引导自主学习促进能力提升

朱秋萍

摘 要：随着课程改革的不断深入，教师在教学过程中越来越重视学生的自主学习，全力培养学生的创新精神，重视提升学生的学习能力. 本文就“数系的扩充”教学与点评进行探究.

关键词：数系的扩充；自主学习；能力提升

在课题为“数系的扩充”的公开课教学中，一位教师的课堂教学受到了听课教师的一致好评，现将课堂教学过程叙述如下：

[?] 教学过程

教师：数系是在客观实际的需要和数学内部发展的需要中不断扩大的，今天我们一起来复习和研究数系的扩充.

问题1：在自然数集中方程x+4=0有解吗？如何使方程有解？

学生：在自然数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了负数，将数系由自然数扩充为整数.

教师：这就是数的第一次扩充.

教师板书：自然数

负整数→整数.

问题2：在整数集中方程3x-2=0有解吗？如何使方程有解？

学生：在整数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了分数，这样将数系由整数扩充为有理数.

教师：这就是数的第二次扩充.

教师板书：整数

分数→有理数.

问题3：在有理数集中方程x2-2=0有解吗？如何使方程有解？

学生：在有理数集中方程无解，为使方程有解，科学家们引进了实数，这样将数系由有理数扩充为实数.

教师：这就是数的第三次扩充.

教师板书：有理数

无理数→实数.

问题4：在实数集中方程x2+1=0有解吗？为什么？

学生：在实数集中无解，因为任何数的平方都是非负数.

教师：如何使方程有解？请同学们讨论解答.

学生：类比以往数系的扩充，需引进一个新数.

教师：很好，引进的数，必需满足什么条件？

学生：必须使方程x2+1=0有解.

教师：很好. 科学家引进一个数i，规定i2=-1（教师板书），这样方程x2+1=0就有解了. 为什么用i呢？它是虚构出来的，是imaginary的缩写，我们称它为虚数单位. 新引进的数必需融入原有的数集，i可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.

问题5：写出i与实数相加、相乘所得的一些不同数.

学生板书了如下一些数：2+3i，4i，6+i，-i.

问题6：以上这类数我们可以统一用哪种代数式来表示？

学生：可以用a+bi（a∈R，b∈R，且b≠0）的形式来表示.

教师：由于b≠0，所以这些数都是实数之外的数，我们把它称为什么数？（教师稍作停顿后）称为虚数，这样，实数就被扩充了.

问题7：实数是否也能表示成a+bi的形式？请用实例给予说明.

学生：能，实例如下（学生上黑板板演），-5=-5+0i，0=0+0i，2=2+0i.

问题8：实数也能表示成a+bi的形式，这个时候a，b的取值范围怎样？

学生：a∈R，b=0.

教师：因为实数和虚数都可以表示成a+bi（a∈R，b∈R）的形式，我们把形如a+bi（a∈R，b∈R）的数称为复数，记为z，这样实数系就扩充到复数系.

教师板书：实数

虚数→复数.

问题9：下面我们来对复数进行研究.复数集包含哪两个数集？

学生：实数集和虚数集.

问题10：一个复数a+bi（a∈R，b∈R）何时为实数？何时为虚数？

学生：当b=0时，复数z为实数；当b≠0时，复数z为虚数.

教师：我们给a和b取个什么名字好呢？（让学生思考片刻后）a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.

当a=0，b≠0时，这样的一个特殊的复数取个什么名字好呢？

学生们你一言我一语.

教师：因为 b≠0，所以应是一个虚数，又因为a=0，所以称z为纯虚数.

教师请同学们自己列举出虚数和纯虚数，并要求说出其实部和虚部.

学生举例后，教师继续提问.

问题11：你能用韦恩图表示复数集合、实数集合、虚数集合和纯虚数集合之间的关系吗？

学生思考后，板演如下

教师：请同学们完成以下各题.

例1 a=0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件？

b≠0是复数z=a+bi为纯虚数的什么条件？

例2 完成下列表格：

类别栏请填实数或虚数或纯虚数.

例3 实数m取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是：

（1） 实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

教师让学生独立解答了以上例题.

例4 实数m取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是6+2i？

学生独立解答了此题.

问题12：两个复数a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）的充要条件是什么？

学生：a=c，

b=d.

老师：用文字语言如何表述？

学生：两个复数相等的充要条件：它们的实部和虚部分别相等.

教师：由此可知：复数是由一对有序实数唯一确定的.

例5 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x，y的值.

学生上黑板轻松地解答了此题.

问题13：由此题的解答你学到了怎样的数学思想方法？

学生：转化思想，即复数问题转化为实数问题来求解，即复数问题实数化.

问题14：通过本课的学习，你有何收获？你能形成有关知识、方法的结构图吗？

学生独立思考后，教师让学生合作讨论，最后共同完成结构图：

知识：复数（a+bi，i2=-1）实数（b=0），

虚数（b≠0）纯虚数（a=0，b=0），

非纯虚数（a≠0，b≠0）

方法：复数问题的解决[转化] [ ]实数问题解决.

[?] 点评

新课程改革十分重视学生能力的培养，而在新知的教学中，如何培养学生能力？本节课堂教学进行了有益的尝试，教师通过引导学生自己发现新知识，生成新知识，主动运用新知识，从而让学生成为知识的创造者、问题的解决者，学生的能力在活动中得到提升.

1. 引导学生主动提出新知识

新知识的产生源于生产生活实际，源于学科内部矛盾的发生和发展，通过揭示新知识产生的原因，引导学生主动提出问题，提出新知识，从而有利于培养学生的创新能力. 本课例中，教师让学生思考问题：在实数集中方程x2+1=0有解吗？如何使方程有解？引导学生通过类比以往数系扩展的经验，自己提出需要引进新数，以便矛盾的解决. 这样的教学，让学生弄清了知识的来龙去脉，易于学生理解和接受新知识.

2. 引导学生主动建构新知识

让学生自己建构知识，成为知识的发现者，有利于培养学生的创新精神，增加学生创新的信心；让学生自己建构知识，还有利于学生牢固掌握知识，心理学研究表明，学生自己得出的知识印象深刻. 为了使学生自主建构知识，教师要遵循学生的认知规律，精心设计好教学的铺垫，可以设计由具体到抽象，由特殊到一般，由一般到特殊等的问题情境，让学生自然而然地得出新知识. 本课例中，教师通过具体实数与i相乘，得到特殊形式的数，从而让学生抽象出新数的形式a+bi；教师又让学生通过实例归纳得出实数也能表示成a+bi的形式，从而得出复数的概念，自然地将实数集扩展为复数集. 在对复数外延的研究中，教师通过将问题特殊化，让学生自己将复数集分解成实数集、虚数集，虚数集又可分解成纯虚数集和非纯虚数集. 在对复数相等条件的研究中，教师通过让学生解决特殊的具体问题，从而得出一般性的结论.

3. 引导学生主动运用新知识

有关新知识运用的例题是学生第一次接触的问题，是听教师讲解，还是让学生自主解答？一些教师的处理往往是以教师讲解为主. 而有关新知识运用的例题，往往是为理解新知识、巩固新知识服务的，其难度往往不大，让学生自主解答是可能的；让学生自主解答比起教师讲解来更能加深学生对知识的印象. 例题的编拟，可由教师完成，也可由学生完成. 而让学生编拟例题有助于学生深刻理解知识，因为只有把握了知识的关键本质，才能提出问题. 来自于学生的问题，其他学生更有解答的兴趣，可调动学生解决问题的积极性. 本课例中，教师让学生自己举出虚数、纯虚数的实例，并要求说出实部和虚部，有利于加深对新概念的理解，对例1～例5的解答，让学生主动完成，提高了教学的效果.

4. 引导学生自主构建知识网

课堂教学的小结要做到突出教学重点，以使学生掌握本课的知识要点和思想方法. 常见的课堂教学小结往往是这样进行的，教师提问：学了本节课你有哪些收获？学习了哪些知识？收获了哪些思想方法？然后让学生回答，教师罗列要点.这样的小结，知识往往显得很零散，不利于学生记忆掌握.而在本课例中，教师让学生构建知识和方法的结构图，有利于学生理清知识间的联系，提高运用知识解决问题的能力.