对概念教学中问题情境的设计几点思考

葛爱通

摘 要：应试教育下很多课堂教学常有重解题轻概念的现象发生，而新课标要求高中数学概念课的教学要让学生体会概念产生的源头，亲历概念形成的过程，自主抽象概括形成概念，自觉应用概念去解决问题. 这就要求教师在教学设计时把握好学生认知起点，设计具有导向性、整体性、层次性、探究性、反思性的“问题串”，并围绕这些“问题串”组织教学活动，使学生在解决问题中感悟数学概念逐步形成的过程，理解概念的本质，体会蕴涵其中的数学思想，同时提高提出问题、分析问题、解决问题的能力.

关键词：数学概念；问题情境；问题串；整体性；层次性；探究性

[?] 概念教学现状

前不久，笔者在高三复习函数的奇偶性时，给出了这样一道判断题：若函数f（x+1）为奇函数，则f（-x-1）=-f（x+1），这个结论正确吗？全班53名学生竟有多半学生回答正确.笔者让一位学生说说自己的理由，这位学生回答说，函数的奇偶性就是这么定义的！若函数f（x）是奇函数，则对于定义域中任意自变量x，都有f（-x）=-f（x）成立. 笔者追问他函数f（x+1）的自变量是什么？你能用语言叙述一下奇函数的定义吗？结果该生知道自变量为x，但对于第二个问题没答上来. 其实学生判断失误的关键在于对奇函数的定义没有真正理解，没有弄清概念的本质：互为相反数的一对自变量对应的函数值也互为相反数. 而要弄清这一点，就必须让学生在学习奇函数的概念时，经历由特殊到一般的概念抽象、概括过程. 主要原因在于我们很多教师只重解题技巧，轻概念生成，追求概念教学最小化和习题讲解最大化，这样学生对数学概念只知道机械记忆，死记硬背、不求甚解，并未理解概念的本质，直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况、新的题目就束手无策.

高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，概念教学是“双基”教学的重要组成部分，如何进行好概念教学？在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本，要让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程. 为了达成这一目标，笔者认为教师在教学设计时要把握好学生认知起点，设计具有导向性、整体性、层次性、探究性、反思性的“问题串”，并围绕这些“问题串”组织教学活动，使学生在解决问题中感悟数学概念逐步形成的过程，理解概念的本质，体会蕴涵其中的数学思想，同时提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.

[?] 引入课题的问题情境要有适度性、导向性

《三角函数的周期性》的引入：

1. 教师先投影诗词“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”，让学生感知生活中周期现象，然后引导学生举出类似的例子，并概括出它们的共同特征.

2. 结合单位圆中的三角函数线让学生感受三角函数的周期性. 这样很自然地提出问题：问题1如何用数学语言刻画三角函数函数的周期性？

在对引入课题的问题情境进行设计时，先由学生熟悉的自然现象入手，过渡到数学中的周期现象，接着提出数学问题，这样符合学生的认知规律. 笔者在研究该课的相关案例时，发现有的教学设计直接从数学问题角度提出问题，这样设计未尝不可，因为我们也要善于从数学内部挖掘问题，但是由于函数周期性的高度抽象性，先结合实例形象感知周期现象，再探究数学中的周期现象更自然合理.

设置问题情境是为提出数学问题服务的，不能为了情境而情境，经历完眼花缭乱情境后学生没有能自主提出问题，这样的问题情境是失败的，也就是说在设置时没有考虑问题的导向性，让学生经历之后到底想让学生产生怎样的问题.

[?] 概念形成过程中的问题情境要有整体性、层次性、探究性

数学问题必须讲究整体性，不能是随意、孤立的，从初始问题开始直到回顾反思为止，应当是一个系统、完整的思维整体. 同时问题还要有层次性、探究性，由浅入深逐步展开让学生去探究，这符合学生的认知规律，也是学生思维形成的过程.

问题1：如何用数学语言刻画三角函数的周期性？

问题2：如果函数f（x）是周期函数，如何用数学语言刻画？

评析：先由学生熟悉的正弦函数进行探究，概括出作为周期函数的两个主要特征，再通过问题2加深学生对两个特征的认识，由特殊到一般，符合学生认知习惯，为定义一般函数的周期性做铺垫. 上述两个问题是为了解决 “如何用数学语言刻画三角函数的周期性”而设置的，自上而下体现了统一性，延续性，并非孤立分散的，这就体现了问题情境的设置要有整体性.

问题1-1：结合前面所学的知识你能说说正弦函数有怎样“周而复始”的特点吗？

问题1-2：这个结论如何用数学等式表示？

问题1-3：上式的成立与x有关吗？

评析：上述三个小问题是为了解决问题1而设置的，让学生对正弦函数周期性的特点进行直观感知，然后引导学生用数学语言对两个特征（任意性、周而复始）进行刻画，再对正弦函数的周期性下一定义，这是概念形成的关键一步，同时也体现了设置问题时的层次性.

[?] 概念形成后要注重反思内涵挖掘外延

数学概念形成之后，通过具体问题，从概念的内涵挖掘外延，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用，这是数学概念教学的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生的对数学概念的巩固以及能力的形成.

问题4：你怎么理解“定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x）”？从这句话的表述上，你会联想到函数的哪个性质？

追问1：奇函数和偶函数的图象有什么特点？

追问2：周期函数的图象有何特征？

问题5：如何判断一个常数是否为一个函数的周期？

（投影）判断下列说法正确与否，简述理由.

问题6：一个周期函数有多少个周期？能否举例说明？

问题7：能说出正切函数的最小正周期吗？是不是任何的周期函数都有最小正周期？

评析：提出问题4是为了让学生深化对周期函数概念中两个重要特征的理解，同时和函数的奇偶性作一比较，这对学生理解和掌握周期函数概念是十分有帮助的. 紧接着“周期函数的图象有何特征”的提出就显得自然了. 设置问题5，是让学生在充分理解定义后形成能力，在解决问题过程中升华学生思维，提升学生解决问题的能力是教学设计的根本目标所在.问题6既是对概念的运用，也挖掘了概念的外延——最小正周期的定义.

[?] 运用概念时要注意渗透数学思想

对例1的教学，在解决两个问题时，笔者分别让学生思考了两个问题，（1）周期函数图象有何特征？（2）要求t=10 s时钟摆的高度，没有这部分图象怎么办？你能画出来吗？如果不画，你能解决这个问题吗？前面对问题（1）已经做了铺垫，将周期函数的周而复始的特征和图象的重复出现相联系，体现了数形结合的思想. 问题（2）的作用，一是对问题1结论的运用，二是将周期函数“无限”的问题都转化成“有限“的问题去解决，即在一个周期内解决函数在整个定义域上的问题，这为下一节三角函数的图象及性质的学习做了铺垫.

对于例2的教学，在学生知道f（x）=cosx的周期是2π的情况下，引导学生思考如何将f（x）=cos2x转化成余弦函数来求周期，这里体现了化未知为已知的转化化归思想.

[?] 几点反思

1. 营造宽松的教学氛围，丰富学生的学习方式

在教学设计时，要把学生丰富的活动设计好，结合问题的需要给学生创造较多的展示机会，其中有讨论、交流、思考等多种方式，要让学生成为课堂的主体.

2. 问题的设计要实现课堂教学的高立意与低起点

《数学课程标准》要求把三角函数作为一种描述周期现象的数学模型来研究. 在建立了三角函数的概念之后，下面要研究的问题理所当然的就是“三角函数如何刻画周期性现象？”“刻画周期性现象的这一数学模型有着怎样的性质？”这是教材数学研究的基本过程. 问题1的设计拉开了本节课的序幕，同时也是本节的核心问题，实现了课堂教学的高立意. 因此教师在教学设计时要把握教材编写意图，理清知识的起点与发展，在此基础上设置问题情境，这样的问题使学生能够提出问题，从而实现了课堂教学的低起点.

3. 以体现概念本质的问题串组织教学，努力揭示概念的形成过程

结合本文开始举的例子，为什么学生会对概念不清、定义不明？因为学生脑海中仅仅有几个抽象的数学符号，缺乏对这些数学符号的具体经验感受. 因此有必要让学生经历从具体到抽象这一过程，感受概念的本质，不能让数学的本质淹没在形式化的海洋里. 本文的教学设计先由正弦函数入手探究周期性的特点，延后由特殊到一般得出一般周期函数的定义，符合学生的认知规律，这也是概念的一种获得方式——概念形成.

4. 从数学理论内部设置问题，培养学生的理性精神

对于三角函数周期性的教学，有的教学设计是从求值开始的，如：已知函数f（x）=sinx，求值：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013），随之提出“正弦函数有没有这种周而复始的现象”的问题. 这样设计是为了让学生经过探索发现问题中隐含的“重复、循环”的现象，从而认为问题的提出显得自然. 事实上，正弦函数有没有这种周而复始的现象，在学习诱导公式时已经解决了，本课的核心问题应该是“如何用数学语言刻画三角函数的周期性”，因此这样设计是有所偏颇的. 数学理论的建立未必一定要从解决实际问题的需要出发才显得合理，而源于数学理论内部的发展，也是建立数学理论的一种手段，这也有助于培养学生的理性精神.

总之，问题的设计要考虑多方面的因素，既要把握教材意图，又要考虑学生的认知起点，将两个方面融合起来.通过问题的解决让学生学会提出问题、分析问题、解决问题，学会思维，学会运用，学会反思.