相对运动和整体法

陈磊

摘 要： 为帮助高中生建立连接体运动的模型，作者归类了常见的运动实例运用整体法进行探讨研究。最终得到了处理有相对运动的连接体问题，无论加速度是否相同都可以使用整体法解题。

关键词： 连接体 相对运动 整体法

动态平衡是指通过控制某些物理量，使物体的形态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态。在此，笔者对解决这类问题的常用方法进行指导。

一、矢量三角形法

解法指导：矢量三角形法适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可以是其他力），另一个力的大小变化、方向不变，第三个力则大小、方向均发生变化的问题，对变化过程的动态平衡进行的定性分析。

二、相似三角形

解法指导：对受三个力作用而平衡的物体，先正确分析物体的受力，画出受力分析图，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

如果在对力利用平行四边形定则（或三角形定则）运算的过程中，力三角形与几何三角形相似，则可根据相似三角形对应的边成比例等性质求解。

三、数学函数解析法

例3：如图3-1所示，置于固定斜面上的物体A受到平行于斜面向下的力F作用保持静止，若力F大小不变，将力F在竖直平面内由沿斜面向下缓慢的转到沿斜面向上（转动范围如图中虚线所示）。在F转动的过程中，物体始终保持静止，在此过程中物体与斜面间的（？摇？摇）

A.弹力可能先增大后减小

B.弹力一定先减小后增大

C.摩擦力可能先减小后增大

D.摩擦力一定一直减小

解析：由于力F的方向是变化的，我们可以分情况讨论：

1.当力F斜向下与斜面的夹角为θ（θ≤90°）时，对物体进行受力分析，建立直角坐标系，如图3-2所示，分别在x、y轴上列平衡方程为Fcosθ+mgsinα=f，N+Fsinθ=mgcosα，当θ增大时，物体与斜面的弹力减小，物体与斜面的摩擦力减小。

2.当力F斜向上与斜面的夹角为θ（θ≤90°）时，由于F与mgsinα大小关系不确定，需要再次分情况讨论：

①当F≤mgsinα时，f的方向一直向上，对物体进行受力分析，建立直角坐标系，如图3-3所示，分别在x、y轴上列平衡方程为Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，当θ从90°逐渐减小时，物体与斜面的弹力增大，物体与斜面的摩擦力一定一直减小。

②当F>mgsinα时，f的方向依然不确定，还需继续讨论。若力F斜向上与斜面的夹角为β时有Fcosβ=mgsinα，此时f不存在，对物体进行受力分析如图3-4所示。则

（I）当β<θ<90°时，f的方向一直向上，对物体进行受力分析，建立直角坐标系，如图3-5所示，分别在x、y轴上列平衡方程为Fcosθ+f=mgsinα，N+Fsinθ=mgcosα，当θ从90°逐渐减小到β时，物体与斜面的弹力增大，物体与斜面的摩擦力减小。

（II）当0≤θ≤β时，f的方向一直向下，对物体进行受力分析，建立直角坐标系，如图3-6所示，分别在X、Y轴上列平衡方程为Fcosθ=mgsinα+f，N+Fsinθ=mgcosα，当θ从β逐渐减小为0时，物体与斜面的弹力增大，物体与斜面的摩擦力增大。

故此过程中物体与斜面间的弹力一定先减小后增大；当F≤mgsinα时，物体与斜面的摩擦力一定一直减小；当F>mgsinα时，物体与斜面的摩擦力先减小为零后反向增大。所以B、C正确。

解法指导：适用于物体所受力中，有一个力大小、方向都变，有一力大小变、方向不变（或大小不变、方向变），在变化过程中，有两个力的方向始终保持垂直，且其中一个力的大小、方向均不变的问题，此时，可利用数学函数解析的方法求出所要找的答案。

我们在处理力学中连接体问题时，经常用到整体法。即将系统视为一个整体，看整体受力与加速度的关系。传统的观点是只有连接体内各个物体运动情况完全一样或者说相对静止时，才可以将连接体视为一个整体。

题型一：有相同加速度，无相对运动

思考：由例1，我们可以得到启发，能用整体法解题的根本原因是连接体有相同的加速度，那如果连接体内物体均无加速度则是不是也可以利用整体法解题？

题型二：无加速度，有相对运动

例2：如图2所示，物体A、B质量分别为m和3m，A、B间滑动摩擦因数和B与水平地面间滑动摩擦因数均为μ，在水平拉力F作用下使A、B相对匀速滑动，求F的大小？

解析：题中A、B两物体均做匀速运动，它们的加速度都是0，也可以认为它们具有相同的加速度。与例1所不同的是它们有相对运动，首先分析A的受力如图3所示：

则绳的拉力T=mmg

以整体为研究对象，受力分析如图4所示：

其中Fm=4mmg

所以F=Fm+2T=6mmg

例3：如图5所示，质量为M的楔形物块静止在水平地面上，其倾角为a，斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦力。用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑，在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止。求地面对楔形物块的支持力和摩擦力。

题型三：无相同加速度，有相对运动

例4：如图7质量为M的楔形木块静止在水平面上，倾斜角为a的斜面上，一质量为m的物体正以加速度a下滑，求水平面对楔形木块的弹力F■和摩擦力f。

在水平方向上楔形木块是否受力，若受力方向如何？还需通过加速度判断。因为连接体中有一个物体其加速度有一向左的分量，所以整体必定受到一向左的力，而这个力只可能由地面施加。即地面对楔形木块的摩擦力

例5：如图10所示质量为M的木板放在倾角为θ的光滑固定斜面上，一个质量为m的人站在木板上，要保证木板相对斜面静止，则人必须怎样运动？

解析：本题中斜面固定，我们把人与木板视为一个整体，既然斜面光滑，那么斜面对木板只有弹力而无摩擦力，整体受力如图11所示。

根据牛顿第二定律得（M+m）gsinq=Ma+ma

由题意可知木板相对斜面是静止的，所以其加速度为0，那么由上式可得gsinq方向沿斜面向下

拓展延伸：由题型一和题型三，我们进一步思考，若连接体内各物体分别以各自的且并不相同的加速度运动，是否也可以用整体法解呢？

这类问题较复杂，高中阶段不作要求，有兴趣的读者可以展开讨论。

可见，处理连接体问题，并非只有相对静止才可以使用整体法，有相对运动甚至加速度不相同的连接体都可以使用整体法解题。