发现数学的美

夏金艳

“杨辉三角中的一些秘密”是人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，具有数学中的对称美、简洁美、和谐美以及数字的神奇美和数形结合的统一美。笔者以这节课的教学为例，谈谈如何在数学课堂中渗透美育。

一、在情境中欣赏美

为了激发学生的学习兴趣，教师利用生活实例——纵横路线图导入新课。

2012年伦敦奥运会上，为了节省时间，导引人员必须引导观众按照最短路径从一个场馆到另一个场馆。假设奥运场馆的分布如图1所示：节点表示场馆，网线表示伦敦比赛区域的交通道路，每个方格内均有建筑物，观众只能沿着网线行走。请问，“从A处走到B处，从A处走到E处，从A处走到G处，各有多少种不同的走法？”学生通过观察思考，很快得出了答案。教师在每个节点的位置上标出走法数，就得到杨辉三角的一部分（图2）。如此导入，既让学生感受到数学应用于生活，又让学生欣赏到了生活中的实际问题与数学的转化之美。

杨辉三角是我国古代数学的伟大成就之一，为了激发学生的爱国热情和学习兴趣，教师还利用多媒体向学生介绍了杨辉三角的简史：杨辉三角最早是由我国北宋数学家贾宪在进行高次开方运算时使用的，之后由南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载并保存。在欧洲，直到600年后，法国数学家帕斯卡才提出了“帕斯卡三角”。由此可见，我国古代数学的成就非常伟大。

二、在探究中感受美

杨辉三角中蕴含了丰富的数字规律，教师按照由易到难的顺序设计了五个探究活动，引导学生通过自主探究、合作交流探索其中的奥秘。

探究1：（1）观察杨辉三角（图3），你能发现每一行数字的规律吗？（2）你能发现组成它的相邻两行的数字间有什么关系吗？

探究1是基础性探究，学生结合现有知识，很容易观察出杨辉三角横行数字间的规律。因此，教师要求学生独立思考后，相互交流补充。通过交流，学生发现：问题（1）中，三角形两条腰上都是数字1；三角形每一行中的数字左右对称，即[Crn=Cn-rn（n∈N？，r∈N）]；三角形每一行中的数字先增大再减小，在中间取得最大值；三角形的第n行的和为[2n（n∈N）]。问题（2）中，三角形的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字之和，即：

这两个简单的探究从学生已有的知识切入，既引起了他们对杨辉三角的关注，又让他们感受到了数学的对称美和简洁美。接下来，教师依次出示探究2—5，引导学生多角度发现杨辉三角的奥秘。

探究2：（1）观察斜线上的数字（图4），你有什么发现？

（2）观察下列斜线中的数字（图5），你能发现什么规律？请用组合数表示出来。

（3）根据上述发现的规律，你能进一步猜想出一般结论吗？

（4）利用组合数的定义和性质证明这个结论。

探究3：按照图示（图6）的方法写出斜线上的各行数字的和。仔细观察这些和，你有什么发现？

探究2和探究3是引导学生观察、发现杨辉三角斜行数字间的规律，其中探究2是本节课的难点。根据本班学生的实际情况，教师将其分解成四个小问题，引导学生由易到难逐步解决，最终得到一般结论。

对于第（1）个问题，教师的预设是，学生会发现1+2+3+4+5+6=21， 1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35，并观察到第2条斜线上的数字和在下一行的第3个位置。然而，学生并没有按照教师的设想来回答，他们有的认为，每条斜线上从第二项起，每一项与前一项的差构成了等差数列，可以利用累加法求出这条线上的某个数字；有的认为，每条斜线上的数字和都可以写成[n（n+1）2]的形式。这种发现超出了教师的预期，教师及时给予了肯定与鼓励。

或许是受图形中连线的影响，学生的思维始终拘泥于斜线上的数字，再难有新的发现。于是，教师给出了第二组图形（图5），提示学生注意拐角处增加的短线。学生激烈地讨论着，有的说1+2+3+4+5=15，1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35；有的说可以把这些数用组合数表示出来，得出这样的结论：

教师抓住时机，顺势导入问题（3），让学生猜想一般结论。学生通过观察三条斜线在杨辉三角中的位置以及这三个式子，较容易地得出了一般结论：

[Crr+Crr+1+Crr+2+？？？+Crn-1=Cr+1n（n>r，r∈N？）]

教师没有满足于这点收获，向学生提出了有一定难度的问题（4）。这个问题看似有一定的难度，但学生只要结合以前所学的知识并利用探究1中的结论，就能找到解题途径。事实上，大部分学生也正是用这种方法证明出了

随着这四个问题的逐个解决，本节课的难点也就突破了。教师及时出示了探究3（图6），促使学生熟练运用并巩固所学的思考方法。学生经过独立思考，得出了结果：从第3条斜线中的数字起，其后各斜线中的和是前两条斜线中数字和之和，即[an-2+an-1=an（n≥3）]，这就是著名的菲波拉契数列。教师简单地介绍了斐波那契数列及其应用，让学生体会到了数字的神奇之美。

杨辉三角之妙绝不仅限于此，为了让学生进一步体会其中的奥妙，教师设计了探究4和探究5，引导他们探究杨辉三角中的数字与行数间的关系。

探究4：（1）观察杨辉三角中的第2，3，5，7行（图7），思考这几行的数字与行数之间有什么关系？（2）满足这种规律的行的行数有什么特征？请说明理由。

自主探究后，有的学生说，这几行数字除了1以外，都能被行数整除；有的说，2，3，5，7都是质数，满足这种规律的行的行数都是质数。有一名学生提出疑问：所有的质数行都满足这样的规律吗？大家通过验证发现：第13行除去两端的数字外，都可以被13整除；第17行除去两端的数字外，也都可以被17整除。于是，大家猜想到，所有的质数行中除去1以外的每个数都能被行数整除。可是，问题出现了，杨辉三角中有无数个质数行，不可能一一去验证啊！

学生陷入了沉思，不知道从哪个角度来说明。教师及时给予提示：要证明这个问题，需要说明质数行中除去1以外的每个数都能被行数整除，而这些数都可以写成组合数的形式，我们能否利用组合数来证明呢？这样一提示，学生有了新的思路。一名学生说，第n行中第r个数可以写成[Crn]，[Crn=n·（n-1）？？？2？1r！]，n为质数，不能被[2？？？r]中的任何数整除，所以[Crn]能被n整除。另一名学生做了补充：[n？（n-1）？？？2？1r！]写成这样的形式[n？（n-1）？？？2？1r！]，[n？（n-1）？？？2？1r！]为整数，由于n为质数，不能被任何数整除，则[（n-1）？？？2？1r！]为整数，所以[Crn]能被n整除。还有学生进一步补充：除去两端的1，还需要限制[r≠0，r≠n]。

这个过程中，学生通过讨论、合作、交流、互动，不仅碰撞了思维，解决了问题，而且感受到了数学的逻辑美。

探究5：（1）观察杨辉三角（图8）中的第0，1，3，7行，你发现这几行的数字有什么规律？（2）哪些行有这种规律？请说明理由。

第（1）问，学生解决得很顺利：这几行数字都是奇数，并且第[2n-1（n∈N）]行都具有这样的规律。问题（2）由于坡度太大，学生一时找不到思考路径。经过教师引导，一名学生谈了自己的想法：把每一行到下一行的过程看作一次从奇数到偶数或者从偶数到奇数的变换过程，从第0行到第1行经过1次变换，从第1行到第3行经过2次变换，从第3行到第7行经过4次变换，从第7行到第15行经过8次变换，按照这种规律可以得出答案。虽然他的说明有道理，但不能作为严格的证明。由于时间问题，也只能把这个问题留到课后让学生自己去探究了。

因教师预设时考虑不周，导致这个阶段耗时耗力而收效甚微，这也是这节课最值得引以为戒的地方。如果说到收获，这个过程中最大的收获在于，学生体会到了从特殊到一般的归纳方法，并感受到了数字的神奇之美。

三、在延伸中领悟美

课即将结束时，教师向学生提出了一个具有延伸性质的问题：探究5（1）中，我们只是凭推测得出了规律，却没有说明为什么第[2n-1=0]行的数字都是奇数。现在，请大家发挥聪明才智，尝试着证明这个问题。学生经过讨论交流，找到了这样的解题思路：规定奇数记为1，偶数记为0，则杨辉三角可以变形成如下形式（图9）。

利用数学归纳法：当n=0时，[2n-1=0]是第0行，第0行中所有的数都是奇数；当n=1时，[2n-1=1] 是第1行，第1行中所有的数都是奇数。假设当n=k时，第[2k-1]行中所有的数为奇数，那么当n=k+1时，由假设知道，第[2k-1]行中所有的数为奇数。按照探究1（2）中得到的结论（杨辉三角中每行除两腰的数字外，其他的数字都等于它肩上的两个数字的和），由1+0=1，0+0=0可得，第[2k]行中除了两端的数字为1外，其他的数字都为0，即第[2k]行中间就有[2k-1]个0，每计算一次，下一行与上一行相比中间位置减少1个0。从第[2k]行中间位置有[2k-1]个0到中间位置没有0，则需要[2k-1]次计算，[2k+2k-1=2k+1-1]，因此[2k+1-1]行的中间位置没有0，全部为1；而其他位置经过偶数次变换得到0，经过奇数次变换得到1，而[2k-1]是奇数，因此第[2k+1-1]行全部为奇数。综上可知，第[2n-1（n∈N）]行中的所有数字全部是奇数。

这个探究过程中，学生的思维十分活跃，在缜密的思考和推理中，学生感受到了数学的严谨之美，灵活之美。

（作者单位：江汉油田广华中学）

数学的语言、符号、图形、形式无不体现出美学因素，比如数与形的统一、符号和图形的对称、动态和静态等都透着浓郁的美感。教学中，教师如果能将这些美充分挖掘和展示出来，学生就能在学习中享受数学之美，进而增强学习的兴趣。

在一次数学实验课上，我与学生一起进行了用纸折圆锥曲线的实验。

首先，我要求学生在一张白纸上画一个圆，圆心为O，在圆内取一个异于圆心的点A；在圆上任取一点，对折，使该点与A点重合，用直尺与铅笔将折痕画出来；在圆上取不同的点，重复上述过程。学生画出许多条折痕后，惊喜地发现，这些直线围成的图形竟是一个椭圆。在此基础上，我利用计算机模拟了纸折圆锥曲线的过程（这其实是利用直线的运动痕迹来模拟折痕，这个模拟实验在几何画板软件中很好实现）。这个过程中，学生先是经历了动手操作发现结论的喜悦，又在信息技术的帮助下感受到了直线运动带来的视觉冲击，心里激动不已。

接着，我引导学生对上述过程的结论（这些直线能够围成一个椭圆，说明这些直线上都有且仅有一个椭圆上的点）进行推理论证。学生经过讨论交流，有了这样的思维过程（图略）：圆O的半径为R，A点是圆内异于O的一点，B点是圆上任意一点，直线L是线段AB的中垂线，L与线段OA交于P点。那么P点的轨迹是什么？学生连接OA，根据椭圆的第一定义发现了轨迹是椭圆。这也就说明了前面的每条折痕上都有一个点在以O、A为焦点，以R为长轴长的椭圆上。那么，折痕上是否还有其他的点在椭圆上呢？这个问题既是解决上述问题的需要，又能体现思维的批判性。学生解决完这些问题后，对椭圆定义的理解更深刻了，对数学的严谨性和数学思维的批判性有了更深的认识。

最后，我引导学生结合椭圆、双曲线、抛物线的定义的统一性进行思考：能否用纸折双曲线、抛物线？如果可以，该如何操作？学生带着这些问题主动思考与探究，体验到了数学探究与发现的乐趣。

（江汉油田广华中学 柯 丽）

普通高中课程标准实验教科书《数学》中蕴含着大量的数学美育素材，教师有意识地挖掘、整理并引导学生发现和欣赏，能让学生在创造的过程中体验到数学的美。

教学选修2-1的《圆锥曲线与方程》，在曲线轨迹探究过程中，我引导学生用套在细线上的铅笔尖画成椭圆，用拉链的拉开或闭拢带动笔尖画出双曲线，并观察几何画板演示动点的抛物线轨迹，以及在由点动成线的过程中实现的量变到质变的转化。学生在操作和观察中感受到了数学的动态美。

此外，在这节课的教学中，学生还从不同建系方式取得方程的比较中，感受到了数学的简洁美；从椭圆与双曲线都关于坐标轴与原点对称中，感受到了数学的对称美；从由圆锥曲线一个焦点发出的光线，经反射后，其反射光线所在直线必须经过另一个焦点中，感受到了数学的统一美。

这些美遥相呼应，构成了数学教学的亮丽风景。

（江汉油田广华中学 徐洪军）

华罗庚说：“认为数学枯燥无味，没有艺术性，这种看法是不正确的，就像人站在花园外面，说花园里枯燥无味一样。”数学老师善于捕捉和引导，能让学生发现数学之美。

教学《椭圆及其标准方程》时，为了让学生在获取数学知识的同时获得美的感受，我先播放了“神舟5号”飞船发射的视频及飞船运动轨迹的动画；接着要求学生两人一组，互相协作，在事先准备好的白纸上，利用课本上介绍的方法绘制椭圆；然后鼓励学生利用几何画板软件在电脑屏幕上绘制椭圆，并对椭圆设置参数；最后安排各学习小组通过观察身边的事物，或者上网查阅资料，列举椭圆在生活中的应用。

课堂上，学生表现十分出色。观看视频时，学生在愉悦的氛围中欣赏着优美的画面，既感受到了椭圆与大自然的密切联系，又生发了学好数学创造美好事物的迫切愿望；绘制椭圆时，学生看到随着参数的改变，自己亲手绘制的椭圆发生一系列神奇变化后，发出阵阵惊叹，在不知不觉中由数学的显性美悟出了数学的隐性美；拓展应用这个环节，学生在两天后作了“美丽的椭圆”专题汇报，有的小组展示了椭圆形腕表，有的小组展示了手工制作的地球绕太阳运行的轨道模型，有的小组展示了“黄金椭圆”……每一件作品都显现出了独有的美。

美国数学家哈尔斯说，“数学是创造性的艺术”。教师用创造的眼光来审视数学，就能不断地发现数学之美。

（江汉油田广华中学 刘旭光）

用数学美的思想解题是培养学生数学思维品质的重要策略。它能引导学生进行直觉思维，发现问题的内在联系，从中欣赏数学之美，感受解题乐趣。更重要的是，它能开拓学生的思维空间，启迪他们的智慧，培养他们的多元思维和创新精神，使其获得学习的愉悦感。

（江汉油田广华中学 张希杰）

责任编辑 姜楚华