否一致收敛。

例如：设函数列fn（x）=xn，n∈N，为定义在（-∞，+∞）上的函数列，证明它的收敛域是（-1，1]，且极限函数为fn（x）=0，x<11， x=1（*）

证明：任给？着>0，（不妨设？着>1），当0N（？着，x）时，就有fn+p（x）-f（x）<？着，当x=0和x=1时，则对任何正整数n，都有fn（0）-f（0）=0<？着，fn（1）-f（1）=0<？着，这就证得fn（x）在（-1，1]上收敛，且有（*）式的极限函数。而当x>1时，则有xn→∞（n→∞），当x=-1时，对应的数列为：-1，1，-1，1，…显然它是发散的。所以函数列xn在区间（-1，1]外是发散的。

以上内容通过实数列的收敛引出函数列的收敛、一致收敛以及一致收敛的等价命题，据此我们可以研究数项级数的收敛和函数项级数的收敛与一致收敛问题。

在数学学习与研究过程中，函数列的收敛和一致收敛的证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现。这些内容更是函数项级数的收敛与一致收敛的基础。以上讨论，为学习者理清了思路，帮助学习者掌握其中规律，增强对函数列收敛与一致收敛的概念理解。

参考文献：

[1]张宗达.工科数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2008-01.

[2]郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要[M].4版.北京：高等教育出版社，2010-07.

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[4]穆勇.关于函数列一致收敛的一个判定定理[J].宜春学院学报，2007，29（2）：48.

编辑 薛直艳