浅谈解题教学中学生数学思维自控能力的培养

蔡梅香

摘 要：解题教学中通过启迪探索、反馈调整及归纳整理三步骤不断引导、诱发学生的思维，使学生思维自主控制能力逐步得到提高. 这将有助于学生应用数学方法有效地发现问题和快速解决问题，也有助于学生应用能力和创造能力的培养.

关键词：自主控制；启迪；反馈；总结

控制论认为：教学过程是一个由教师、学生、知识信息三要素构成的控制系统.课堂教学过程是教师的外部控制和学生的自主控制共同活动的过程. 学生思维自主控制是指学生主体作为施控者充分发挥主观能动性，在科学、系统的监测和评价的基础上，选择恰当的思维形式，使思维过程沿着预期的方向发展，是课堂教学活动的主体. 在解题过程中，学生思维自主控制能力一般表现为：对例题、习题能做出敏捷、有效的反应，并能自觉地调整自己的解题策略和思维方向，最后解决问题. 只有具备了这种能力，才能形成学生独立学习的倾向；开拓学生智力，提高学习效率. 因此，在解题教学中，教师的外部控制就是：创造良好的教学情景，运用灵活的教学方法，不断地引导诱发学生的思维自主控制能力的形成与加强. 本文以三角中的一堂习题课的教学过程为例，谈谈培养学生思维自主控制能力的一些粗浅的认识.

[?] 启迪探索，在引导解题中培养

现代教学思想认为：数学教学应该是数学活动，即思维活动的教学. 数学教学的核心是过程而不是结论，真正的效果在于过程中. 在解题过程中，为了发挥学生的主观能动性，教师的外部控制应体现在启迪引导学生思维过程上.即通过教师提出问题，激起学生解决问题的欲望，从而启迪学生对例题、习题的观察、分析，使学生在不断的探索思维中，逐步学会自主的思维独立性，变教师的他控为学生的自控. 这是学生解题思维自控能力形成必不可少的一步.

在解题教学时，开始引入的问题不必太难，但一定要能启迪学生思维，能体现学生自控形成的过程. 如三角中的一堂习题课上，笔者首先出示：

例题：已知sinθ+cosθ=，求sin2θ的值.

例题给出后，教师不急讲思路，而应引导学生先观察、审题，提出自己的看法：学生认为，此题是一道条件求值题，条件中有两个变元sinθ与cosθ，而结论根据倍角公式，应是求2sinθ·cosθ，显然，若求得sinθ与cosθ的值，此题就解决了.但条件中是两个变元在一个方程中，按照基本量的思想，应构成一个二元方程组，关系式sin2θ+cos2θ=1可借用得：sinθ+cosθ

=，

sin2θ+cos2θ=1.

由学生演算，尝试后发现过程较繁，因此他们凭直觉思维判定，此题有更为有效的解决方法（思维自主控制能力初步形成）. 对此，教师可“延迟判断”，而向学生提示：条件求值问题需注意条件与结论之间的内在联系，再让学生讨论、探求. 为了启发学生思考，教师不妨将原方程组补成关系式：

sinθ+cosθ

=，

sin2θ+cos2θ=1，

2sinθ·cosθ=？ 这样，学生一下子就看出了它们具有平方关系. 该题解答如下：

由条件平方得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=，即1+sin2θ=，所以sin2θ= -.

很明显，这个目标创设的解题过程，就是一个培养学生思维自主控制能力的简单过程，它以教师为导引，学生思维为主体，通过教师的调控，学生探索、判定、求变，并最终解决了问题. 学生在这一过程中智力得到了开发，思维自主控制能力也得到了锻炼和培养.

[?] 反馈调整，在调控练习中培养

课堂教学过程中，师生的思维任务是一致的，教师的外部控制和学生的自主控制必须同步. 而学生的思维往往是不严谨的，因而教师应针对学生的这一“症状”，有意识地设计课堂练习及时反馈学生的思维自主控制过程，以便有效调整、控制. 教师这一外部控制主要表现为两个方面：学生思路与教师思路失调，思维片面时，必须及时调控；学生思路由于对某个内容没有彻底了解而产生错误时，也要随时调控. 这样，学生在思维自主控制过程中就可以减少错误和偏差，思维能力进一步加强.

根据本节课的特点，我们可继续设计如下练习题让学生解答：

【练习1】 已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），求sinθ-cosθ的值.

【练习2】 已知sinx+cosy=，求u=sinx-cos2y的最大值与最小值.

对于练习1，学生解答大多为：由条件平方得1+2sinθ·cosθ=，所以sin2θ=-.

又sinθ-cosθ=±= ±=±=±，学生做到此便觉大功告成了. 此时反馈给教师的是学生思维不够严谨，应由教师指出来，但不应直接答复，而要探求他们的问题所在，再加以启示，使他们最后仍通过自己的自主思维加以解决. 此时，教师可让学生转为解下列方程组：由sinθ+cosθ

=，

sinθ-cosθ

=-，得sinθ

=-，

cosθ

=.学生自然发现这一结果与已知条件θ∈（0，π）不相符. 这样，学生思维的积极性一下子就被调动起来了. 通过思考，学生调整了思维策略和方向，悟出了：扩解是由于平方引起的. 实事上，由于sinθ+cosθ=，经函数线可判定θ∈

，π

，故sinθ-cosθ>0，正确答案应是sinθ-cosθ=.

通过练习1的学习，学生品尝了思维果子的甘甜，思维自主控制能力也在分析与调整中得到了锻炼. 所以对于练习2，学生吸取了教训，认真分析，发现：该题若用平方法处理，不能达到消元的目的. 而应用代入消元法，再转化为一元二次最值问题解决（解答略）.

由上面两个练习，我们高兴地看到：教师有意识地创造机会让学生思考，并及时反馈学生的思维过程，纠正学生的思维偏差，调整不合拍的思维，学生在思维过程中学会了调整自己的思维方式，克服了思维中的片面性和局限性. 这样，学生思维自主控制能力也进一步提高了.

[?] 归纳整理，在总结深化中培养

法国数学家拉普拉斯说：“即使在教学里，发现真理的主要工具也是归纳和类化.” 归纳能使大脑的有关部分贮守的知识系统化、网络化，并组成更有序的结构. 它能使学生更及时、有效地对思维活动进行调控，避免思维的麻木性和低效性. 学生学会归纳整理的最佳途径是自主地参与数学活动，并有意识地把这种参与活动的经验变为解题的思维自主控制能力.

从上面例题的引导、练习的调控，学生已有一些解决这种题目的感性认识. 为使学生更好地归纳整理解题规律，教师可由习题引出“一类”问题，即编题组进行归纳. 但考虑到学生独立总结经验的困难，教师一般是在学生有了充分的思考后，再引导学生逐步概括.

教师出示题组：

①已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），求cotθ的值. （94年高考题）

②若tanθ是方程2x2-2kx+k2-3=0的两个实根，且θ∈

π，

，求cosθ-sinθ的值.

③已知sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，且α，β均为锐角，求tan（α-β）的值.

学生练习后，教师继续引导思维：三道习题的求解中采用了一个共同的方法是——平方消元法. 最后学生有了这样一个理性认识：有关正弦、余弦的和差关系，一般可采用平方消元法求解，目的是减少参变量，但要注意平方可能引起扩解，需要检验解的合理性. 由于学生通过思考和亲身体验，很快就掌握了这种方法. 这样学生不仅学会了挖掘习题本身蕴藏的内在规律而且能有效运用这种规律，更广泛地控制自己的思维了.

如其他章节较难的三角习题：

①已知8sinα+5cosβ=6，8cosα+5sinβ=10，求sin（α+β）的值.

②已知sinA+sinB+sinC=1，cosA+cosB+cosC=0，求cos2A+cos2B+cos2C的值.

学生一般都能找出解题思路，迅速地解决问题了.

可见学生把教师的理想思维和自己的实际思维相结合，真正达到自主控制，在实践中就是碰到未谋面的题目，也不会“头脑一片空白”，而能不断启动自己的思维，对题目做出快捷反应，不断地调节思维方向来解决问题.

总之，通过教师的引导思维、调整思维和深化思维的外部控制，学生思维自主控制能力的逐步提高，有助于学生运用数学方法有效地发现问题和快速解决问题，也有助于学生应用能力和创造能力的培养，这在当今信息时代是有裨益的.